运筹学-线性规划.pptx

2.1 线性规划问题的数学模型1.规划问题生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益，物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益，这就是规划问题。这就是规划问题。线性规划通常解决下列两类问题：线性规划通常解决下列两类问题：（1 1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最少的资源最少的资源 （如资金、设备、原标材料、人工、时间等）（如资金、设备、原标材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标去完成确定的任务或目标（2 2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最好的经济效益（如产品量最多好的经济效益（如产品量最多 、利润最大、利润最大.）第1页/共85页2.1 线性规划问题的数学模型例2.1 某工厂在计划期内要安排、两种产品的生产，已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗、资源的限制，如下表：问题：工厂应分别生产多少单位、产品才能使工厂获利最多？第2页/共85页2.1 线性规划问题的数学模型解：设生产产品I和产品 的产量分别为x1和x2。则有如下模型：目标函数：目标函数：Max z=50 x1+100 x2 Max z=50 x1+100 x2 约束条件：约束条件：s.t.x1+x2 300s.t.x1+x2 300 2 x1+x2 400 2 x1+x2 400 x2 250 x2 250 x1,x2 0 x1,x2 0第3页/共85页2.1 线性规划问题的数学模型例例2.2 某企业计划生产甲、乙两种产品。这些产品分某企业计划生产甲、乙两种产品。这些产品分别要在别要在A、B、C、D、四种不同的设备上加工。按工、四种不同的设备上加工。按工艺资料规定，单件产品在不同设备上加工所需要的台艺资料规定，单件产品在不同设备上加工所需要的台时如下表所示，企业决策者应如何安排生产计划，使时如下表所示，企业决策者应如何安排生产计划，使企业总的利润最大？企业总的利润最大？设设 备备产产 品品 A B C D利润（元）利润（元）甲甲 2 1 4 0 2 乙乙 2 2 0 4 3 有有 效效 台台 时时 12 8 16 12第4页/共85页2.1 线性规划问题的数学模型解：设x1、x2分别为甲、乙两种产品的产量，则数学模型为：max Z=2xmax Z=2x1 1+3x+3x2 2 x x1 1 0,x 0,x2 2 0 0s.t.s.t.2x 2x1 1+2x+2x2 2 12 12 x x1 1+2x+2x2 2 8 8 4x 4x1 1 16 16 4x 4x2 2 12 12第5页/共85页例例2.3 假定一个成年人每天需要从食物中获取假定一个成年人每天需要从食物中获取3000卡热量，卡热量，55克蛋白质和克蛋白质和800毫克钙。如果市场上只有四种食品可供选择，它们每千克所含热量和营毫克钙。如果市场上只有四种食品可供选择，它们每千克所含热量和营养成分以及市场价格如下表所示。养成分以及市场价格如下表所示。问如何选择才能满足营养的前提下使购买食品的费用最小？问如何选择才能满足营养的前提下使购买食品的费用最小？序号序号食品名称食品名称热量（卡）热量（卡）蛋白质（克）蛋白质（克）钙（毫克）钙（毫克）价格（元）价格（元）1猪肉猪肉100050400102鸡蛋鸡蛋8006020063大米大米9002030034白菜白菜200105002请同学们自己列出模型？请同学们自己列出模型？2.1 线性规划问题的数学模型第6页/共85页2.1 线性规划问题的数学模型2.2.线性规划的数学模型由三个要素构成线性规划的数学模型由三个要素构成决策变量决策变量 Decision variables Decision variables 目标函数目标函数 Objective functionObjective function约束条件约束条件 ConstraintsConstraints其特征是：其特征是：（1 1）问题的目标函数是多个决策变量的）问题的目标函数是多个决策变量的线性线性函数，通常是求最大值或函数，通常是求最大值或最小值；最小值；（2 2）问题的约束条件是一组多个决策变量的）问题的约束条件是一组多个决策变量的线性线性不等式或等式。不等式或等式。怎样辨别一个模型是线性规划模型？怎样辨别一个模型是线性规划模型？第7页/共85页2.1 线性规划问题的数学模型 3.3.线性规划建模过程线性规划建模过程（1 1）理解要解决的问题，了解解题的目标和条件；）理解要解决的问题，了解解题的目标和条件；（2 2）定义决策变量（）定义决策变量（x1 x1，x2 x2，xn xn），每一组值表示一个方案；），每一组值表示一个方案；（3 3）用决策变量的线性函数形式写出目标函数，确定最大化或最小化目标；）用决策变量的线性函数形式写出目标函数，确定最大化或最小化目标；（4 4）用一组决策变量的等式或不等式表示解决问题过程中必须遵循的约束条件）用一组决策变量的等式或不等式表示解决问题过程中必须遵循的约束条件第8页/共85页2.1 线性规划问题的数学模型目标函数：目标函数：约束条件：约束条件：4.4.线性规划数学模型的一般形式线性规划数学模型的一般形式简写为：简写为：第9页/共85页2.1 线性规划问题的数学模型 其中，其中，ci ci 称为价值系数称为价值系数 aijaij称为技术系数（或消耗系数）称为技术系数（或消耗系数）bibi称为资源系数称为资源系数第10页/共85页2.1 线性规划问题的数学模型向量形式：向量形式：其中：其中：第11页/共85页2.1 线性规划问题的数学模型矩阵形式：矩阵形式：其中：其中：第12页/共85页2.1 线性规划问题的数学模型5.线性规划问题的标准形式特点：(1)目标函数求最大值（有时求最小值）(2)约束条件都为等式方程，且右端常数项bi都大于或等于零(3)决策变量xj为非负。第13页/共85页2.1 线性规划问题的数学模型（2 2）如何化标准形式）如何化标准形式 目标函数的转换 如果是求极小值即如果是求极小值即 ，则可将目标函数乘以，则可将目标函数乘以(-1)(-1)，可化，可化为求极大值问题。为求极大值问题。也就是：令也就是：令 ，可得到上式。，可得到上式。即 若存在取值无约束的变量若存在取值无约束的变量 ，可令，可令 其中：其中：变量的变换第14页/共85页2.1 线性规划问题的数学模型 约束方程的转换：由不等式转换为等式。称为松弛变量称为松弛变量称为剩余变量称为剩余变量 变量 的变换 可令可令 ，显然，显然第15页/共85页2.1 线性规划问题的数学模型例2.4 将下列线性规划问题化为标准形式用用 替换替换 ，且且 解:（）因为x3无符号要求，即x3取正值也可取负值，标准型中要求变量非负，所以第16页/共85页2.1 线性规划问题的数学模型(2)第一个约束条件是“”号，在“”左端加入松驰变量x4，x40,化为等式；(3)第二个约束条件是“”号，在“”左端减去剩余变量x5，x50；(4)第3个约束方程右端常数项为-5，方程两边同乘以(-1),将右端常数项化为正数；(5)目标函数是最小值，为了化为求最大值，令z=-z,得到max z=-z，即当z达到最小值时z达到最大值，反之亦然;第17页/共85页2.1 线性规划问题的数学模型标准形式如下：标准形式如下：第18页/共85页2.1 线性规划问题的数学模型6.线性规划问题的解线性规划问题线性规划问题求解线性规划问题，就是从满足约束条件求解线性规划问题，就是从满足约束条件(2)、(3)的方程组的方程组中找出一个解，使目标函数中找出一个解，使目标函数(1)达到最大值。达到最大值。第19页/共85页2.1 线性规划问题的数学模型 可行解可行解：满足约束条件：满足约束条件、的解为可行解。所有可行解的解为可行解。所有可行解的集合为可行域。的集合为可行域。最优解最优解：使目标函数达到最大值的可行解。：使目标函数达到最大值的可行解。第20页/共85页2.2 图解法线性规划问题的求解方法一 般 有两种方法图图 解解 法法单纯形法单纯形法两个变量、直角坐标两个变量、直角坐标三个变量、立体坐标三个变量、立体坐标适用于任意变量、但必需将适用于任意变量、但必需将一般形式变成标准形式一般形式变成标准形式下面我们分析一下简单的情况 只有两个决策变量的线性规划问题，这时可以通过图解的方法来求解。图解法具有简单、直观、便于初学者窥探线性规划基本原理和几何意义等优点。第21页/共85页2.2 图解法max Z=2X1+X2 X1+1.9X2 3.8 X1 -1.9X2 3.8s.t.X1+1.9X2 10.2 X1 -1.9X2 -3.8 X1 ，X2 0例例2.5 用图解法求解线性规划问题用图解法求解线性规划问题第22页/共85页2.2 图解法x1x2oX1-1.9X2=3.8()X1+1.9X2=3.8()X1-1.9X2=-3.8()X1+1.9X2=10.2()4=2X1+X2 20=2X1+X2 17.2=2X1+X2 11=2X1+X2 Lo：0=2X1+X2（7.6，2）Dmax Zmin Z此点是唯一最优解，且最优目标函数值 max Z=17.2可行域可行域max Z=2X1+X2第23页/共85页2.2 图解法max Z=3X1+5.7X2x1x2oX1-1.9X2=3.8()X1+1.9X2=3.8()X1-1.9X2=-3.8()X1+1.9X2=10.2()（7.6，2）DL0：0=3X1+5.7X2 max Z（3.8，4）34.2=3X1+5.7X2 蓝色线段上的所有点都是最优解这种情形为有无穷多最优解，但是最优目标函数值max Z=34.2是唯一的。可行域可行域第24页/共85页2.2 图解法min Z=5X1+4X2x1x2oX1-1.9X2=3.8()X1+1.9X2=3.8()X1+1.9X2=10.2()DL0：0=5X1+4X2 max Z min Z 8=5X1+4X2 43=5X1+4X2（0，2）可行域可行域此点是唯一最优解第25页/共85页2.2 图解法246x1x2246无界解无界解(无最优解无最优解)max Z=x1+2x2例例1.6x1+x2=4()x1+3x2=6()3x1+x2=6()max Z min Z第26页/共85页x1x2O10203040102030405050无可行解无可行解(即无最优解即无最优解)max Z=3x1+4x2例例1.7第27页/共85页2.2 图解法学习要点：学习要点：1.通过图解法了解线性规划有几种解的形式。通过图解法了解线性规划有几种解的形式。(1)唯一最优解唯一最优解：一定对应于可行域的顶点；(2)无穷多最优解：无穷多最优解：多重解；(3)无界解：无界解：即无最优解的情况，原因：缺少必要的约束条件；(4)无可行解：无可行解：即可行域为空集，原因：出现了相互矛盾的约束条件。第28页/共85页2.2 图解法学习要点：学习要点：2.作图的关键有三点：作图的关键有三点：(1)可行解区域要画正确可行解区域要画正确(2)目标函数增加的方向不能画错目标函数增加的方向不能画错(3)目标函数的直线怎样平行移动目标函数的直线怎样平行移动第29页/共85页2.2图 解 法学习要点：3.结论(1)当线性规划问题的可行域非空时，它是有界或无解凸多边形。(2)若线性规划问题存在最优解，它一定在可行域的某个顶点获得。(3)若在两个顶点同时得到最优解，则它们连线上的任意一点都是最优解，即有无穷多最优解。第30页/共85页2.3 单纯形法基本原理1.单纯形法的基本思路 基本思路：从可行域中某一个顶点开始，判断此顶点是否是最优解，如不是,则再找另一个使得其目标函数值更优的顶点，称之为迭代，再判断此点是否是最优解。直到找到一个顶点为其最优解，就是使得其目标函数值最优的解，或者能判断出线性规划问题无最优解为止。第31页/共85页2.3 单纯形法基本原理1.单纯形法的基本概念 基：设A为约束条件的mn阶系数矩阵(m04010换出行将3化为15/311801/301/31011/3303005/304/3乘以1/3后得到103/51/518011/52/540011第44页/共85页2.3 单纯形法的计算步骤例2.8 用单纯形法求解解：将数学模型化为标准形式：不难看出x4、x5可作为初始基变量，列单纯形表计算。第45页/共85页2.3 单纯形法的计算步骤cj12100icB基变量基变量bx1x2x3x4x50 x4152-32100 x5201/31501121000 x42x220 x x2 22 21/3150120753017131/309022560 x x1 111017/31/31250128/9-1/92/335/300-98/9-1/9-7/3第46页/共85页2.3 单纯形法的计算步骤学习要点：学习要点：1.线性规划解的概念以及线性规划解的概念以及3个基本定理个基本定理2.熟练掌握单纯形法的解题思路及求解步骤熟练掌握单纯形法的解题思路及求解步骤第47页/共85页2.4 单纯形法的进一步讨论人工变量法人工变量法：前面讨论了在标准型中系数矩阵有单位矩阵，很容易确定一组基可行解。在实际问题中有些模型并不含有单位矩阵，为了得到一组基向量和初基可行解，在约束条件的等式左端加一组虚拟变量，得到一组基变量。这种人为加的变量称为人工变量，构成的可行基称为人工基，用大M法或两阶段法求解，这种用人工变量作桥梁的求解方法称为人工变量法。第48页/共85页2.4 单纯形法的进一步讨论人工变量法例2.9 用大M法解下列线性规划解：首先将数学模型化为标准形式系数矩阵中不存在系数矩阵中不存在单位矩阵，无法建单位矩阵，无法建立初始单纯形表。立初始单纯形表。第49页/共85页2.4 单纯形法的进一步讨论人工变量法故人为添加两个单位向量，得到人工变量单纯形法数学模型：其其中中：M是是一一个个很很大大的的抽抽象象的的数数，不不需需要要给给出出具具体体的的数数值值，可可以以理理解解为为它它能能大大于于给给定定的的任任何何一一个个确确定定数数值值；再再用用前前面面介介绍的单纯形法求解该模型，计算结果见下表。绍的单纯形法求解该模型，计算结果见下表。第50页/共85页2.4 单纯形法的进一步讨论人工变量法cj32-100-M-MCBXBbx1x2x3x4x5x6x7i0 x64-431-10104-Mx5101-1201005-Mx712-21000113-2M2+M-1+2M-M0 x63-650-1013/5-Mx58-3300108/3-1x312-210005-6M5M0-M002x23/56/5101/50-Mx531/53/5003/5131/3-1x311/52/5012/505 00002x213010123x131/310015/3-1x319/300102/3000-5-25/3第51页/共85页2.4 单纯形法的进一步讨论人工变量法解的判别：解的判别：1）唯一最优解判别：最优表中所有非基变量的检验数非零）唯一最优解判别：最优表中所有非基变量的检验数非零,则线则线 规划具有唯一最优解。规划具有唯一最优解。2）多重最优解判别：最优表中存在非基变量的检验数为零）多重最优解判别：最优表中存在非基变量的检验数为零,则线则性规划具有多重最优解（或无穷多最优解）。则线则性规划具有多重最优解（或无穷多最优解）。3）无界解判别：某个）无界解判别：某个k0且且aik（i=1，2,m）则线性）则线性规划具有无界解。规划具有无界解。4）无无可可行行解解的的判判断断：当当用用大大M单单纯纯形形法法计计算算得得到到最最优优解解并并且存在且存在Ri0时，则表明原线性规划无可行解。时，则表明原线性规划无可行解。5）退化解的判别：存在某个基变量为零的基本可行解。）退化解的判别：存在某个基变量为零的基本可行解。第52页/共85页2.4 单纯形法的进一步讨论人工变量法单纯性法小结:建建立立模模型型个个 数数取取 值值右右 端端 项项等式或等式或不等式不等式极大或极小极大或极小新加变量新加变量系数系数两两个个三个三个以上以上xj0 xj无无约束约束xj 0 bi 0bi 0=maxZminZxs xa求求解解图图解解法、法、单单纯纯形形法法单纯单纯形法形法不不处处理理令令xj=xj-xj xj 0 xj 0令令 xj=-xj不不处处理理约束条约束条件两端件两端同乘以同乘以-1加加松松弛弛变变量量xs加加入入人人工工变变量量xa减减去去xs加加入入xa不不处处理理令令z=-ZminZ=max z0-M第53页/共85页A第54页/共85页 2.5 线性规划模型的应用一般而言，一个经济、管理问题凡是满足以下条件时，才能建立线性规划模型。要求解问题的目标函数能用数值指标来反映，且要求解问题的目标函数能用数值指标来反映，且为线性函数为线性函数 存在着多种方案存在着多种方案 要求达到的目标是在一定条件下实现的，这些约要求达到的目标是在一定条件下实现的，这些约束可用线性等式或不等式描述束可用线性等式或不等式描述第55页/共85页 2.5 线性规划在管理中的应用1.人力资源分配问题 例例2.10 某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员人数如下表所示：和乘务人员人数如下表所示：班次班次时间时间所需人员所需人员16:0010:0060210:0014:0070314:0018:0060418:0022:0050522:002:002062:006:0030 设司机和乘务人员分别在各时间段开始时上班，并连续工作设司机和乘务人员分别在各时间段开始时上班，并连续工作8小时，小时，问该公交线路应怎样安排司机和乘务人员，即能满足工作需要，又使配问该公交线路应怎样安排司机和乘务人员，即能满足工作需要，又使配备司机和乘务人员的人数减少备司机和乘务人员的人数减少?第56页/共85页 2.5 线性规划在管理中的应用解：设xi表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员人数。此问题最优解：此问题最优解：x150，x220，x350，x40，x520，x610，一共需要司机和乘务员，一共需要司机和乘务员150人。人。第57页/共85页 例2.11某公司面临一个是外包协作还是自行生产的问题。该公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过铸造、机加工和装配三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。数据如表。问：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件？甲、乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？2.生产计划问题 2.5 线性规划在管理中的应用第58页/共85页 解：设 x1,x2,x3 分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种产品的件数，x4,x5 分别为由外协铸造再由本公司加工和装配的甲、乙两种产品的件数。求 xi 的利润：利润=售价-各成本之和 产品甲全部自制的利润 =23-(3+2+3)=15 产品甲铸造外协，其余自制的利润 =23-(5+2+3)=13 产品乙全部自制的利润 =18-(5+1+2)=10 产品乙铸造外协，其余自制的利润 =18-(6+1+2)=9 产品丙的利润 =16-(4+3+2)=7 可得到 xi（i=1,2,3,4,5）的利润分别为 15、10、7、13、9 元。2.5 线性规划在管理中的应用第59页/共85页通过以上分析,可建立如下的数学模型:目标函数：Max 15x1+10 x2+7x3+13x4+9x5 约束条件：5x1+10 x2+7x3 8000 6x1+4x2+8x3+6x4+4x5 12000 3x1+2x2+2x3+3x4+2x5 10000 x1,x2,x3,x4,x5 0 2.5 线性规划在管理中的应用第60页/共85页 2.5 线性规划在管理中的应用2.生产计划问题例例2.12.某厂生产某厂生产、三种产品，都分别经三种产品，都分别经A、B两道工两道工序加工。设序加工。设A工序可分别在设备工序可分别在设备A1和和A2上完成，有上完成，有B1、B2、B3三种设备可用于完成三种设备可用于完成B工序。已知产品工序。已知产品可在可在A、B任何一种任何一种设备上加工；产品设备上加工；产品可在任何规格的可在任何规格的A设备上加工，但完成设备上加工，但完成B工序时，只能在工序时，只能在B1设备上加工；产品设备上加工；产品只能在只能在A2与与B2设备上设备上加工。加工单位产品所需工序时间及其他各项数据如下表，试加工。加工单位产品所需工序时间及其他各项数据如下表，试安排最优生产计划，使该厂获利最大。安排最优生产计划，使该厂获利最大。第61页/共85页 2.5 线性规划在管理中的应用设备设备产品产品设备有效设备有效台时台时设备加工费设备加工费（单位小时）（单位小时）A15106000300A27910 000321B168124000250B247000783B37114000200原料费（每件）原料费（每件）0.250.350.5售价（每件）售价（每件）1.252.002.8第62页/共85页 2.5 线性规划在管理中的应用解：设xijk表示产品i在工序j的设备k上加工的数量。约束条件有：第63页/共85页 2.5 线性规划在管理中的应用目标是利润最大化，即利润的计算公式如下：带入数据整理得到：带入数据整理得到：第64页/共85页 2.5 线性规划在管理中的应用因此该规划问题的模型为：第65页/共85页 例2.13某工厂要做100套钢架，每套用长为2.9 m,2.1 m,1.5 m的圆钢各一根。已知原料每根长7.4 m，问：应如何下料，可使所用原料最省？解：共可设计下列5 种下料方案，见下表 设 x1,x2,x3,x4,x5 分别为上面 5 种方案下料的原材料根数。这样我们建立如下的数学模型。目标函数：Min x1+x2+x3+x4+x5 约束条件：s.t.x1+2x2 +x4 100 2x3 +2x4+x5 100 3x1+x2+2x3 +3x5 100 x1,x2,x3,x4,x5 03.套裁下料问题 2.5 线性规划在管理中的应用第66页/共85页 设 x1,x2,x3,x4,x5 分别为上面 5 种方案下料的原材料根数。这样我们建立如下的数学模型。目标函数：Min x1+x2+x3+x4+x5 约束条件：s.t.x1+2x2 +x4 100 2x3 +2x4+x5 100 3x1+x2+2x3 +3x5 100 x1,x2,x3,x4,x5 03.套裁下料问题 2.5 线性规划在管理中的应用第67页/共85页用“管理运筹学”软件计算得出最优下料方案：按方案1下料30根；按方案2下料10根；按方案4下料50根。即 x1=30;x2=10；x3=0；x4=50；x5=0；只需90根原材料就可制造出100套钢架。注意：在建立此类型数学模型时，约束条件用大于等于号比用等于号要好。因为有时在套用一些下料方案时可能会多出一根某种规格的圆钢，但它可能是最优方案。如果用等于号，这一方案就不是可行解了。2.5 线性规划在管理中的应用第68页/共85页 例2.14某工厂要用三种原料1、2、3混合调配出三种不同规格的产品甲、乙、丙，数据如右表。问：该厂应如何安排生产，使利润收入为最大？4.配料问题 2.5 线性规划在管理中的应用第69页/共85页 解：设 xij 表示第 i 种（甲、乙、丙）产品中原料 j 的含量。这样我们建立数学模型时，要考虑：对于甲：x11，x12，x13；对于乙：x21，x22，x23；对于丙：x31，x32，x33；对于原料1：x11，x21，x31；对于原料2：x12，x22，x32；对于原料3：x13，x23，x33；目标函数：利润最大，利润=收入-原料支出 约束条件：规格要求 4 个；供应量限制 3 个。2.5 线性规划在管理中的应用第70页/共85页利润=总收入-总成本=甲乙丙三种产品的销售单价*产品数量-甲乙丙使用的原料单价*原料数量，故有目标函数Max 50（x11+x12+x13）+35（x21+x22+x23）+25（x31+x32+x33）-65（x11+x21+x31）-25（x12+x22+x32）-35（x13+x23+x33）=-15x11+25x12+15x13-30 x21+10 x22-40 x31-10 x33 约束条件：从第1个表中有：x110.5(x11+x12+x13)x120.25(x11+x12+x13)x210.25(x21+x22+x23)x220.5(x21+x22+x23)2.5 线性规划在管理中的应用第71页/共85页 从第2个表中，生产甲乙丙的原材料不能超过原材料的供应限额，故有 (x11+x21+x31)100 (x12+x22+x32)100 (x13+x23+x33)60 通过整理，得到以下模型：2.5 线性规划在管理中的应用第72页/共85页（续）目标函数：Max z=-15x11+25x12+15x13-30 x21+10 x22-40 x31-10 x33 约束条件：s.t.0.5 x11-0.5 x12-0.5 x13 0（原材料1不少于50%）-0.25x11+0.75x12-0.25x13 0（原材料2不超过25%）0.75x21-0.25x22-0.25x23 0（原材料1不少于25%）-0.5 x21+0.5 x22-0.5 x23 0（原材料2不超过50%）x11+x21+x31 100 (供应量限制）x12+x22+x32 100 (供应量限制）x13+x23+x33 60 (供应量限制）xij 0 ,i=1,2,3;j=1,2,3 2.5 线性规划在管理中的应用第73页/共85页 例2.15某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。已知：项目A：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利110%；项目B：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利125%，但规定每年最大投资额不能超过30万元；项目C：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利140%，但规定最大投资额不能超过80万元；项目D：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利155%，但规定最大投资额不能超过100万元。据测定每万元每次投资的风险指数如下表：问：a）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利金额为最大？b）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利在330万元的基础上使得其投资总的风险系数为最小？5.投资问题 2.5 线性规划在管理中的应用第74页/共85页 解：解：1 1）确定决策变量：连续投资问题）确定决策变量：连续投资问题 设 xij(i=15，j=14)表示第 i 年初投资于A(j=1)、B(j=2)、C(j=3)、D(j=4)项目的金额。这样我们建立如下的决策变量：A x11 x21 x31 x41 x51 B x12 x22 x32 x42 C x33 D x24 2.5 线性规划在管理中的应用第75页/共85页2）约束条件：第一年：A当年末可收回投资，故第一年年初应把全部资金投出去，于是 x11+x12=200；第二年：B次年末才可收回投资，故第二年年初有资金1.1 x11，于是 x21+x22+x24=1.1x11；第三年：年初有资金 1.1x21+1.25x12，于是 x31+x32+x33=1.1x21+1.25x12；第四年：年初有资金 1.1x31+1.25x22，于是 x41+x42=1.1x31+1.25x22；第五年：年初有资金 1.1x41+1.25x32，于是 x51=1.1x41+1.25x32；B、C、D的投资限制：xi2 30(i=1、2、3、4)，x33 80，x24 100 3）目标函数及模型：a)Max z=1.1x51+1.25x42+1.4x33+1.55x24 s.t.x11+x12=200 x21+x22+x24=1.1x11；x31+x32+x33=1.1x21+1.25x12；x41+x42=1.1x31+1.25x22；x51=1.1x41+1.25x32；xi2 30(i=1、2、3、4)，x33 80，x24 100 xij 0 (i=1、2、3、4、5；j=1、2、3、4）2.5 线性规划在管理中的应用第76页/共85页2.6图解法的灵敏度分析一、灵敏度分析的含义与内容1.灵敏度分析的含义 灵敏度分析：建立数学模型和求得最优解后，研究线性规划的一个或多个参数（系数）ci、aij、bi变化时，对最优解产生的影响。2.灵敏度分析的作用（意义）1）因为线性规划中的ci、aij、bi这些系数都是估计值和预测值，不一定非常准确；2）即使这些系数值在某一时刻是精确值，它们也会随着市场条件的变化而变化，不会一成不变的。那么如果这些系数变了，线性规划已经求出的最优解会不会变化呢？我们需要不要重新求解呢？有了灵敏度分析，我们就不必为了应付这些变化而不停地建立新的模型和求其新的最优解了；也不会由于系数的估计和预测的精确性而对所求得的最优解存有不必要的怀疑。3.灵敏度分析的内容 第77页/共85页x1x2x2=0 x1=0 x2=250 x1+x2=3002x1+x2=400图2-12.6图解法的灵敏度分析例2.1.目标函数：Max z=50 x1+100 x2 约束条件：s.t.x1+x2 300 (A)2 x1+x2 400 (B)x2 250 (C)x1 0 (D)x2 0 (E)得到最优解：x1=50，x2 =250 最优目标值 z =27500二、目标函数中的系数 ci 的灵敏度分析第78页/共85页x1x2z=20000=50 x1+100 x2图2-2z=27500=50 x1+100 x2z=0=50 x1+100 x2z=10000=50 x1+100 x2CBADE2.6图解法的灵敏度分析第79页/共85页二、目标函数中的系数 ci 的灵敏度分析 考虑例2.1的情况，ci 的变化只影响目标函数等值线的斜率，目标函数 z=50 x1+100 x2 在 z=x2(x2=z 斜率为0)到 z=x1+x2 (x2=-x1+z 斜率为-1)之间时，原最优解 x1=50，x2=100 仍是最优解。一般情况：z=c1 x1+c2 x2 写成斜截式 x2=-(c1/c2)x1+z/c2 目标函数等值线的斜率为 -(c1/c2)，当 -1 -(c1/c2)0 （*）时，原最优解仍是最优解。2.6图解法的灵敏度分析第80页/共85页假设产品的利润100元不变，即 c2=100，代到式（*）并整理得 0 c1 100 假设产品的利润 50 元不变，即 c1=50，代到式（*）并整理得 50 c2 +假若产品、的利润均改变，则可直接用式（*）来判断。假设产品、的利润分别为60元、55元，则 -2 -(60/55)-1 那么，最优解为 z=x1+x2 和 z=2 x1+x2 的交点 x1=100，x2=200。2.6图解法的灵敏度分析第81页/共85页三、约束条件中右边系数 bj 的灵敏度分析 当约束条件中右边系数 bj 变化时，线性规划的可行域发生变化，可能引起最优解的变化。考虑例2.1的情况：假设设备台时增加10个台时，即 b1变化为310，这时可行域扩大，最优解为 x2=250 和 x1+x2=310 的交点 x1=60，x2=250。变化后的总利润-变化前的总利润=增加的利润 (5060+100250)-(50 50+100 250)=500，500/10=50 元 说明在一定范围内每增加（减少）1个台时的设备能力就可增加（减少）50元利润，称为该约束条件的对偶价格。对偶价格（影子价格）：约束条件后边常量增加一个单位，而使最优目标函数值得到改进的数量，称为该约束条件的对偶价格。2.6图解法的灵敏度分析第82页/共85页 假设原料 A 增加10 千克时，即 b2变化为410，这时可行域扩大，但最优解仍为 x2=250 和 x1+x2=300 的交点 x1=50，x2=250。此变化对总利润无影响，该约束条件的对偶价格为 0。解释：原最优解没有把原料 A 用尽，有50千克的剩余，因此增加10千克值增加了库存，而不会增加利润。对偶价格为负数的例子：上机内容1中的6题。（以上都是最大化例子）作业：最小化例子（上机内容1中2题，用作图的方法进行灵敏度分析）,分别求三个约束条件的对偶价格。结论：在一定范围内，当约束条件右边常数增加1个单位时：（1）若约束条件的对偶价格大于0，则其最优目标函数值得到改善（变好）；（2）若约束条件的对偶价格小于0，则其最优目标函数值受到影响（变坏）；（3）若约束条件的对偶价格等于0，则最优目标函数值不变。2.6图解法的灵敏度分析第83页/共85页四、灵敏度分析总结 1.Ci的灵敏度分析得出ci在什么范围内变化时最优解不变。2.bi的灵敏度分析确定对偶价格的有效范围。每种资源的对偶价格不是一成不变的，所以bi的灵敏度分析目的就是确定对偶价格（不变）的有效范围。3.结论-对偶价格与剩余（松弛）变量之间的关系。2.6图解法的灵敏度分析第84页/共85页感谢您的观看！第85页/共85页