弹性力学及有限元.ppt
引言p对称结构受对称载荷作用，对称轴面上剪应力等于零。p反对称载荷作用下，对称面上的正应力等于零。对称条件例例1 如图所示，试写出其边界条件。如图所示，试写出其边界条件。xyahhq(1)(2)(3)(4)例例2 如图所示，试写出其边界条件。如图所示，试写出其边界条件。(1)ABCxyhp(x)p0lAB段（段（y=0）：）：代入边界条件公式，有代入边界条件公式，有(2)BC段（段（x=l）：）：(3)AC段（段（y=x tan）:N（3）混合边界条件）混合边界条件(1)物体上的一部分边界为位移边界，另一部为应力边界。物体上的一部分边界为位移边界，另一部为应力边界。(2)物体的同一部分边界上，其中一个为位移边界条件，另一为物体的同一部分边界上，其中一个为位移边界条件，另一为应力边界条件。如：应力边界条件。如：图图(a)：位移边界条件位移边界条件 应力边界条件应力边界条件图图(b)：位移边界条件位移边界条件 应力边界条件应力边界条件例例7 图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。边界条件。左侧面：左侧面：代入应力边界条件公式代入应力边界条件公式右侧面：右侧面：代入应力边界条件公式，有代入应力边界条件公式，有上端面：上端面：为次要边界，可由圣维南原理求解。为次要边界，可由圣维南原理求解。y方向力等效：方向力等效：对对O点的力矩等效：点的力矩等效：x方向力等效：方向力等效：注意：注意：必须按正向假设！必须按正向假设！（3）按位移求解平面问题的基本方程）按位移求解平面问题的基本方程（1）平衡方程：）平衡方程：（2-20）（2）边界条件：）边界条件：位移边界条件：位移边界条件：（2-17）应力边界条件：应力边界条件：（2-21）3.按应力求解平面问题的基本方程按应力求解平面问题的基本方程（1）平衡方程）平衡方程（2-2）（2）相容方程（形变协调方程）相容方程（形变协调方程）（2-23）（3）边界条件：）边界条件：（2-18）（平面应力情形）（平面应力情形）说明：说明：（1）对位移边界问题，不易按应力求）对位移边界问题，不易按应力求解。解。（2）对应力边界问题，且为）对应力边界问题，且为单连通问单连通问题题，满足上述方程的解是唯一正，满足上述方程的解是唯一正确解。确解。（3）对）对多连通问题多连通问题，满足上述方程外，满足上述方程外，还需满足还需满足位移单值条件位移单值条件，才是唯，才是唯一正确解。一正确解。例例8下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。为可能的应力场与应变场（不计体力）。（1）（2）解解（a）（b）（1）将式（将式（a）代入平衡方程：）代入平衡方程：（2-2）满足满足将式（将式（a）代入相容方程：）代入相容方程：式（式（a）不是一组可能的）不是一组可能的应力场。应力场。例例8下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。为可能的应力场与应变场（不计体力）。（1）（2）（a）（b）（2）解解将式（将式（b）代入应变表示的相容方程：）代入应变表示的相容方程：式（式（b）满足相容方程，）满足相容方程，（b）为可能的应变分量。）为可能的应变分量。例例9图示矩形截面悬臂梁，在自由端受集中力图示矩形截面悬臂梁，在自由端受集中力P作用，不计体力。试根据材料力学作用，不计体力。试根据材料力学公式，写出弯曲应力公式，写出弯曲应力 和剪应力和剪应力 的表达式，并取挤压应力的表达式，并取挤压应力 =0，然后说明这些表达式是否代表正确解。，然后说明这些表达式是否代表正确解。解解材料力学解答：材料力学解答：式（式（a）满足）满足平衡方程平衡方程和和相容方程？相容方程？（a）式（式（a）是否满足）是否满足边界条件？边界条件？代入代入平衡微分方程：平衡微分方程：（2-2）显然，显然，平衡微分方程平衡微分方程满足。满足。式（式（a）满足）满足相容方程。相容方程。再验证，式（再验证，式（a）是否满足）是否满足边界条件？边界条件？满足满足满足满足近似满足近似满足近似满足近似满足结论：式（结论：式（a）为正确解）为正确解代入代入相容方程：相容方程：上、下侧边界：上、下侧边界：右侧边界：右侧边界：左侧边界：左侧边界：2.常体力下平面问题的基本方程常体力下平面问题的基本方程（1）平衡方程）平衡方程（2-2）（2）相容方程（形变协调方程）相容方程（形变协调方程）（3）边界条件）边界条件（2-18）（4）位移单值条件）位移单值条件 对多连通问题而言。对多连通问题而言。讨论：讨论：讨论：讨论：（1）Laplace方程，方程，或称或称调和方程。调和方程。（2）常体力下，方程中不含常体力下，方程中不含E、（a）两种平面问题，计算结果两种平面问题，计算结果 相同相同 ）不同。）不同。（但（但（b）不同材料不同材料，具有相同，具有相同外力和外力和边界条件边界条件时，其计算结果相时，其计算结果相同。同。光弹性实验原理。光弹性实验原理。（3）用用平面应力试验平面应力试验模型，代替模型，代替平面平面应变试验应变试验模型，为实验应力分析模型，为实验应力分析提供理论基础。提供理论基础。满足：满足：的函数的函数称为调和函数（解析函数）。称为调和函数（解析函数）。3.常体力下常体力下体力体力与与面力面力的变换的变换平衡方程平衡方程:相容方程相容方程:边界条件边界条件:令：令：常体力下，常体力下，满足的方满足的方程：程：(a)将式将式(b)代入平衡方程、相容方程、边界条件，有代入平衡方程、相容方程、边界条件，有(b)(c)(c)表明：表明：（1）变换后的平衡方程、相容方程均为）变换后的平衡方程、相容方程均为齐次方程齐次方程（容易求解）；（容易求解）；（2）变换后问题的）变换后问题的边界面力边界面力改变为：改变为：结论：结论：结论：结论：当体力当体力X=常数，常数，Y=常数时，可先求解常数时，可先求解无体力无体力而而面力面力为：为：问题的解：问题的解：，而原问题的解为：，而原问题的解为：xyxy例如：例如：pFABCDEhh(a)图示深梁在重力作用下的应力分析。图示深梁在重力作用下的应力分析。原问题：原问题：体力：体力：边界面力：边界面力：所求应力：所求应力：ABCFDEhh(b)ph2ph变换后的问题：变换后的问题：体力：体力：边界面力：边界面力：(1)当当 y=0 时，时，(2)当当 y=h 时，时，(3)当当 y=2h 时，时，所求得的应力：所求得的应力：原问题的应力原问题的应力原问题的应力原问题的应力常体力下体力与面力转换的优点（好处）：常体力下体力与面力转换的优点（好处）：原原问问题题的的求求解解方方程程变变换换后后问问题题的的求求解解方方程程常体力问题常体力问题无体力问题无体力问题作用：作用：(1)方便分析计算（齐次方程易求解）。方便分析计算（齐次方程易求解）。(2)实验测试时，一般体力不易施加，可用加面力的方法替代加体力。实验测试时，一般体力不易施加，可用加面力的方法替代加体力。注意：注意：面力变换公式：面力变换公式：与坐标系的选取有关，与坐标系的选取有关，因此，适当选取坐标系，可使面力表达式简单。因此，适当选取坐标系，可使面力表达式简单。常体力下体力与面力转换的优点（好处）：常体力下体力与面力转换的优点（好处）：原原问问题题的的求求解解方方程程变变换换后后问问题题的的求求解解方方程程常体力问题常体力问题无体力问题无体力问题作用：作用：(1)方便分析计算（齐次方程易求解）。方便分析计算（齐次方程易求解）。(2)实验测试时，一般体力不易施加，可用加面力的方法替代加体力。实验测试时，一般体力不易施加，可用加面力的方法替代加体力。注意：注意：面力变换公式：面力变换公式：与坐标系的选取有关，与坐标系的选取有关，因此，适当选取坐标系，可使面力表达式简单。因此，适当选取坐标系，可使面力表达式简单。将式将式(d)第一式改写为第一式改写为由微分方程理论，必存在一函数由微分方程理论，必存在一函数 A(x,y)，使得，使得(e)(f)同理，将式同理，将式(d)第二式改写为第二式改写为(g)(h)比较式比较式(f)与与(h)，有，有也必存在一函数也必存在一函数 B(x,y)，使得，使得(2)通解通解式式(a)的齐次方程：的齐次方程：(d)的通解。的通解。由微分方程理论，必存在一函数由微分方程理论，必存在一函数 (x,y)，使得，使得(i)(j)将式将式 (i)、(j)代入代入 (e)、(f)、(g)、(h)，得，得通解通解同理，将式同理，将式(d)第二式改写为第二式改写为(g)(h)比较式比较式(f)与与(h)，有，有也必存在一函数也必存在一函数 B(x,y)，使得，使得由微分方程理论，必存在一函数由微分方程理论，必存在一函数 (x,y)，使得，使得(k)(2)通解通解式式(a)的齐次方程：的齐次方程：(d)的通解：的通解：(k)对应于平衡微分方程的对应于平衡微分方程的齐次齐次方程通解方程通解。(3)全解全解取特解为：取特解为：则其全解为：则其全解为：(2-26)常体力下平衡方程（常体力下平衡方程（常体力下平衡方程（常体力下平衡方程（a a）的全解。）的全解。）的全解。）的全解。由式（由式（2-26）看：不管）看：不管(x,y)是什么是什么函数，都能满足平衡方程。函数，都能满足平衡方程。(x,y)平面问题的平面问题的应力函数应力函数 Airy 应力函数应力函数按应力求解平面问题（按应力求解平面问题（X=常量、常量、Y=常量）的归结为：常量）的归结为：（1）(2-27)（2）然后将然后将 代入式（代入式（2-26）求出应力）求出应力分量：分量：先由方程（先由方程（2-27）求出应力函数：）求出应力函数：(2-26)（3）再让再让 满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。3.应力函数应力函数 求解方法求解方法(2-28)（无体力情形）（无体力情形）3.应力函数应力函数 求解方法求解方法（1）逆解法逆解法（1）根据问题的条件根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），（几何形状、受力特点、边界条件等），假设各种满足相容方程（假设各种满足相容方程（2-27）的）的(x,y)的形式；的形式；（2）主要适用于主要适用于简单边界条件简单边界条件的问题。的问题。然后利用应力分量计算式（然后利用应力分量计算式（2-26），求出），求出 （具（具有待定系数）；有待定系数）；（3）再利用应力边界条件式（再利用应力边界条件式（2-18），来考察这些应力函数），来考察这些应力函数(x,y)对应什么对应什么样的边界面力问题，从而得知所设应力函数样的边界面力问题，从而得知所设应力函数(x,y)可以求解什么问题。可以求解什么问题。（2）半逆解法半逆解法（1）根据问题的条件根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），（几何形状、受力特点、边界条件等），假设部分应力分量假设部分应力分量 的某种函数形的某种函数形式式 ；（2）根据根据 与应力函数与应力函数(x,y)的关系及的关系及 ，求出，求出(x,y)的形式；的形式；（3）最后利用式（最后利用式（2-26）计算出）计算出 并让其满足边界条并让其满足边界条件和位移单值条件。件和位移单值条件。半逆解法的数学基础：半逆解法的数学基础：数理方程中分离变量法数理方程中分离变量法。总结：总结：（多项式应力函数（多项式应力函数 的性质）的性质）（1）多项式次数多项式次数 n a），在其上取），在其上取一点一点 A 的应力：的应力：OxybAArA原问题转化为：原问题转化为：无限大圆板中间开有一圆孔的新问题。无限大圆板中间开有一圆孔的新问题。b
