第6章 二阶电路时域分析.ppt

电路简明教程电路简明教程主编主编 余本海余本海中国水利水电出版社中国水利水电出版社6 二阶电路时域分析二阶电路时域分析 6.1 二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应 6.2 二阶电路的零状态响应、全响应二阶电路的零状态响应、全响应 6.3 二阶电路的阶跃响应与冲激响应二阶电路的阶跃响应与冲激响应本章重点：本章重点：1电路微分方程的建立电路微分方程的建立2用经典法分析二阶电路的过渡过程用经典法分析二阶电路的过渡过程3二阶电路的零输入响应、零状态响应、二阶电路的零输入响应、零状态响应、全响应的分析求解；全响应的分析求解；4阶跃响应和冲激响应的分析求解阶跃响应和冲激响应的分析求解本章难点：本章难点：1电路微分的解及其物理意义电路微分的解及其物理意义2不同特征根的讨论计算不同特征根的讨论计算6.1 二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应二阶电路中无外施电源激励，仅在动态元件二阶电路中无外施电源激励，仅在动态元件初始储能作用下产生的响应。初始储能作用下产生的响应。零输入响应零输入响应、先讨论 的情况。、的情况分析方法与之相同。根据根据KVL定律，电路方程为定律，电路方程为代入上式代入上式为二阶线性常系数齐次微分方程为二阶线性常系数齐次微分方程 特征方程特征方程特征根特征根 由特征根的性质（不等根、等根或共轭复根）由特征根的性质（不等根、等根或共轭复根）确定通解的具体形式。确定通解的具体形式。设通解设通解根据电路的初始条件得出通解中的待定系数根据电路的初始条件得出通解中的待定系数A1、A2。（1）过阻尼情况（）过阻尼情况（）时特征根时特征根 、为不相等的负实数为不相等的负实数微分方程的解的形式为微分方程的解的形式为（6-4）（6-5）（6-6）由电路的初始条件：由电路的初始条件：由 初始条件为：初始条件为：上式代入式（6-4）中，解出其中的待定系数。零输入响应为零输入响应为 波形图6.2 均为随着时间衰减的函数，电路的响应均为随着时间衰减的函数，电路的响应为非振荡响应。电容在整个过程中一直在释放储存为非振荡响应。电容在整个过程中一直在释放储存的电能，称之为非振荡放电。电容在整个过程中一直的电能，称之为非振荡放电。电容在整个过程中一直在消耗电能。在消耗电能。时，电感吸收能量，建立磁场；时，电感吸收能量，建立磁场；时，电感释放能量，磁场衰减，趋向消失。时，电感释放能量，磁场衰减，趋向消失。时，电感电压过零点。时，电感电压过零点。电流达到最大的时刻 最小时的时间为最小时的时间为（2）临界阻尼情况（）临界阻尼情况（）二阶微分方程的特征根为二个相等的实根，二阶微分方程的特征根为二个相等的实根，响应是一个临界非振荡放电过程。响应是一个临界非振荡放电过程。即当即当时特征根时特征根为相等的负实数为相等的负实数 ，介于振荡与非振荡的临界情况。介于振荡与非振荡的临界情况。当特征根为相等的实数时，微分方程的解的形式为当特征根为相等的实数时，微分方程的解的形式为由式（6-5）、（6-6）可得 则解为则解为代入（代入（6-10）中得）中得临界阻尼时响应曲线的变化规律与过阻尼时的情况，随着时间的推移逐渐衰减，其衰减过程的波形与图随着时间的推移逐渐衰减，其衰减过程的波形与图6-2类似。此种状态是振荡过程与非振荡过程的分界线。类似。此种状态是振荡过程与非振荡过程的分界线。故称为临界非振荡过程，该电阻故称为临界非振荡过程，该电阻 称为临界电阻。称为临界电阻。（3）欠阻尼情况（）欠阻尼情况（）二阶微分方程的特征根为二个共轭复根，响应是一个二阶微分方程的特征根为二个共轭复根，响应是一个振荡放电过程。振荡放电过程。时，特征根、为一对共轭复数，其实部为负数。当特征根为不相等共轭复根时，微分方程的解的形式为 （6-5）（6-6）可将特征根写为：根据初始条件式（6-8）求待定系数。波形如图6.4所示。图6.4在衰减过程中，两种储能元件相互交换能量，见表6-1。电电容容释释放放释释放放吸收吸收电电感感吸收吸收释释放放释释放放电电阻阻消耗消耗消耗消耗消耗消耗表6-1电路中的电阻较小，电容的电场能量不会很快转变为热量消耗掉，响应经过振荡过程逐渐衰减消失，所以称此过渡过程为欠阻尼。在欠阻尼情况下，可以直接设电路方程的通解为 然后用初始值确定其中的待定系数 A与与 。（4）无阻尼的情况无阻尼情况是欠阻尼的一种特殊情况。为一对共轭虚数。为一对共轭虚数。欠阻尼的情况时,零输入响应为 （6-21）（6-22）图6.5均为正弦函数，其幅值不随时间衰减，电路的响应为等幅振荡响应，如图6.5所示，称为系统的固有频率，当二阶电路的激励为与之同频率的正弦函数时，则此时电路发生谐振。二阶电路中的能量振荡图6.6 LC电路中的能量振荡 当存在耗能元件时的情况。一种可能是电阻较小，电路仍然可以形成振荡，但由于能量在电场能与电磁能之间转化时，不断地被电阻元件消耗掉，所以形成的振荡为减幅振荡，即幅度随着时间衰减到零；另一种可能是电阻较大，电容存储的能量在第一次转移时就有大部分被电阻消耗掉，电路中的能量已经不可能在电场能与电磁能之间往返转移，电压、电流将直接衰减到零。GLC并联电路与RLC串联电路为对偶电路，其零输入响应可根据对偶原理对应求出。6.2 二阶电路的零状态响应、全响应二阶电路的零状态响应、全响应6.2.1 RLC串联电路的零状态响应串联电路的零状态响应二阶电路中动态元件的储能均为零，电路中的响应仅由外施激励产生。二阶电路的零状态响应 以 为电路的变量，根据VCR和KVL，有（6-24）方程（6-24）为二阶线性常系数非齐次微分方程，其解由两部分组成。特解通解式（6-24）对应的齐次微分方程方程（6-25）与方程（6-1）完全相同，其对应的特征方程的根也有三种情况。齐次通解形式与零输入响应相同，由此写出全解。（6-25）阻尼与欠阻尼两种情况，全解形式为 代入初始条件 解得：临界阻尼情况，全解形式为 代入上述初始条件，解得：1.过阻尼非振荡过程零状态响应为（6-26）特征根的表达式与式（6-5）、（6-6）相同。波形如图6-12所示，为非振荡充电过程。2.欠阻尼振荡过程零状态响应为 为振荡充电过程。3.临界阻尼非振荡过程 此情况下的充电过程也为非振荡过程。6.2.2 RLC并联电路的零状态响应并联电路的零状态响应根据KCL有 以 为待求变量，则有 为二阶线性非齐次常微分方程 GLC并联电路与RLC串联电路为对偶电路，其零输入响应可根据对偶原理对应求出。求解过程与二阶RLC串联电路零状态响应相同，6.2.3 二阶电路的全响应二阶电路的全响应二阶电路的全响应二阶电路在初始储能及外施激励作用下的的响应。一般用零输入响应与零状态响应叠加来计算全响应。例6-1 电路如图6.10所示，已知，时开关S闭合，求开关闭合后电感中的 电流 。解：选 为待求变量。开关S闭合前，电感中的 电流 具有初始储能；开关S闭合后，直流激励源作用于电路，故为二阶电路的全响应。（1）列出开关闭合后的电路微分方程，列结点 KCL 方程有将参数代入得设电路全响应为（2）根据 的稳态分量计算出特解为（3）为确定通解，首先列出特征方程为特征根为：是一对共轭复根，所以换路后暂态过程的性质为欠阻尼情况，即（4）全响应为 代入初始条件 全响应为6.3 二阶电路的阶跃响应与冲激响应二阶电路的阶跃响应与冲激响应6.3.1 二阶电路的阶跃响应二阶电路的阶跃响应二阶电路在阶跃激励下的零状态响应。阶跃响应二阶电路的阶跃响应的求取类似于二阶电路的零状态响应的求取方法。求解方法 求解的步骤 1计算电路的初始值：、或 、2列写电路微分方程 根据KCL或KVL定理列写电路方程，将其整理为有关电容电压或电感电流（状态变量）的二阶微分方程。3.计算电路方程的特解电路方程的特解为常数A，将其代入微分方程中求出A。4.计算电路方程的通解 为两个不相等的实数 、时,为两个相等的实数 时,为两个共轭的复根 、时,5计算电路的初始值原电路方程的解即为通解与特解之和，再根据电路的初始条件计算出各个待定系数。三、响应曲线图6.12给出过阻尼、临界阻尼、欠阻尼三种情况下电路响应的曲线，可以看出，三种情况下的稳态值相同。图6.12衰减振荡（欠阻尼）与等幅振荡（零阻尼）情况下的响应曲线示意图，如图6.13所示。图6.136.3.2 二阶电路的冲激响应二阶电路的冲激响应在冲激激励作用下二阶电路所产生的零状态响应。冲激响应 实际上是二阶电路在冲激源作用下，建立一个初始状态后产生的零输入响应。电路如图6.14所示。图6.14解法求出冲激激励所产生的电路初始值。已知初始状态的二阶电路的零输入响应。本章结束