固体物理第一章3.pptx

uu由于晶面作有规则地配置，因此晶体在外型上具有一定的对称由于晶面作有规则地配置，因此晶体在外型上具有一定的对称由于晶面作有规则地配置，因此晶体在外型上具有一定的对称由于晶面作有规则地配置，因此晶体在外型上具有一定的对称性质。对称性不仅表现在几何外形上，而且反映在晶体的宏观物理性质。对称性不仅表现在几何外形上，而且反映在晶体的宏观物理性质。对称性不仅表现在几何外形上，而且反映在晶体的宏观物理性质。对称性不仅表现在几何外形上，而且反映在晶体的宏观物理性质中。性质中。性质中。性质中。uu 对称性是指在一定的几何操作下，物体保持不变的特性。与一对称性是指在一定的几何操作下，物体保持不变的特性。与一对称性是指在一定的几何操作下，物体保持不变的特性。与一对称性是指在一定的几何操作下，物体保持不变的特性。与一般几何图形的对称不同，由于晶格周期性的限制，晶体仅具有为数般几何图形的对称不同，由于晶格周期性的限制，晶体仅具有为数般几何图形的对称不同，由于晶格周期性的限制，晶体仅具有为数般几何图形的对称不同，由于晶格周期性的限制，晶体仅具有为数不多的对称类型。不多的对称类型。不多的对称类型。不多的对称类型。uu 晶体具有各种宏观对称性的原因在于原子的规则排列。晶体具有各种宏观对称性的原因在于原子的规则排列。晶体具有各种宏观对称性的原因在于原子的规则排列。晶体具有各种宏观对称性的原因在于原子的规则排列。对称性的本质是指系统中的一些要素是等价的。对称性越高的对称性的本质是指系统中的一些要素是等价的。对称性越高的对称性的本质是指系统中的一些要素是等价的。对称性越高的对称性的本质是指系统中的一些要素是等价的。对称性越高的系统，描述起来就越简单，需要独立地表征的系统要素就越少。系统，描述起来就越简单，需要独立地表征的系统要素就越少。系统，描述起来就越简单，需要独立地表征的系统要素就越少。系统，描述起来就越简单，需要独立地表征的系统要素就越少。1.6 1.6 1.6 1.6 晶体的对称性晶体的对称性晶体的对称性晶体的对称性 pp 对称性对称性对称性对称性*对称性：经过某种动作后，晶体能够自身重合的特性。对称性：经过某种动作后，晶体能够自身重合的特性。对称性：经过某种动作后，晶体能够自身重合的特性。对称性：经过某种动作后，晶体能够自身重合的特性。*对称操作：使晶体自身重合的动作。对称操作：使晶体自身重合的动作。对称操作：使晶体自身重合的动作。对称操作：使晶体自身重合的动作。*对称素：对称操作所依赖的几何要素。如：点、线、面。对称素：对称操作所依赖的几何要素。如：点、线、面。对称素：对称操作所依赖的几何要素。如：点、线、面。对称素：对称操作所依赖的几何要素。如：点、线、面。几个定义几个定义几个定义几个定义*点操作点操作点操作点操作对应于数学上的对应于数学上的对应于数学上的对应于数学上的正交变换（也叫线性变换）正交变换（也叫线性变换）正交变换（也叫线性变换）正交变换（也叫线性变换），在点操，在点操，在点操，在点操作前后，任意两点的距离保持不变。作前后，任意两点的距离保持不变。作前后，任意两点的距离保持不变。作前后，任意两点的距离保持不变。*满足布拉菲格子周期性要求的变换操作，称为满足布拉菲格子周期性要求的变换操作，称为满足布拉菲格子周期性要求的变换操作，称为满足布拉菲格子周期性要求的变换操作，称为平移操作平移操作平移操作平移操作。pp 点阵对称操作点阵对称操作点阵对称操作点阵对称操作假设在某一个操作过后，点阵不变，也就是每个格点的位置都得到假设在某一个操作过后，点阵不变，也就是每个格点的位置都得到假设在某一个操作过后，点阵不变，也就是每个格点的位置都得到假设在某一个操作过后，点阵不变，也就是每个格点的位置都得到重复，那么这个重复，那么这个重复，那么这个重复，那么这个平移、旋转或镜反射操作平移、旋转或镜反射操作平移、旋转或镜反射操作平移、旋转或镜反射操作就叫一个就叫一个就叫一个就叫一个点阵对称操作点阵对称操作点阵对称操作点阵对称操作。uu按照空间群理论，晶体的对称类型是由少数基本的对称操作按照空间群理论，晶体的对称类型是由少数基本的对称操作按照空间群理论，晶体的对称类型是由少数基本的对称操作按照空间群理论，晶体的对称类型是由少数基本的对称操作(8(8(8(8种种种种)组合而成。组合而成。组合而成。组合而成。uu 对点阵对称性的精确数学描述，需要用点群和空间群的概念。对点阵对称性的精确数学描述，需要用点群和空间群的概念。对点阵对称性的精确数学描述，需要用点群和空间群的概念。对点阵对称性的精确数学描述，需要用点群和空间群的概念。uu如果基本对称操作中不包括平移，则组成如果基本对称操作中不包括平移，则组成如果基本对称操作中不包括平移，则组成如果基本对称操作中不包括平移，则组成32323232种宏观对称类型，种宏观对称类型，种宏观对称类型，种宏观对称类型，称为点群。称为点群。称为点群。称为点群。uu 如果包括平移，就构成如果包括平移，就构成如果包括平移，就构成如果包括平移，就构成230230230230种微观的对称性，称为空间群。种微观的对称性，称为空间群。种微观的对称性，称为空间群。种微观的对称性，称为空间群。uu 能使一个图像复原的全部不等同操作，形成一个对称操作群。能使一个图像复原的全部不等同操作，形成一个对称操作群。能使一个图像复原的全部不等同操作，形成一个对称操作群。能使一个图像复原的全部不等同操作，形成一个对称操作群。pp 线性变换线性变换线性变换线性变换式中式中式中式中uu 晶体的对称性晶体的对称性晶体的对称性晶体的对称性:晶体经过某种操作后恢复原状的性质晶体经过某种操作后恢复原状的性质晶体经过某种操作后恢复原状的性质晶体经过某种操作后恢复原状的性质uu 在操作前后应不改变晶体中任意两点间的距离在操作前后应不改变晶体中任意两点间的距离在操作前后应不改变晶体中任意两点间的距离在操作前后应不改变晶体中任意两点间的距离uu 如用数学表示，这些操作就是熟知的线性变换如用数学表示，这些操作就是熟知的线性变换如用数学表示，这些操作就是熟知的线性变换如用数学表示，这些操作就是熟知的线性变换 在数学上，在数学上，在数学上，在数学上，等也可认为是空间同一点在两个坐标系中的等也可认为是空间同一点在两个坐标系中的等也可认为是空间同一点在两个坐标系中的等也可认为是空间同一点在两个坐标系中的坐标，即坐标，即坐标，即坐标，即 设经过某个操作，把晶格中任一点设经过某个操作，把晶格中任一点设经过某个操作，把晶格中任一点设经过某个操作，把晶格中任一点X X X X变为变为变为变为XXXX，这操作可表示为，这操作可表示为，这操作可表示为，这操作可表示为线性变换：线性变换：线性变换：线性变换：用矩阵表示，用矩阵表示，用矩阵表示，用矩阵表示，(1)(1)式可表示为：式可表示为：式可表示为：式可表示为：操作前后，两点间的距离应保持不变，这要求：操作前后，两点间的距离应保持不变，这要求：操作前后，两点间的距离应保持不变，这要求：操作前后，两点间的距离应保持不变，这要求：转置运算：转置运算：转置运算：转置运算：反序定律反序定律反序定律反序定律 为为为为 的转置矩阵，即行列互换所得矩阵。因此要求的转置矩阵，即行列互换所得矩阵。因此要求的转置矩阵，即行列互换所得矩阵。因此要求的转置矩阵，即行列互换所得矩阵。因此要求(1)(1)若若若若A A是正交矩阵，则是正交矩阵，则是正交矩阵，则是正交矩阵，则|A|=|A|=11(2)(2)设设设设A A、B B是正交矩阵，则是正交矩阵，则是正交矩阵，则是正交矩阵，则ABAB也是正交矩阵也是正交矩阵也是正交矩阵也是正交矩阵(3)(3)正交矩阵的转置矩阵仍是正交矩阵。正交矩阵的转置矩阵仍是正交矩阵。正交矩阵的转置矩阵仍是正交矩阵。正交矩阵的转置矩阵仍是正交矩阵。(4)(4)正交矩阵是可逆矩阵，且正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵。正交矩阵是可逆矩阵，且正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵。正交矩阵是可逆矩阵，且正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵。正交矩阵是可逆矩阵，且正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵。下面介绍几种简单操作的变换关系：下面介绍几种简单操作的变换关系：下面介绍几种简单操作的变换关系：下面介绍几种简单操作的变换关系：即即即即A A A A为正交矩阵为正交矩阵为正交矩阵为正交矩阵正交矩阵的其它性质：正交矩阵的其它性质：正交矩阵的其它性质：正交矩阵的其它性质：一、转动一、转动一、转动一、转动将某将某将某将某图形绕图形绕图形绕图形绕x x x x1 1 1 1轴转过轴转过轴转过轴转过角角角角，该图形中任一点变化关系如下：，该图形中任一点变化关系如下：，该图形中任一点变化关系如下：，该图形中任一点变化关系如下：则变换关系是则变换关系是则变换关系是则变换关系是取中心为原点取中心为原点取中心为原点取中心为原点，经中心反演后，图形中任一点：，经中心反演后，图形中任一点：，经中心反演后，图形中任一点：，经中心反演后，图形中任一点：也就是也就是也就是也就是 如经此操作后，晶体与自身重合则为具有中心反演对称，如经此操作后，晶体与自身重合则为具有中心反演对称，如经此操作后，晶体与自身重合则为具有中心反演对称，如经此操作后，晶体与自身重合则为具有中心反演对称，常用常用常用常用字母字母字母字母i i 代表代表代表代表。二、中心反演（二、中心反演（二、中心反演（二、中心反演（i i）三、镜象（镜面）三、镜象（镜面）三、镜象（镜面）三、镜象（镜面）我们注意到上面所考虑的几何变换（旋转和反射）都是正交变我们注意到上面所考虑的几何变换（旋转和反射）都是正交变我们注意到上面所考虑的几何变换（旋转和反射）都是正交变我们注意到上面所考虑的几何变换（旋转和反射）都是正交变换（保持两点距离不变的变换）换（保持两点距离不变的变换）换（保持两点距离不变的变换）换（保持两点距离不变的变换）。如果一个物体在某一正交变换下不变，我们就称这个变换为物体如果一个物体在某一正交变换下不变，我们就称这个变换为物体如果一个物体在某一正交变换下不变，我们就称这个变换为物体如果一个物体在某一正交变换下不变，我们就称这个变换为物体的一个对称操作，显然，一个物体的对称操作愈多，就表明它的对称的一个对称操作，显然，一个物体的对称操作愈多，就表明它的对称的一个对称操作，显然，一个物体的对称操作愈多，就表明它的对称的一个对称操作，显然，一个物体的对称操作愈多，就表明它的对称性愈高。性愈高。性愈高。性愈高。如以如以如以如以x x3 30 0作为镜面，镜象对称操作是将图形的任何一点作为镜面，镜象对称操作是将图形的任何一点作为镜面，镜象对称操作是将图形的任何一点作为镜面，镜象对称操作是将图形的任何一点变为变为变为变为 小猫在研究镜面操作小猫在研究镜面操作小猫在研究镜面操作小猫在研究镜面操作 山和水在玩镜面操作山和水在玩镜面操作山和水在玩镜面操作山和水在玩镜面操作 山和水在玩镜面操作山和水在玩镜面操作山和水在玩镜面操作山和水在玩镜面操作 人和牛在玩投影人和牛在玩投影人和牛在玩投影人和牛在玩投影1 1 1 1、不包括平移的基本对称操作、不包括平移的基本对称操作、不包括平移的基本对称操作、不包括平移的基本对称操作四、基本的对称操作四、基本的对称操作四、基本的对称操作四、基本的对称操作 (a)n(a)n(a)n(a)n度旋转对称轴度旋转对称轴度旋转对称轴度旋转对称轴uu 假设纸面上有一列格点，通过假设纸面上有一列格点，通过假设纸面上有一列格点，通过假设纸面上有一列格点，通过A A A A点有一垂直于纸面的对称轴，当点有一垂直于纸面的对称轴，当点有一垂直于纸面的对称轴，当点有一垂直于纸面的对称轴，当晶体绕其转动晶体绕其转动晶体绕其转动晶体绕其转动 后与自身重合。后与自身重合。后与自身重合。后与自身重合。uu在此对称操作作用下，在此对称操作作用下，在此对称操作作用下，在此对称操作作用下，B B B B点转至点转至点转至点转至B B B B 位置。位置。位置。位置。uu由于晶格的周期性由于晶格的周期性由于晶格的周期性由于晶格的周期性，B B B B点应与点应与点应与点应与A A A A点等价，因此点等价，因此点等价，因此点等价，因此在在在在B B B B点必须也存在一点必须也存在一点必须也存在一点必须也存在一转角为转角为转角为转角为的垂直对称转轴的垂直对称转轴的垂直对称转轴的垂直对称转轴，而且绕此轴转动（，而且绕此轴转动（，而且绕此轴转动（，而且绕此轴转动（）角也必然是一）角也必然是一）角也必然是一）角也必然是一对称操作。在此操作作用下，对称操作。在此操作作用下，对称操作。在此操作作用下，对称操作。在此操作作用下，A A A A点变至点变至点变至点变至AAAA点。点。点。点。由几何关系得知由几何关系得知由几何关系得知由几何关系得知 因而，晶体周期性必然要求因而，晶体周期性必然要求因而，晶体周期性必然要求因而，晶体周期性必然要求A A A A B B B B 为为为为ABABABAB的整数倍，因为的整数倍，因为的整数倍，因为的整数倍，因为ABAB为此为此为此为此方向上格点排列的周期。方向上格点排列的周期。方向上格点排列的周期。方向上格点排列的周期。但从图可见但从图可见但从图可见但从图可见因此因此因此因此式中式中式中式中m m m m为整数。由于为整数。由于为整数。由于为整数。由于 ，可得到当，可得到当，可得到当，可得到当m m m m为为为为1 1 1 1、0 0 0 0、1 1 1 1、2 2 2 2、3 3 3 3时，时，时，时，分别为分别为分别为分别为即，晶体绕固定轴转动对称操作的转角只可能是即，晶体绕固定轴转动对称操作的转角只可能是即，晶体绕固定轴转动对称操作的转角只可能是即，晶体绕固定轴转动对称操作的转角只可能是而而而而n n n n 必须是必须是必须是必须是1 1 1 1、2 2 2 2、3 3 3 3、4 4 4 4、和、和、和、和6 6 6 6，i i i i为任意整数。为任意整数。为任意整数。为任意整数。常将这一类转动对称轴称作常将这一类转动对称轴称作常将这一类转动对称轴称作常将这一类转动对称轴称作n n n n度旋转轴度旋转轴度旋转轴度旋转轴，晶体周期性结构限制了只，晶体周期性结构限制了只，晶体周期性结构限制了只，晶体周期性结构限制了只能存在能存在能存在能存在2 2 2 2度、度、度、度、3 3 3 3度、度、度、度、4 4 4 4度和度和度和度和6 6 6 6度对称轴。度对称轴。度对称轴。度对称轴。n=1n=1相当于不变，即不施加任何操作，通常也看作一个对称操作。相当于不变，即不施加任何操作，通常也看作一个对称操作。相当于不变，即不施加任何操作，通常也看作一个对称操作。相当于不变，即不施加任何操作，通常也看作一个对称操作。分别用数字分别用数字分别用数字分别用数字2 2、3 3、4 4、6 6或符号或符号或符号或符号 代表一个代表一个代表一个代表一个n n度转轴。度转轴。度转轴。度转轴。例如：例如：例如：例如：（1 1）表示方解石菱面体的表示方解石菱面体的表示方解石菱面体的表示方解石菱面体的3 3度转轴；度转轴；度转轴；度转轴；因此，因此，因此，因此，立方体有三个立方体有三个立方体有三个立方体有三个4 4度轴，六个度轴，六个度轴，六个度轴，六个2 2度轴和四个度轴和四个度轴和四个度轴和四个3 3度轴。度轴。度轴。度轴。（3 3）表示硅酸鉀晶体的表示硅酸鉀晶体的表示硅酸鉀晶体的表示硅酸鉀晶体的6 6度及度及度及度及2 2度转轴。度转轴。度转轴。度转轴。（2 2）表示岩盐立方体的表示岩盐立方体的表示岩盐立方体的表示岩盐立方体的4 4度、度、度、度、3 3度及度及度及度及2 2度转轴。对于立方体度转轴。对于立方体度转轴。对于立方体度转轴。对于立方体而言，对面中心的连线为而言，对面中心的连线为而言，对面中心的连线为而言，对面中心的连线为4 4度度度度轴，不在同一立方面上的平轴，不在同一立方面上的平轴，不在同一立方面上的平轴，不在同一立方面上的平行棱边中点的连线为行棱边中点的连线为行棱边中点的连线为行棱边中点的连线为2 2度轴，度轴，度轴，度轴，而体对角线为而体对角线为而体对角线为而体对角线为3 3度轴。度轴。度轴。度轴。(c)(c)(c)(c)n n n n度旋转反演轴度旋转反演轴度旋转反演轴度旋转反演轴uu 晶体经绕轴作晶体经绕轴作晶体经绕轴作晶体经绕轴作n n n n度旋转与中心反演的复合操作后与自身重合则度旋转与中心反演的复合操作后与自身重合则度旋转与中心反演的复合操作后与自身重合则度旋转与中心反演的复合操作后与自身重合则称其具有称其具有称其具有称其具有n n n n度旋转反演轴对称度旋转反演轴对称度旋转反演轴对称度旋转反演轴对称。使坐标使坐标使坐标使坐标r r变成变成变成变成-r-r的操作称对原点的中心反演。的操作称对原点的中心反演。的操作称对原点的中心反演。的操作称对原点的中心反演。经此操作后，晶体与自身重合则为具有中心反演对称，常用字母经此操作后，晶体与自身重合则为具有中心反演对称，常用字母经此操作后，晶体与自身重合则为具有中心反演对称，常用字母经此操作后，晶体与自身重合则为具有中心反演对称，常用字母i i 代表。代表。代表。代表。(b)(b)(b)(b)中心反演中心反演中心反演中心反演uu晶体由于受周期性的制约，也只可能有晶体由于受周期性的制约，也只可能有晶体由于受周期性的制约，也只可能有晶体由于受周期性的制约，也只可能有2 2 2 2、3 3 3 3、4 4 4 4、与、与、与、与6 6 6 6度旋转反度旋转反度旋转反度旋转反演轴，分别用数字符号演轴，分别用数字符号演轴，分别用数字符号演轴，分别用数字符号2 2 2 2、3 3 3 3、4 4 4 4、6 6 6 6表示。表示。表示。表示。n n n n 度旋转反演轴的对称性（操作的总效果一样）度旋转反演轴的对称性（操作的总效果一样）度旋转反演轴的对称性（操作的总效果一样）度旋转反演轴的对称性（操作的总效果一样）由图可见由图可见由图可见由图可见uu 金刚石结构或闪锌矿结构具有金刚石结构或闪锌矿结构具有金刚石结构或闪锌矿结构具有金刚石结构或闪锌矿结构具有4 4 4 4度旋转反演轴。度旋转反演轴。度旋转反演轴。度旋转反演轴。uu等价于一条等价于一条等价于一条等价于一条3 3次轴加上对称心，即次轴加上对称心，即次轴加上对称心，即次轴加上对称心，即uu等价于等价于等价于等价于3 3次轴加上垂直于该轴的对称面，即次轴加上垂直于该轴的对称面，即次轴加上垂直于该轴的对称面，即次轴加上垂直于该轴的对称面，即uu 就是对称心就是对称心就是对称心就是对称心i i i i，即，即，即，即uu 就是垂直于该轴的对称镜面，记为就是垂直于该轴的对称镜面，记为就是垂直于该轴的对称镜面，记为就是垂直于该轴的对称镜面，记为m m m m，即，即，即，即镜面对称：镜面对称：镜面对称：镜面对称：镜面对称是晶体的一类很重要的对称性，镜面对称是晶体的一类很重要的对称性，镜面对称是晶体的一类很重要的对称性，镜面对称是晶体的一类很重要的对称性，用用用用m m m m表示表示表示表示。uu具有具有具有具有n n n n度旋转反演轴对称的晶体不一定具有度旋转反演轴对称的晶体不一定具有度旋转反演轴对称的晶体不一定具有度旋转反演轴对称的晶体不一定具有n n n n 度转轴与中心反演度转轴与中心反演度转轴与中心反演度转轴与中心反演这两种对称性这两种对称性这两种对称性这两种对称性uu即具有复合操作对称性不一定意味着同时具备构成复合的操作即具有复合操作对称性不一定意味着同时具备构成复合的操作即具有复合操作对称性不一定意味着同时具备构成复合的操作即具有复合操作对称性不一定意味着同时具备构成复合的操作的对称性。的对称性。的对称性。的对称性。uu但是，如具有单一操作的对称性，必具有由它们复合构成的操但是，如具有单一操作的对称性，必具有由它们复合构成的操但是，如具有单一操作的对称性，必具有由它们复合构成的操但是，如具有单一操作的对称性，必具有由它们复合构成的操作的对称性。作的对称性。作的对称性。作的对称性。必须注意的是：必须注意的是：必须注意的是：必须注意的是：综上所述，晶体的宏观对称性中有以下八种基本的对称操作，即综上所述，晶体的宏观对称性中有以下八种基本的对称操作，即综上所述，晶体的宏观对称性中有以下八种基本的对称操作，即综上所述，晶体的宏观对称性中有以下八种基本的对称操作，即这些基本的对称操作可按一定的规律组合起来，就得到这些基本的对称操作可按一定的规律组合起来，就得到这些基本的对称操作可按一定的规律组合起来，就得到这些基本的对称操作可按一定的规律组合起来，就得到32323232种种种种不包括平移的宏观对称类型。不包括平移的宏观对称类型。不包括平移的宏观对称类型。不包括平移的宏观对称类型。这种组合有一个共同的特点，就是其中所有的对称操作都这种组合有一个共同的特点，就是其中所有的对称操作都这种组合有一个共同的特点，就是其中所有的对称操作都这种组合有一个共同的特点，就是其中所有的对称操作都使晶体中的某一点固定不动，因此常称这种组合为点对称性群，简使晶体中的某一点固定不动，因此常称这种组合为点对称性群，简使晶体中的某一点固定不动，因此常称这种组合为点对称性群，简使晶体中的某一点固定不动，因此常称这种组合为点对称性群，简称点群称点群称点群称点群。第一章晶体结构和X射线衍射 对称素对称素对称素对称素对称操作（对称操作（对称操作（对称操作（4848）名称名称名称名称每个对称元素的操作每个对称元素的操作每个对称元素的操作每个对称元素的操作数目数目数目数目三条三条三条三条4 4次轴次轴次轴次轴100100旋转旋转旋转旋转90,180,27090,180,2709 9四条四条四条四条3 3次轴次轴次轴次轴111111旋转旋转旋转旋转120,240120,2408 8六条六条六条六条2 2次轴次轴次轴次轴110110旋转旋转旋转旋转1801806 6不动不动不动不动1 1i i对称心对称心对称心对称心以上操作加反演以上操作加反演以上操作加反演以上操作加反演2424立方对称的立方对称的立方对称的立方对称的48484848个对称操作个对称操作个对称操作个对称操作称为立方点群称为立方点群称为立方点群称为立方点群O O O Oh h h h2 2 2 2、包括平移的基本对称操作、包括平移的基本对称操作、包括平移的基本对称操作、包括平移的基本对称操作 从微观结构上看，从微观结构上看，从微观结构上看，从微观结构上看，如按照操作后使晶体与自身重合的定义，晶如按照操作后使晶体与自身重合的定义，晶如按照操作后使晶体与自身重合的定义，晶如按照操作后使晶体与自身重合的定义，晶体中还有体中还有体中还有体中还有螺旋轴与滑移面螺旋轴与滑移面螺旋轴与滑移面螺旋轴与滑移面两类对称性。两类对称性。两类对称性。两类对称性。在这两类操作作用下，晶体中不再有任何固定不变的点存在，在这两类操作作用下，晶体中不再有任何固定不变的点存在，在这两类操作作用下，晶体中不再有任何固定不变的点存在，在这两类操作作用下，晶体中不再有任何固定不变的点存在，因而它们不属于点群操作。因而它们不属于点群操作。因而它们不属于点群操作。因而它们不属于点群操作。T T T T为转轴方向的晶格周期，为转轴方向的晶格周期，为转轴方向的晶格周期，为转轴方向的晶格周期，l l l l为某小于为某小于为某小于为某小于n n n n的整数。晶体只能有的整数。晶体只能有的整数。晶体只能有的整数。晶体只能有1 1 1 1度、度、度、度、2 2 2 2度、度、度、度、3 3 3 3度、度、度、度、4 4 4 4度、度、度、度、6 6 6 6度螺旋轴。度螺旋轴。度螺旋轴。度螺旋轴。(1)n(1)n(1)n(1)n度螺旋轴度螺旋轴度螺旋轴度螺旋轴 复合操作复合操作复合操作复合操作:如经绕某轴作如经绕某轴作如经绕某轴作如经绕某轴作n n n n度旋转度旋转度旋转度旋转 +再沿转轴方向平移再沿转轴方向平移再沿转轴方向平移再沿转轴方向平移t t t t 晶体与自身重合晶体与自身重合晶体与自身重合晶体与自身重合,称此复合操作为称此复合操作为称此复合操作为称此复合操作为n n n n度螺旋轴。度螺旋轴。度螺旋轴。度螺旋轴。金刚石结构具有金刚石结构具有金刚石结构具有金刚石结构具有4 4 4 4度螺旋轴对称度螺旋轴对称度螺旋轴对称度螺旋轴对称 1/201/201/201/2003/41/43/41/4 取原胞（如图）上下底取原胞（如图）上下底取原胞（如图）上下底取原胞（如图）上下底面心到该面一个棱的垂线的面心到该面一个棱的垂线的面心到该面一个棱的垂线的面心到该面一个棱的垂线的中点，联接这两中点的直线中点，联接这两中点的直线中点，联接这两中点的直线中点，联接这两中点的直线就是个就是个就是个就是个4 4 4 4度螺旋轴；度螺旋轴；度螺旋轴；度螺旋轴；晶体绕该轴转晶体绕该轴转晶体绕该轴转晶体绕该轴转90909090度后，度后，度后，度后，再沿该轴平移再沿该轴平移再沿该轴平移再沿该轴平移a/4a/4a/4a/4，能自相，能自相，能自相，能自相重合。重合。重合。重合。图中分数值表示以立方体边长为单位，其各个原子处在基面上方的高度。图中分数值表示以立方体边长为单位，其各个原子处在基面上方的高度。图中分数值表示以立方体边长为单位，其各个原子处在基面上方的高度。图中分数值表示以立方体边长为单位，其各个原子处在基面上方的高度。注意：分数值0和分数值1对应的原子位置在垂直基面的方向共线。金刚石结构具有金刚石结构具有金刚石结构具有金刚石结构具有4 4 4 4度螺旋轴对称度螺旋轴对称度螺旋轴对称度螺旋轴对称(2)(2)(2)(2)滑移反映面滑移反映面滑移反映面滑移反映面 这是这是这是这是对某一平面作镜像操作后，再沿平行于镜面的某方向平移对某一平面作镜像操作后，再沿平行于镜面的某方向平移对某一平面作镜像操作后，再沿平行于镜面的某方向平移对某一平面作镜像操作后，再沿平行于镜面的某方向平移T/nT/nT/nT/n周期的对称操作周期的对称操作周期的对称操作周期的对称操作。（。（。（。（T T T T是该方向上的周期矢量，是该方向上的周期矢量，是该方向上的周期矢量，是该方向上的周期矢量，n n n n为为为为2 2 2 2或或或或4 4 4 4），操作），操作），操作），操作后，晶体中的原子和相同的原子重合。后，晶体中的原子和相同的原子重合。后，晶体中的原子和相同的原子重合。后，晶体中的原子和相同的原子重合。应当说明的是应当说明的是应当说明的是应当说明的是,对于宏观晶体而言：对于宏观晶体而言：对于宏观晶体而言：对于宏观晶体而言：uu n n n n度螺旋轴与度螺旋轴与度螺旋轴与度螺旋轴与n n n n度旋转轴是等价的度旋转轴是等价的度旋转轴是等价的度旋转轴是等价的uu 滑移面与镜面也是等价的，滑移面与镜面也是等价的，滑移面与镜面也是等价的，滑移面与镜面也是等价的，因为在宏观的范围通常观察不到原子间距数量级的平移。因为在宏观的范围通常观察不到原子间距数量级的平移。因为在宏观的范围通常观察不到原子间距数量级的平移。因为在宏观的范围通常观察不到原子间距数量级的平移。将将将将32323232种宏观点群再加上以上二类带平移的对称操作种宏观点群再加上以上二类带平移的对称操作种宏观点群再加上以上二类带平移的对称操作种宏观点群再加上以上二类带平移的对称操作,结合起来结合起来结合起来结合起来就可以导出就可以导出就可以导出就可以导出230230230230种微观空间群。种微观空间群。种微观空间群。种微观空间群。它们可以描写晶体所有可能的对称性，每种空间群对应于一种它们可以描写晶体所有可能的对称性，每种空间群对应于一种它们可以描写晶体所有可能的对称性，每种空间群对应于一种它们可以描写晶体所有可能的对称性，每种空间群对应于一种特殊的晶格结构。特殊的晶格结构。特殊的晶格结构。特殊的晶格结构。晶体之星晶体之星晶体之星晶体之星1.7 1.7 1.7 1.7 晶体结构的分类晶体结构的分类晶体结构的分类晶体结构的分类我们已经知道布喇菲格子可以由我们已经知道布喇菲格子可以由我们已经知道布喇菲格子可以由我们已经知道布喇菲格子可以由 的格矢表示。的格矢表示。的格矢表示。的格矢表示。基矢基矢基矢基矢a a a a、b b b b、c c c c之间的关系，即其长度的异同和彼此间夹角决定了之间的关系，即其长度的异同和彼此间夹角决定了之间的关系，即其长度的异同和彼此间夹角决定了之间的关系，即其长度的异同和彼此间夹角决定了不同的布喇菲格子的类型不同的布喇菲格子的类型不同的布喇菲格子的类型不同的布喇菲格子的类型。前面我们已经看到晶体在宏观对称操作作用下，其空间格子必相前面我们已经看到晶体在宏观对称操作作用下，其空间格子必相前面我们已经看到晶体在宏观对称操作作用下，其空间格子必相前面我们已经看到晶体在宏观对称操作作用下，其空间格子必相应地变动。应地变动。应地变动。应地变动。因此，布喇菲格子的形式，即三个基矢之间的关系必然受到宏观因此，布喇菲格子的形式，即三个基矢之间的关系必然受到宏观因此，布喇菲格子的形式，即三个基矢之间的关系必然受到宏观因此，布喇菲格子的形式，即三个基矢之间的关系必然受到宏观对称性的制约。对称性的制约。对称性的制约。对称性的制约。uu晶格周期性，即空间格子对于对称性的制约，结果是只能有晶格周期性，即空间格子对于对称性的制约，结果是只能有晶格周期性，即空间格子对于对称性的制约，结果是只能有晶格周期性，即空间格子对于对称性的制约，结果是只能有32323232种种种种点群对称。点群对称。点群对称。点群对称。uu反过来，点对称性对于空间格子的周期性即平移对称性的限制的反过来，点对称性对于空间格子的周期性即平移对称性的限制的反过来，点对称性对于空间格子的周期性即平移对称性的限制的反过来，点对称性对于空间格子的周期性即平移对称性的限制的结果是只能存在结果是只能存在结果是只能存在结果是只能存在14141414种布喇菲格子（原胞）。种布喇菲格子（原胞）。种布喇菲格子（原胞）。种布喇菲格子（原胞）。这十四种布喇菲点阵按其惯用晶胞的对这十四种布喇菲点阵按其惯用晶胞的对这十四种布喇菲点阵按其惯用晶胞的对这十四种布喇菲点阵按其惯用晶胞的对称性（基矢长短和夹角大小）特征划分为七称性（基矢长短和夹角大小）特征划分为七称性（基矢长短和夹角大小）特征划分为七称性（基矢长短和夹角大小）特征划分为七大晶系（初基点阵心大晶系（初基点阵心大晶系（初基点阵心大晶系（初基点阵心14141414）：一、七大晶系：一、七大晶系：一、七大晶系：一、七大晶系：1850185018501850年，德国科学家布喇菲（年，德国科学家布喇菲（年，德国科学家布喇菲（年，德国科学家布喇菲（Auguste Auguste Auguste Auguste BravaisBravaisBravaisBravais18111811181118111863186318631863）首先证明了三维晶格只）首先证明了三维晶格只）首先证明了三维晶格只）首先证明了三维晶格只有有有有14141414种布喇菲点阵。种布喇菲点阵。种布喇菲点阵。种布喇菲点阵。四方四方四方四方正交正交正交正交立方立方立方立方六角六角六角六角单斜单斜单斜单斜三斜三斜三斜三斜三角三角三角三角Crystal systemCrystal system晶系晶系晶系晶系Unit cell shapeUnit cell shape单胞几何描述单胞几何描述单胞几何描述单胞几何描述Essential symmetryEssential symmetry对称性（典型点群）对称性（典型点群）对称性（典型点群）对称性（典型点群）点群的熊夫利符号点群的熊夫利符号点群的熊夫利符号点群的熊夫利符号Space latticesSpace lattices空间格子空间格子空间格子空间格子TriclinicTriclinic三斜晶系三斜晶系三斜晶系三斜晶系a a b b c c a a a a b b b b g g g g 90909090C1C1群：只含转角为零群：只含转角为零群：只含转角为零群：只含转角为零的旋转对称操作的旋转对称操作的旋转对称操作的旋转对称操作P P 简单三斜简单三斜简单三斜简单三斜MonoclinicMonoclinic单斜晶系单斜晶系单斜晶系单斜晶系a a b b c c a=b=90 ga=b=90 ga=b=90 ga=b=90 g 90909090C2C2群：群：群：群：b b轴是一个轴是一个轴是一个轴是一个2 2度度度度对称轴对称轴对称轴对称轴P CP C简单单斜、底心单斜简单单斜、底心单斜简单单斜、底心单斜简单单斜、底心单斜Orthorhombic Orthorhombic 正交（斜方）晶系正交（斜方）晶系正交（斜方）晶系正交（斜方）晶系a a b b c c a a a a=b b b b=g=90g=90g=90g=90D2D2群：群：群：群：a,b,c 3a,b,c 3个轴都个轴都个轴都个轴都是是是是2 2度对称轴度对称轴度对称轴度对称轴P I F A(B or C)P I F A(B or C)简单正交、体心正交、面心正交、底简单正交、体心正交、面心正交、底简单正交、体心正交、面心正交、底简单正交、体心正交、面心正交、底心正交心正交心正交心正交TrigonalTrigonal三角晶系三角晶系三角晶系三角晶系a a=b b=c c a a a a=b b b b=g g g g 90909090D3D3群：群：群：群：c c 轴是轴是轴是轴是3 3度对称度对称度对称度对称轴轴轴轴3 3个个个个2 2度对称轴度对称轴度对称轴度对称轴P P简单简单简单简单TetragonalTetragonal四方（四角）晶系四方（四角）晶系四方（四角）晶系四方（四角）晶系a a=b b c c a a a a=b b b b=g=90g=90g=90g=90D4D4群：群：群：群：c c 轴是轴是轴是轴是4 4度对称度对称度对称度对称轴轴轴轴(001),4(001),4个个个个2 2度对称度对称度对称度对称轴轴轴轴P IP I简单四角、体心四角简单四角、体心四角简单四角、体心四角简单四角、体心四角HexagonalHexagonal六角晶系六角晶系六角晶系六角晶系A=bA=b c c a=g=90 b=120a=g=90 b=120a=g=90 b=120a=g=90 b=120D6D6群：群：群：群：c c 轴是轴是轴是轴是6 6度对称度对称度对称度对称轴轴轴轴6 6个个个个2 2度对称轴度对称轴度对称轴度对称轴P P简单简单简单简单Cubic Cubic 立方晶系立方晶系立方晶系立方晶系a a=b b=c c a a a a=b b b b=g=90g=90g=90g=90OO群：拥有群：拥有群：拥有群：拥有3 3个个个个4 4度对称度对称度对称度对称轴，轴，轴，轴，4 4个个个个3 3度对称轴及度对称轴及度对称轴及度对称轴及6 6个双重对称轴个双重对称轴个双重对称轴个双重对称轴P I F P I F 简立方、体心立方、面心立方简立方、体心立方、面心立方简立方、体心立方、面心立方简立方、体心立方、面心立方7 7 7 7 个晶系（个晶系（个晶系（个晶系（crystal Classescrystal Classescrystal Classescrystal Classes）二、布喇菲点阵符号二、布喇菲点阵符号二、布喇菲点阵符号二、布喇菲点阵符号P P（简单）：每单胞一个原子。格点位置：（简单）：每单胞一个原子。格点位置：（简单）：每单胞一个原子。格点位置：（简单）：每单胞一个原子。格点位置：0 0 00 0 0I I（体心）：每单胞两个原子。格点位置：（体心）：每单胞两个原子。格点位置：（体心）：每单胞两个原子。格点位置：（体心）：每单胞两个原子。格点位置：0 0