恒定电流场Steadyelectriccurrentsfiel.ppt

第四章第四章 恒定电流场恒定电流场Steady electric currents field 恒定电场：恒定电流恒定电场：恒定电流(运动电荷运动电荷)产生的电场。恒定电流周围产生的电场。恒定电流周围存在恒定电场和磁场存在恒定电场和磁场恒定电流场的边界条件恒定电流场的边界条件恒定电流场的能量损耗恒定电流场的能量损耗恒定电流场与静电场的比恒定电流场与静电场的比拟拟E矢量磁位与标量磁位矢量磁位与标量磁位E媒质磁化媒质磁化 E媒质中的恒定磁场方程式媒质中的恒定磁场方程式E电感与互感电感与互感E磁场能量与磁场力磁场能量与磁场力恒定电场恒定电场恒定磁场恒定磁场1、恒定电场在分界面上的折射关系为、恒定电场在分界面上的折射关系为若若 ,则则 。在理想导体表面上，在理想导体表面上，和和 都垂直于边界面。当都垂直于边界面。当电流由理想导电体流出进入一般导电媒质时，电流电流由理想导电体流出进入一般导电媒质时，电流线总是垂直于理想导电体表面。线总是垂直于理想导电体表面。4.1 4.1 恒定电流场的边界条件恒定电流场的边界条件 Boundary condition 关于边界条件的说明：关于边界条件的说明：1 1、由于导体内存在恒定电场，根据边界条件可知，在导体表、由于导体内存在恒定电场，根据边界条件可知，在导体表面上的电场既有法向分量又有切向分量。电场并不垂直于导面上的电场既有法向分量又有切向分量。电场并不垂直于导体表面，因而导体表面不是等位面。体表面，因而导体表面不是等位面。2 2、若媒质、若媒质2 2是良导体，媒质是良导体，媒质1 1是极不良导电媒质，只要不接是极不良导电媒质，只要不接近，就可以近似地把良导体表面看作等位面。近，就可以近似地把良导体表面看作等位面。例：同轴线填充两种介质，结构如图所示。两例：同轴线填充两种介质，结构如图所示。两种介质介电常数分别为种介质介电常数分别为 和和 ，导电率分别，导电率分别为为 和和 ，设同轴线内外导体电压为，设同轴线内外导体电压为U U。求：求：(1)(1)导体间的导体间的 ，；(2)(2)分界面上自由电荷分布。分界面上自由电荷分布。解：解：这是一个恒定电场边值问题。不能直接这是一个恒定电场边值问题。不能直接应用高斯定理求解。应用高斯定理求解。电流由内导体流向外导体，在分界面上只有法向分量，所以电电流由内导体流向外导体，在分界面上只有法向分量，所以电流密度成轴对称分布。流密度成轴对称分布。例题例题:先假设电流为先假设电流为I I求出电流密度求出电流密度J J的表达式的表达式求出求出E E1 1和和E E2 2确定出电流确定出电流由导电媒质内电场本构关系，可知媒质内电场为：由导电媒质内电场本构关系，可知媒质内电场为：设单位长度内从内导体流向外导体电流为设单位长度内从内导体流向外导体电流为I I。由边界条件，边界两边电流连续。由边界条件，边界两边电流连续。在在 面上：面上：在在 面上：面上：2 2）由边界条件：）由边界条件：在在 面上：面上：E在导电媒质中，自由电子移动时要与原子晶格发生碰撞，在导电媒质中，自由电子移动时要与原子晶格发生碰撞，结果产生热能，这是一种结果产生热能，这是一种不可逆不可逆的能量转换。这种能量的能量转换。这种能量损失将由外源不断补给，以维持恒定的电流。损失将由外源不断补给，以维持恒定的电流。dlUJ JdS4.2 4.2 恒定电场的能量损耗恒定电场的能量损耗圆柱体的端面分别为两个等位面。若在电场力作用下，圆柱体的端面分别为两个等位面。若在电场力作用下，d t 时间内有时间内有d q电荷自圆柱的左端面移至右端面，那么电场力电荷自圆柱的左端面移至右端面，那么电场力作的功为作的功为 电场损失的功率电场损失的功率 P 为为 单位体积中的功率损失为单位体积中的功率损失为当当J和和E的方向不同时，上式可以表示为下面一般形式的方向不同时，上式可以表示为下面一般形式 E表示某点的功率损耗等于该点的电场强度与电流密度的表示某点的功率损耗等于该点的电场强度与电流密度的标积。标积。焦耳定律的微分形式焦耳定律的微分形式设设圆圆柱柱体体两两端端的的电电位位差差为为U，则则 ，又又知知 ，那那么单位体积中的功率损失可表示为么单位体积中的功率损失可表示为可见，圆柱体中的总功率损失为可见，圆柱体中的总功率损失为这就是电路中的这就是电路中的焦耳定律焦耳定律。例例1 1 已知一平板电容器由两层非理想介质串联构成，如已知一平板电容器由两层非理想介质串联构成，如图示。其介电常数分别为图示。其介电常数分别为 1 和和 2 ，电导率分别为，电导率分别为 1 和和 2 ，厚度分别为，厚度分别为 d1 和和 d2 。当外加恒定电压为。当外加恒定电压为 V 时，试求两层介质中的电场强度，单位体积中的电场储时，试求两层介质中的电场强度，单位体积中的电场储能及功率损耗。能及功率损耗。1 12 2d1d2U解：解：由于电容器外不存在电流，由于电容器外不存在电流，可以认为电容器中的电流线与边可以认为电容器中的电流线与边界垂直，求得界垂直，求得 4.34.3.恒定电流场与静电场的比拟恒定电流场与静电场的比拟静电场和恒定电场性质比较：静电场和恒定电场性质比较：相同点：场性质相同，均为无旋场；相同点：场性质相同，均为无旋场；场均不随时间改变；场均不随时间改变；均不能存在于理想导体内部；均不能存在于理想导体内部；不同点：源不同。静电场的源为静止电荷，恒定电场不同点：源不同。静电场的源为静止电荷，恒定电场 的源为运动电荷。的源为运动电荷。存在区域不同。静电场只能存在于导体外，存在区域不同。静电场只能存在于导体外，恒定电场可以存在于非理想导体内。恒定电场可以存在于非理想导体内。当恒定电流场与静电场的边界条件相同时，电当恒定电流场与静电场的边界条件相同时，电流密度的分布与电场强度的分布特性完全相同流密度的分布与电场强度的分布特性完全相同可以利用已经获得的静电场可以利用已经获得的静电场的结果直接求解恒定电流场的结果直接求解恒定电流场可用边界条件与静电场相同的可用边界条件与静电场相同的电流场来研究静电场的特性电流场来研究静电场的特性静电比拟静电比拟例如，两电极间的电流场与静电场对应分布如下图示：例如，两电极间的电流场与静电场对应分布如下图示：PN电流场PN静电场那么，利用已经获得的静电场结果可以求解恒定电流场。那么，利用已经获得的静电场结果可以求解恒定电流场。静电场与恒定电场的对偶关系静电场与恒定电场的对偶关系4.4 电阻的计算电阻的计算一、电介质隔开的导体之间漏电阻的计算一、电介质隔开的导体之间漏电阻的计算若已知两电极之间的电容，根据上述两式，即可求得两电若已知两电极之间的电容，根据上述两式，即可求得两电极间的电阻及电导。极间的电阻及电导。例如，已知面积为例如，已知面积为 S，间距为，间距为 d 的平板电容器的电容的平板电容器的电容 ，若填充的非理想介质的电导率为，若填充的非理想介质的电导率为 ，则平板电容器极，则平板电容器极板间的漏电导为板间的漏电导为 又又知知单单位位长长度度内内同同轴轴线线的的电电容容 。那那么么，若若同同轴轴线线的的填填充充介介质质具具有有的的电电导导率率为为 ，则则单单位位长长度度内内同同轴轴线线的漏电导的漏电导如果同轴线的长度为如果同轴线的长度为l，总的漏电阻为，总的漏电阻为R/l二、特定等位面之间导体材料电阻的计算二、特定等位面之间导体材料电阻的计算(1)(1)假假设设两两电电极极间间流流过过的的电电流流I,然后按然后按(2)(2)假假设设两两电电极的极的电压电压U，然后按，然后按的步的步骤计骤计算。算。计算步骤：计算步骤：的步的步骤计骤计算。算。例例2 2 设一段环形导电媒质，其形状及尺寸如图示。计设一段环形导电媒质，其形状及尺寸如图示。计算两个端面之间的电阻。算两个端面之间的电阻。Uyxtabr0(r,)0解解 显然，必须选用圆柱坐标系。显然，必须选用圆柱坐标系。设两个端面之间的电位差为设两个端面之间的电位差为U，且令且令 当角度当角度 时，电位时，电位 。当角度当角度 时，电位时，电位 。那那么么，由由于于导导电电媒媒质质中中的的电电位位 仅仅与与角角度度 有有关关，因因此电位满足的方程式为此电位满足的方程式为此式的通解为此式的通解为 利用给定的边界条件，求得利用给定的边界条件，求得 导电媒质中的电流密度导电媒质中的电流密度 J J 为为 那么由那么由 的端面流进该导电媒质的电流的端面流进该导电媒质的电流 I 为为 因此该导电块的两个端面之间的电阻因此该导电块的两个端面之间的电阻 R 为为 例：例：电导率为电导率为 的无界均匀电介质内，有两个半径分别为的无界均匀电介质内，有两个半径分别为R1和和R2的理想导体小球，两球之间的距离为的理想导体小球，两球之间的距离为d(d R1，d R2)，试求两小导体球面间的电阻。，试求两小导体球面间的电阻。解解:此题可采用静电比拟的方法求解。此题可采用静电比拟的方法求解。v假设两小球分别带电荷假设两小球分别带电荷q和和-q，由于两球间的距离由于两球间的距离dR1、dR2 ，可近似认为小球上的电荷均匀分布在球面上。可近似认为小球上的电荷均匀分布在球面上。v由电荷由电荷q q和和-q q的电位叠加求出两小球表面的电位差，即可求的电位叠加求出两小球表面的电位差，即可求得两小导体球面间的电容，得两小导体球面间的电容，v再由静电比拟求出两小导体球面间的电阻。再由静电比拟求出两小导体球面间的电阻。由静电比拟，得到两小导体球面间的电导为由静电比拟，得到两小导体球面间的电导为两小球表面的电位为两小球表面的电位为 两小导体球面间的电容为两小导体球面间的电容为故两个小导体球面间的电阻为故两个小导体球面间的电阻为一、矢量磁位的引入一、矢量磁位的引入式中：式中：称为恒定磁场的称为恒定磁场的矢量磁位矢量磁位。引入矢量磁位的意义：引入矢量磁位的意义：引入辅助函数，可通过间接求解方法求引入辅助函数，可通过间接求解方法求解空间磁场分布，简化电磁问题求解。解空间磁场分布，简化电磁问题求解。4.5 矢量磁位与标量磁位矢量磁位与标量磁位Vector and scalar Magnetic potential1、矢量磁位、矢量磁位 的定义具有普遍性，既适用于静磁场也的定义具有普遍性，既适用于静磁场也适用于时变场适用于时变场 2、矢量磁位不是唯一的。事实上，若、矢量磁位不是唯一的。事实上，若 是任意连续可微的是任意连续可微的标量函数，令标量函数，令 ，显然有；，显然有；说明：说明：而：而：上式表明：上式表明：和和 为性质不同的两种矢量场。这意味着为性质不同的两种矢量场。这意味着满足满足 的的 有无限多个。有无限多个。3、为了确定矢量磁位的空间分布，还需规定矢量磁位的散度、为了确定矢量磁位的空间分布，还需规定矢量磁位的散度这种新引入的限定条件称为这种新引入的限定条件称为规范条件规范条件。在恒定磁场中，一般采用库仑规范条件在恒定磁场中，一般采用库仑规范条件注意：注意：规范条件是人为引入的限定条件，可根据问题设定不规范条件是人为引入的限定条件，可根据问题设定不同的规范条件。同的规范条件。为任意标量场为任意标量场二、矢量磁位的求解二、矢量磁位的求解矢量泊松方程在直角坐标系中，矢量泊松方程可分解为三个标量泊松方程在直角坐标系中，矢量泊松方程可分解为三个标量泊松方程体电流、体电流、面分布电流和细导线电流回路产生的矢量磁位面分布电流和细导线电流回路产生的矢量磁位分别为分别为1、不同电流分布时的矢量磁位、不同电流分布时的矢量磁位在无源区中，在无源区中，=0，则上式变为下述矢量拉普拉斯方程，则上式变为下述矢量拉普拉斯方程 说明：说明：E在在直直角角坐坐标标系系中中，泊泊松松方方程程及及拉拉普普拉拉斯斯方方程程均均可可分分解解为三个坐标分量的标量方程。为三个坐标分量的标量方程。E格格林林函函数数法法以以及及分分离离变变量量法法均均可可用用于于求求解解矢矢量量磁磁位位 的的各各个个直直角角坐坐标标分分量量所所满满足足的的标标量量泊泊松松方方程程及及拉拉普普拉拉斯斯方程。方程。E镜像法镜像法也可适用于求解恒定磁场的边值问题。也可适用于求解恒定磁场的边值问题。2、无源区的矢量磁位、无源区的矢量磁位说明：说明：1 1、矢量磁位、矢量磁位 的方向与电流的方向与电流 的方向相同。的方向相同。2 2、引入矢量磁位可以大大简化磁场的计算。、引入矢量磁位可以大大简化磁场的计算。小结：小结：求解磁场的方法求解磁场的方法1 1、场源积分法（毕奥萨伐尔定律）、场源积分法（毕奥萨伐尔定律）2 2、非齐次方程法（、非齐次方程法（)3 3、安培环路定律、安培环路定律4 4、通过矢量磁位间接求解、通过矢量磁位间接求解其中其中l为曲面为曲面S的边界的边界三、利用矢量磁位求磁通三、利用矢量磁位求磁通四、标量磁位四、标量磁位式中标量式中标量 m 称为称为标量磁位标量磁位。说明：说明：1 1、标量磁位满足拉普拉斯方程。这样，根据边界条标量磁位满足拉普拉斯方程。这样，根据边界条件，求解标量磁位满足的拉普拉斯方程，可得标量磁位，件，求解标量磁位满足的拉普拉斯方程，可得标量磁位，然后即可求出磁感应强度。然后即可求出磁感应强度。2 2、标量磁位的应用仅限于无源区。、标量磁位的应用仅限于无源区。无源区中磁感应强度无源区中磁感应强度B 是无旋的，是无旋的，可以表示为一个标量场的梯度可以表示为一个标量场的梯度令令scalar Magnetic potential在磁场作用下，磁介质将产生磁化现象。在磁场作用下，磁介质将产生磁化现象。一、磁化与磁化强度矢量一、磁化与磁化强度矢量1 1、分子电流模型、分子电流模型v电子绕核运动，形成分子电流。电子绕核运动，形成分子电流。v分子电流将产生微观磁场。分子电流将产生微观磁场。v分子电流的磁特性可用分子极矩表示。分子电流的磁特性可用分子极矩表示。4.6 物质的磁化现象物质的磁化现象电子运动形成的微观电流电子运动形成的微观电流分子电流所围面元分子电流所围面元2 2、介质的磁化现象、介质的磁化现象磁化前磁化前v磁化前，分子极矩取向磁化前，分子极矩取向杂乱无章，磁介质宏观杂乱无章，磁介质宏观上无任何磁特性。上无任何磁特性。磁化后磁化后v磁介质内存在外加磁场时：大量分子的分子极矩取向与外加磁介质内存在外加磁场时：大量分子的分子极矩取向与外加磁场趋于一致，宏观上表现出磁特性。这一过程即称为磁场趋于一致，宏观上表现出磁特性。这一过程即称为磁化磁化。3 3、磁化强度矢量磁化强度矢量 磁化强度矢量描述磁介质被磁化的程度。磁化强度矢量描述磁介质被磁化的程度。物理意义：单位体积内物理意义：单位体积内分子磁矩的矢量和。分子磁矩的矢量和。Magnetization Vectorv磁介质被磁化后，内部和表面可能会出现附加电流，称这磁介质被磁化后，内部和表面可能会出现附加电流，称这种电流为磁化电流（束缚电流）。种电流为磁化电流（束缚电流）。v若若媒质的磁化强度为媒质的磁化强度为 ，则：，则：二、磁化电流二、磁化电流磁化电流磁化电流体磁化电流密度体磁化电流密度面磁化电流密度面磁化电流密度媒质表面外法向方向媒质表面外法向方向1 1、若媒质被均匀磁化，无体磁化电流；磁化电流只会出现、若媒质被均匀磁化，无体磁化电流；磁化电流只会出现在介质表面上在介质表面上 2 2、磁化介质表面一般存在磁化电流；、磁化介质表面一般存在磁化电流；3 3、磁化电流仍然遵循电流守恒关系；、磁化电流仍然遵循电流守恒关系；4 4、若在磁介质内部存在自由线电流，则在自由电流、若在磁介质内部存在自由线电流，则在自由电流处存在磁化线电流。处存在磁化线电流。%说明：说明：当磁介质中存在磁场时：当磁介质中存在磁场时：磁介质中的磁通量为：磁介质中的磁通量为：磁场强度矢量磁场强度矢量 ，定义，定义三、磁场强度矢量三、磁场强度矢量Magnetic field intensity一般介质被磁化的程度与外加磁场强度成正比，即：一般介质被磁化的程度与外加磁场强度成正比，即：式中：式中：为磁介质的磁化率（磁化系数）为磁介质的磁化率（磁化系数）磁媒质本构关系磁媒质本构关系式中：式中：称为媒质相对磁导率称为媒质相对磁导率称为媒质磁导率称为媒质磁导率(relative)permeability)(relative)Permittivity已知半径为已知半径为a，长度为，长度为l 的圆柱形磁性材料，沿轴线方向获的圆柱形磁性材料，沿轴线方向获得均匀磁化。若磁化强度为得均匀磁化。若磁化强度为M，试求位于圆柱轴线上距离远，试求位于圆柱轴线上距离远大于圆柱半径大于圆柱半径 P点处由磁化电流产生的磁感应强度。点处由磁化电流产生的磁感应强度。xyzlP(0,0,z)0a解解 取取圆圆柱柱坐坐标标系系，令令 z 轴轴与与圆圆柱柱轴线一致，如图示。轴线一致，如图示。又表面磁化电流密度又表面磁化电流密度式中式中en 为表面的外法线方向上单位矢。因为表面的外法线方向上单位矢。因 ，所，所以表面磁化电流密度以表面磁化电流密度 仅存在于圆柱侧壁，上下端面的磁仅存在于圆柱侧壁，上下端面的磁化电流密度为零。因此化电流密度为零。因此例例由于是均匀磁化，磁化强度与坐标无由于是均匀磁化，磁化强度与坐标无关，因此，关，因此，即体分布的，即体分布的磁化电流密度为零。磁化电流密度为零。0=MJxyzlP(0,0,z)zdz0a显然，这种表面磁化电流在侧壁上形成环显然，这种表面磁化电流在侧壁上形成环形电流。位于形电流。位于z 处宽度为处宽度为dz 的环形电流为的环形电流为(dz)，那么该环形电流在轴线上，那么该环形电流在轴线上 z 处处(z a)产生的磁感应强度产生的磁感应强度 dB 为为 那么侧壁上全部磁化电流在轴线上那么侧壁上全部磁化电流在轴线上z 处产生的合成磁感应强处产生的合成磁感应强度为度为 计算电流环产生的计算电流环产生的B BxyzlP(0,0,z)zdz0az-zaz-za4.11 磁介质中磁场的边界条件磁介质中磁场的边界条件Boundary conditions for magnetic fields in magnetic material三、三、分界面上无自由电流时的折射关系分界面上无自由电流时的折射关系媒质两边磁场方向与媒质特性相关。媒质两边磁场方向与媒质特性相关。Boundary conditions for tangential components of HBoundary conditions for normal components of Br 若媒质若媒质2 2为空气，媒质为空气，媒质1 1为铁磁媒质。即：为铁磁媒质。即：物理意义物理意义：磁场由铁磁体物体穿出进入一个非磁性物质的区：磁场由铁磁体物体穿出进入一个非磁性物质的区域时，磁场几乎垂直于铁磁体物质的表面。域时，磁场几乎垂直于铁磁体物质的表面。在铁磁媒质表面，在铁磁媒质表面，磁场方向与表面垂直。磁场方向与表面垂直。r 若媒质若媒质1为空气，媒质为空气，媒质2为铁磁媒质为铁磁媒质物理意义物理意义：磁场由非磁性物质穿出进入一个铁磁体物体的区磁场由非磁性物质穿出进入一个铁磁体物体的区域时，域时，对任意一个不接近零的角度对任意一个不接近零的角度 1 1，在，在磁体媒质中的磁场磁体媒质中的磁场几乎与分界面平行。几乎与分界面平行。五、五、A和和m的边界条件的边界条件A在分界面上切向分量连续在分界面上切向分量连续H1t=H2tB1n=B2n无限长线电流位于无限长线电流位于z z轴，介质分界面为水平轴，介质分界面为水平面，求空间的面，求空间的 分布和磁化电流分布。分布和磁化电流分布。分析：电流呈轴对称分布。可用安培环分析：电流呈轴对称分布。可用安培环路定律求解。磁场方向沿路定律求解。磁场方向沿 方向。方向。解：解：磁场方向与边界面相切，由边界条件知，在分界面磁场方向与边界面相切，由边界条件知，在分界面两边，两边，连续而连续而 不连续。不连续。由安培环路定律：由安培环路定律：例题例题4 4求磁化电流：求磁化电流：介质磁化强度为：介质磁化强度为：体磁化电流为：体磁化电流为：面磁化电流为：面磁化电流为：在介质内在介质内r=0r=0位置，还存在磁化线电流位置，还存在磁化线电流I Im m。由安培环路定律，。由安培环路定律，有：有：分析分析:可由电流守恒的关系求可由电流守恒的关系求如图，铁心磁环尺寸和横截面如图，已知铁如图，铁心磁环尺寸和横截面如图，已知铁心磁导率心磁导率 ，磁环上绕有，磁环上绕有N N匝线圈，通匝线圈，通有电流有电流I I。求求:(1):(1)磁环中的磁环中的 ，。(2)(2)若在铁心上开一小切口，计算磁环中若在铁心上开一小切口，计算磁环中的的 ，。解解：(1)(1)由安培环路定律，在磁环内取闭合由安培环路定律，在磁环内取闭合积分回路，则可得积分回路，则可得例题例题5 5 (2)(2)开切口后，在切口位置为边界问题。开切口后，在切口位置为边界问题。在切口处，磁场垂直于边界面，由边界条在切口处，磁场垂直于边界面，由边界条件知在分界面上件知在分界面上 连续，大小为连续，大小为B,B,不连不连续。续。设环内外的设环内外的H分别为分别为H 1、H 2由安培环路定律，在磁环内取闭合积分由安培环路定律，在磁环内取闭合积分回路，则可得回路，则可得由于铁心很细，可近似认为磁力线均匀分布在截面上。由于铁心很细，可近似认为磁力线均匀分布在截面上。v在各向同性线性媒质中，穿过任意电流回路的磁通量与回路在各向同性线性媒质中，穿过任意电流回路的磁通量与回路电流强度成正比。电流强度成正比。一、电感的定义一、电感的定义v电感定义：穿过某电流回路的磁通量与回路中电流强度之比电感定义：穿过某电流回路的磁通量与回路中电流强度之比称为电感（电感系数），用称为电感（电感系数），用L L表示，即：表示，即：4.12 4.12 电感电感 Inductanceq L 称为回路的称为回路的电感电感，单位为，单位为H（亨利）。由该定义可见，亨利）。由该定义可见，电感又可理解为与单位电流交链的磁通链。电感又可理解为与单位电流交链的磁通链。q 在线性媒质中，单个回路的电感仅与回路的在线性媒质中，单个回路的电感仅与回路的形状形状及及尺寸尺寸有关有关，但与回路中，但与回路中电流无关电流无关。说明：说明：q 若回路由若回路由N N匝线圈绕成，则线圈的总磁通量为各单匝线圈绕成，则线圈的总磁通量为各单匝线圈磁通量之和，称为磁链。若匝线圈磁通量之和，称为磁链。若N N匝线圈密绕，回匝线圈密绕，回路总磁通量为：路总磁通量为：若有两个回路存在，如图示。若有两个回路存在，如图示。与回路电流与回路电流I1交链的磁通链是由两交链的磁通链是由两部分磁通形成的，其一是部分磁通形成的，其一是I1本身产本身产生的磁通形成的磁通链生的磁通形成的磁通链11，另一是，另一是电流电流I2 在回路在回路I1中产生的磁通形成中产生的磁通形成的磁通链的磁通链 12 。dl10zyxdl2l2l1I2I1r2-r1r2r1同同理理，与与回回路路电电流流 I2 交交链链的的磁磁通通链链是是由由本本身身产产生生的的磁磁通通链链 22 和电流和电流 I1在回路在回路l2中产生的磁通链中产生的磁通链 21 共同形成的，即共同形成的，即二、自感与互感二、自感与互感L11，L22分别分别称为回路称为回路 l1、l2的的自感自感，若周围媒质是线性的，则比值若周围媒质是线性的，则比值 ，及及 均均为常数，为常数，令令M12、M21分别分别称为回路称为回路l2 对对 L1、l1对对 l2的的互感互感。说明：说明：若回路导线直径较粗，则若回路导线直径较粗，则式中：式中：为回路内自感，即导体内部磁场与部分电流交链所形为回路内自感，即导体内部磁场与部分电流交链所形成电感。成电感。为回路外自感，即导体外磁场与回路交链所形成电感。为回路外自感，即导体外磁场与回路交链所形成电感。三、互感的计算三、互感的计算诺伊曼公式诺伊曼公式1、互感具有互易关系，即互感具有互易关系，即 2 2、若若dl1与与dl2处处处处保保持持垂垂直直，则则互互感感 ；若若处处处处保保持持平平行行，则则互互感感 M 值值达达到到最最大大。如如果果需需要要增增强强两两个个线线圈圈之之间间的的耦耦合合，应应彼彼此此平平行行放放置置；若若要要避避免免两两个个线圈相互耦合，则应相互垂直。线圈相互耦合，则应相互垂直。3、互感可正可负、互感可正可负，其值正负取决于两个线圈的电流方向，其值正负取决于两个线圈的电流方向，但但电感始终应为正值电感始终应为正值。若互磁通与原磁通方向相同时，。若互磁通与原磁通方向相同时，则使磁通链增加，互感应为正值；反之，若互磁通与原则使磁通链增加，互感应为正值；反之，若互磁通与原磁通方向相反时，则使磁通链减少，互感为负值。磁通方向相反时，则使磁通链减少，互感为负值。四、自感与互感的特点：四、自感与互感的特点：五、计算电感的一般步骤：五、计算电感的一般步骤：1 1）假设回路中通有电流假设回路中通有电流I I；2 2）求出磁感应强度求出磁感应强度B B或矢量磁位或矢量磁位A A；3 3）计算与回路交链的磁通；计算与回路交链的磁通；4 4）由磁通与电流的比值求出电感。由磁通与电流的比值求出电感。分析：内导体为粗导体，故内导体存在分析：内导体为粗导体，故内导体存在内自感。因此同轴线自感由同轴线内自内自感。因此同轴线自感由同轴线内自感和内外导体间互感组成。感和内外导体间互感组成。设同轴线内导体载流为设同轴线内导体载流为I I，则由安培环路定律，知，则由安培环路定律，知 求同轴线单位长度的自感。设同轴线内径为求同轴线单位长度的自感。设同轴线内径为a a，外径为，外径为b b，内，内外导体间为真空。导体磁导率为外导体间为真空。导体磁导率为例题例题6解：解：同轴线单位长度自感由内导体内自感和内外导同轴线单位长度自感由内导体内自感和内外导体互感构成。即：体互感构成。即：bcrcbaOdrIIeaIOaIO如图，在内导体内半径为如图，在内导体内半径为r r处取一长处取一长为单位长度，宽为为单位长度，宽为dr的矩形面元，则的矩形面元，则通过该面元的磁通为：通过该面元的磁通为：令与令与 所交链的电流为所交链的电流为I I,可知可知若将整个内导体电流看作若将整个内导体电流看作1 1匝，则与匝，则与 交链的电流匝数为交链的电流匝数为 先求先求LibcrcbaOdrIIe 由磁链定义，知与由磁链定义，知与 对应的磁链为：对应的磁链为：整个内导体单位长度的内磁链为整个内导体单位长度的内磁链为 故内导体单位长度的内自感为故内导体单位长度的内自感为内外导体间单位长度磁链为：内外导体间单位长度磁链为：求求Lo求双传输线单位长度自感。设导线半径为求双传输线单位长度自感。设导线半径为a a，导线间距为，导线间距为D D。(Da)(Da)分析：导线为细导线，故只需考虑导分析：导线为细导线，故只需考虑导体间的互感。体间的互感。解：解：由安培环路定律，可以求得在由安培环路定律，可以求得在导体间：导体间：则导体间单位长度的磁通量为则导体间单位长度的磁通量为例题例题7 7一、电流回路系统的磁场能量一、电流回路系统的磁场能量 N N个回路系统，个回路系统，i i回路自感为回路自感为Lii，i i回路与回路与j j回路间互感为回路间互感为Lij，i i回路电流为回路电流为Ii，则磁回路系统的磁场能量为，则磁回路系统的磁场能量为:讨论：讨论：1 1、若回路为单回路系统，则、若回路为单回路系统，则4.13 磁场能量磁场能量 Energy in a magnetic fieldEnergy in a magnetic field考考虑虑到到回回路路电电感感 ，则则电电流流为为I 的的单单个个回回路路周周围围的的磁磁场能量又可表示为场能量又可表示为式中式中 为与电流为与电流 I 交链的磁通链。交链的磁通链。2 2、若电流为体电流分布，则其在空间中产生的磁能为：、若电流为体电流分布，则其在空间中产生的磁能为：式中：式中：为体电流为体电流 在在dV处产生的磁位。处产生的磁位。V V为整个空间。为整个空间。说明：说明：q 是恒定磁场的总能量，且只适用于恒定磁场；是恒定磁场的总能量，且只适用于恒定磁场；q 不是磁场能量密度，因为的地方也存在磁场能量。不是磁场能量密度，因为的地方也存在磁场能量。若回路为双回路系统，则若回路为双回路系统，则磁场能量磁场能量二、磁能密度二、磁能密度 MagneticMagnetic Energy densityEnergy density定义：磁能密度为定义：磁能密度为三、利用磁能求回路电感三、利用磁能求回路电感对于线性均匀媒质，对于线性均匀媒质，解：解：设导体内电流为设导体内电流为I I，则由安培环路定律，则由安培环路定律则导体内单位长度磁能为则导体内单位长度磁能为例题例题8 8求半径为求半径为a的无限长直导线单位长度内自感。的无限长直导线单位长度内自感。利用虚位移法来计算磁场力。在利用虚位移法来计算磁场力。在N个电流回路系统中，假定第个电流回路系统中，假定第i个回路在磁场力的作用下产生一个虚位移个回路在磁场力的作用下产生一个虚位移 xi。如果，磁场力。如果，磁场力做功做功Fi xi，系统的能量增加，系统的能量增加 Wm，Ws是与各电流回路相连是与各电流回路相连接的外电源提供的能量。根据能量守恒定律，有接的外电源提供的能量。根据能量守恒定律，有 Ws=Fi xi+Wm具体计算过程中，可假定各回路电流维持不变，或假定与具体计算过程中，可假定各回路电流维持不变，或假定与各回路交链的磁通维持不变。各回路交链的磁通维持不变。各回路电流不变各回路电流不变在这种情况下，与各电流回路相连接的电源提供的能量为在这种情况下，与各电流回路相连接的电源提供的能量为4.14 磁场力磁场力 Magnetic force基本思路：基本思路：而系统增加的磁能为而系统增加的磁能为:Ws=Fi xi+Wm各回路的磁通不变各回路的磁通不变 magnetic flux在这种情况下，与各电流回路相连接的电源提供的能量。在这种情况下，与各电流回路相连接的电源提供的能量。Ws=Fi xi+Wm Ws 0注意：注意：已规定广义力的方向为广义坐标的已规定广义力的方向为广义坐标的增加增加方向。因此，如方向。因此，如果按照上述公式求得的广义力数值为负，则表明广义力的实际果按照上述公式求得的广义力数值为负，则表明广义力的实际方向为广义坐标的减小方向。方向为广义坐标的减小方向。磁场力的应用比电场力更为广泛，而且力量更强。例如，电磁磁场力的应用比电场力更为广泛，而且力量更强。例如，电磁铁、磁悬浮轴承以及磁悬浮列车等，都是利用磁场力的作用。铁、磁悬浮轴承以及磁悬浮列车等，都是利用磁场力的作用。计计算算无无限限长长的的载载流流导导线线与与矩矩形形电电流流环环之之间间的的作作用用力力。电流环的尺寸及位置如图示。电流环的尺寸及位置如图示。abD0I1I2解解 利利用用虚虚位位移移方方法法，且且设设位位移移过过程程中中电电流流不不变变，则则导导线线与与电电流流环环之之间间的的相相互互作用力为作用力为式中式中例例9 9取广义坐标取广义坐标 l 为间距为间距D，因，因L11及及L22 与与D无关，因此相互作用无关，因此相互作用力为力为 式中负号表明，作用力的实际方向为间距式中负号表明，作用力的实际方向为间距D 减小方向，减小方向，这就意味着这就意味着F 为吸引力。若两个电流之一的方向与图示为吸引力。若两个电流之一的方向与图示方向相反，则方向相反，则M 为负，为负，F 0，表明，表明 F 为排斥力。为排斥力。计计算算电电磁磁铁铁的的吸吸引引力力。设设磁磁铁铁的的端端面面为为S，气气隙隙长长度度为为l，气隙中的磁感应强度为，气隙中的磁感应强度为B0，如图示。，如图示。B0SIl解解 由于铁芯可以近似当作理想由于铁芯可以近似当作理想导磁体，铁芯中的磁场强度为零，导磁体，铁芯中的磁场强度为零，因而铁芯中没有磁能分布。这样，因而铁芯中没有磁能分布。这样，电磁铁产生的磁场能量可以近似电磁铁产生的磁场能量可以近似地认为仅分布在两个气隙中，因地认为仅分布在两个气隙中，因此总磁能此总磁能 Wm 为为又知气隙中的磁通又知气隙中的磁通 ，代入上式得，代入上式得 由此可见，为了计算电磁铁的吸引力，将系统当作常磁通由此可见，为了计算电磁铁的吸引力，将系统当作常磁通系统较为简便。系统较为简便。例例1010最后求得最后求得式中负号表明式中负号表明F 为吸引力。由此结果还可见，电磁铁的为吸引力。由此结果还可见，电磁铁的吸力与磁铁的横截面面积及气隙中磁感应强度的平方成吸力与磁铁的横截面面积及气隙中磁感应强度的平方成正比。正比。稳恒电流稳恒电流恒定电场恒定电场恒定电场恒定电场基本方程基本方程边界条件边界条件力力能量能量极化极化电阻电阻电感电感磁化磁化第四章总结第四章总结 电流及电流强度电流及电流强度 电流连续性原理电流连续性原理电流连续性方程积分形式电流连续性方程积分形式 恒定电流场的基本方程恒定电流场的基本方程 散度方程散度方程:旋度方程旋度方程:微分方程微分方程积分方程积分方程恒定磁场是有旋无散场，是非保守场，电流为磁场的漩涡源。恒定磁场是有旋无散场，是非保守场，电流为磁场的漩涡源。磁感应线是闭合曲线磁感应线是闭合曲线 恒定磁场的基本方程恒定磁场的基本方程恒定电场是有散无旋场，是保守场，电流为散度源源。恒定电场是有散无旋场，是保守场，电流为散度源源。恒定电流场的边界条件恒定电流场的边界条件 磁介质中磁场的边界条件磁介质中磁场的边界条件 恒定电流场的能量损耗恒定电流场的能量损耗 磁场能量和磁场力磁场能量和磁场力电流系统的磁能电流系统的磁能磁场能量磁场能量能量密度能量密度电感器的磁能电感器的磁能电流系统的磁能电流系统的磁能电感电感自感自感互感互感互感的计算互感的计算 矢量磁位和标量磁位矢量磁位和标量磁位在线性、各向同性的无限大介质中，矢量磁位为在线性、各向同性的无限大介质中，矢量磁位为体分布电流体分布电流面分布电流面分布电流线分布电流线分布电流标量磁位标量磁位标量磁位满足的微分方程标量磁位满足的微分方程 矢量磁位与静电位的公式矢量磁位与静电位的公式线性、各向同性媒质中恒定磁场与静电场的对比线性、各向同性媒质中恒定磁场与静电场的对比 掌握恒定电场、磁场的基本方程与边界条件，熟悉恒定电掌握恒定电场、磁场的基本方程与边界条件，熟悉恒定电场、磁场的基本性质，熟练运用高斯定理、安培环路定律求场、磁场的基本性质，熟练运用高斯定理、安培环路定律求解具有一定对称性分布的电场、磁场。解具有一定对称性分布的电场、磁场。理解介质极化、磁化的概念，对于介质的磁化电流和极理解介质极化、磁化的概念，对于介质的磁化电流和极化电流的概念应有清楚地了解，并会计算极化、磁化电流地化电流的概念应有清楚地了解，并会计算极化、磁化电流地分布。分布。位函数对求解磁场分布起着重要的作用，应深刻理解电位函数对求解磁场分布起着重要的作用，应深刻理解电位、矢量磁位和标量磁位的定义，掌握它们所满足的微分方位、矢量磁位和标量磁位的定义，掌握它们所满足的微分方程和边界条件，并会利用矢量磁位和标量磁位求解一些简单程和边界条件，并会利用矢量磁位和标量磁位求解一些简单的磁场分布问题。的磁场分布问题。要深刻理解电容和电场能量、自感、互感和磁场能量的要深刻理解电容和电场能量、自感、互感和磁场能量的概念，掌握其计算方法，会计算电场能量、磁场能量以及电概念，掌握其计算方法，会计算电场能量、磁场能量以及电场力、磁场力。场力、磁场力。本章要求本章要求