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质点力学概要质点力学概要1 1 实物的简化模型实物的简化模型2 2 质点运动的描述质点运动的描述 3 3 质点运动定律质点运动定律 4 4 功和能功和能 1 实物的简化模型实物的简化模型物理学为了能揭示物质运动的本质规律，常常对研究对象进物理学为了能揭示物质运动的本质规律，常常对研究对象进行理想化处理，以突出其主要性质，忽略次要因素，将研究行理想化处理，以突出其主要性质，忽略次要因素，将研究对象对象抽象为可以用数学方法描述的理想模型抽象为可以用数学方法描述的理想模型。提出物理模型的基本原则提出物理模型的基本原则（）明确所提问题；（）明确所提问题；（）突出主要因素，提出理想模型；（）突出主要因素，提出理想模型；（）分析各种因素在所提问题中的主次；（）分析各种因素在所提问题中的主次；（）实验验证。（）实验验证。1.1 1.1 质点质点 把物体分解成许多个小部分，如果每个小部分均可看作把物体分解成许多个小部分，如果每个小部分均可看作质点，那么整个物体可视为由许多质点组成的系统，称其为质点，那么整个物体可视为由许多质点组成的系统，称其为质点系质点系。如果以上两个条件都不满足，可将研究对象视为质点系。如果以上两个条件都不满足，可将研究对象视为质点系。为了突出物体最基本的机械运动特征，可将物体视为具有为了突出物体最基本的机械运动特征，可将物体视为具有一定质量的一定质量的“几何点几何点”，这样的点通常叫做，这样的点通常叫做质点质点。选用质点模型的条件是：选用质点模型的条件是：物体自身线度与所研究的物体运动的空间范围相比，可以物体自身线度与所研究的物体运动的空间范围相比，可以忽略；忽略；或者物体只作平动。或者物体只作平动。1.2 1.2 质点系质点系 两个条件中，具一即可。两个条件中，具一即可。1.3 1.3 刚体刚体 刚体：刚体：指在任何情况下形状和大小不变的理想物体指在任何情况下形状和大小不变的理想物体 当物体自身线度与所研究的物体运动当物体自身线度与所研究的物体运动的空间范围比不可以忽略；物体又不作的空间范围比不可以忽略；物体又不作平动时，即必须考虑物体的空间方位。平动时，即必须考虑物体的空间方位。刚体模型刚体模型 刚体是一个内部各质点之间无相对位置变化且质量连续刚体是一个内部各质点之间无相对位置变化且质量连续分布的特殊质点系。分布的特殊质点系。1.4 1.4 理想流体理想流体 绝对不可压缩、完全没有黏滞性的流体。绝对不可压缩、完全没有黏滞性的流体。xyoz2.1 位置矢量位置矢量在直角坐标系中为在直角坐标系中为 由坐标原点引向质点的矢量，简称位矢。由坐标原点引向质点的矢量，简称位矢。P(x,y,z)位矢的方向位矢的方向位矢的大小为位矢的大小为 质点运动时，有质点运动时，有已知运动学方程，可求质点运动轨迹、速度和加速度。已知运动学方程，可求质点运动轨迹、速度和加速度。意义：意义：运动方程运动方程2 质点运动的描述质点运动的描述 求求解解hx坐标表示为坐标表示为例例如图所示，以速度如图所示，以速度v 用绳跨一定滑轮拉用绳跨一定滑轮拉湖面上的船，已知湖面上的船，已知绳初长绳初长 l 0，岸高，岸高 h取坐标系如图取坐标系如图依题意有依题意有质点运动学的基本问题之一是确定质点运动学方程。为正确质点运动学的基本问题之一是确定质点运动学方程。为正确写出质点运动学方程，写出质点运动学方程，先要选定参考系、坐标系先要选定参考系、坐标系，明确，明确起始起始条件条件等，找出质点等，找出质点坐标随时间变化的函数关系坐标随时间变化的函数关系。O船的运动方程船的运动方程说说明明2.2 位移位移 讨论：讨论：(1)位移是矢量（有大小，有方向）位移是矢量（有大小，有方向）位移不同于路程位移不同于路程(2)位移与坐标系原点的位置无关位移与坐标系原点的位置无关(3)与与r 的区别的区别xyzOP1P2OO分清分清反映物体位置反映物体位置(距离与方位距离与方位)的变化。的变化。位移只取决于质点的始末位置。位移只取决于质点的始末位置。在三维直角坐标系中的位移在三维直角坐标系中的位移x yzO时刻时刻t，质点位于，质点位于P1，位矢为，位矢为时刻时刻t+t，质点位于，质点位于P2，位矢为，位矢为时间时间 t 内质点的位移为内质点的位移为建如图所示坐标，则建如图所示坐标，则位移的模为位移的模为 2.3 速度速度(描述物体运动快慢的物理量描述物体运动快慢的物理量)1.平均速度平均速度o2.瞬时速度瞬时速度ABB 讨论：讨论：(1)速度有矢量性、瞬时性和相对性。速度有矢量性、瞬时性和相对性。(2)注意速度与速率的区别注意速度与速率的区别瞬时速度瞬时速度速度的大小为速度的大小为其中其中 例例 一运动质点在某瞬时位于矢径一运动质点在某瞬时位于矢径 的端点处，其速的端点处，其速度大小为度大小为（A）（B）（C）（D）在三维直角坐标系中的速度在三维直角坐标系中的速度2.4 加速度加速度1.平均加速度平均加速度2.瞬时加速度瞬时加速度 讨论：讨论：(1)加速度反映速度的变化（大小和方向）情况。加速度反映速度的变化（大小和方向）情况。P1P2O(2)加加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一面。速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一面。（反映速度变化快慢的物理量）（反映速度变化快慢的物理量）大小为大小为其中其中在三维直角坐标系中的加速度在三维直角坐标系中的加速度v 运动学的二类问题运动学的二类问题1.第一类问题第一类问题已知运动学方程，求已知运动学方程，求(1)t=1s 到到 t=2s 质点的位移质点的位移(2)t=2s 时时已知一质点运动方程已知一质点运动方程求求例例解解(1)(2)当当 t=2s 时时微分法微分法例例 设质点的运动方程为设质点的运动方程为 其中其中求求（1 1）时的速度时的速度.（2 2）作出质点的运动轨迹图作出质点的运动轨迹图.解解 （1 1）由题意可得速度分量分别为）由题意可得速度分量分别为时速度为时速度为速度速度 与与 轴之间的夹角轴之间的夹角（2）运动方程运动方程由运动方程消去参数由运动方程消去参数 可得轨迹方程为可得轨迹方程为0轨迹图轨迹图246-6-4-2246解解已知已知求求和运动方程。和运动方程。代入初始条件代入初始条件代入初始条件代入初始条件2.第二类问题第二类问题已知加速度和初始条件，求已知加速度和初始条件，求例例,t=0 时时积分法积分法解解 由加速度定义由加速度定义例例 有一个球体在某液体中竖直下落有一个球体在某液体中竖直下落,其初速度其初速度为为 ,它的加速度为它的加速度为 求求（1 1）经过多少时间后可以认为小球已停止运动）经过多少时间后可以认为小球已停止运动,（2 2）此球体在停止运动前经历的路程有多长？）此球体在停止运动前经历的路程有多长？10求导求导求导求导积分积分积分积分质点运动学两类基本问题质点运动学两类基本问题 一、一、由质点的运动方程可以求得质点在任一时刻的由质点的运动方程可以求得质点在任一时刻的位矢、速度和加速度；位矢、速度和加速度；二、二、已知质点的加速度以及初始速度和初始位置已知质点的加速度以及初始速度和初始位置,可求质点速度及其运动方程可求质点速度及其运动方程。例例.一质点由静止开始作直线运动，初始加速度为一质点由静止开始作直线运动，初始加速度为a0，以后加速度均匀增加，每经过，以后加速度均匀增加，每经过秒增加秒增加a0，求经，求经过过 t 秒后质点的速度和运动的距离秒后质点的速度和运动的距离。【提示提示1】直线运动中矢量可以用标量代替直线运动中矢量可以用标量代替!初始位置和初始速度初始位置和初始速度【提示提示2】初始条件初始条件：解：解：据题意知，加速度和时间的关系为：据题意知，加速度和时间的关系为：1.1.实验基础实验基础 实验事实总结实验事实总结 实验事实证明实验事实证明 2.2.物理意义物理意义 力是物体运动状态改变的原因力是物体运动状态改变的原因 力的成对性与一致性力的成对性与一致性 3.3.适用范围适用范围 惯性坐标系惯性坐标系 宏观低速运动的物体宏观低速运动的物体 我我奉奉献献这这一一作作品品，作作为为哲哲学学的的数数学学原原理理，因因为为哲哲学学的的全全部部责责任任似似乎乎在在于于从从运运动动的的现现象象去去研研究究自然界中的力，然后从这些力去说明其它现象。自然界中的力，然后从这些力去说明其它现象。牛顿牛顿自然哲学的数学原理自然哲学的数学原理（16861686）3 质点运动定律质点运动定律 3.1 3.1 惯性定律惯性定律 若平面光滑无摩若平面光滑无摩擦擦,球会滚多远？球会滚多远？显然，球会永远滚下去显然，球会永远滚下去理想实验加科学推理的科学方法理想实验加科学推理的科学方法 伽利略的正确结论在隔了一代人之后，由牛顿总结成了伽利略的正确结论在隔了一代人之后，由牛顿总结成了一条基本定律。一条基本定律。牛顿第一定律（惯性定律）：牛顿第一定律（惯性定律）：任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态，直到其任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态，直到其他物体对它作用的力迫使它改变这种状态为止。他物体对它作用的力迫使它改变这种状态为止。其数学表达式为其数学表达式为时时，牛顿第一定律牛顿第一定律“力力”的概念的概念注意三个重要概念：注意三个重要概念：惯性、力、惯性参照系惯性、力、惯性参照系某时刻质点某时刻质点动量动量对时间的变化率对时间的变化率等于等于该时刻作用在该时刻作用在质点上所有力的质点上所有力的合力合力。3.2 3.2 质点的动力学方程质点的动力学方程质量不随时间变化时质量不随时间变化时牛顿第二定律的分牛顿第二定律的分量形式量形式牛顿第二定律牛顿第二定律 力的度量力的度量(定量描述定量描述)注意：力的注意：力的 瞬时性、矢量性和对应性瞬时性、矢量性和对应性3.3 3.3 牛顿第三定律牛顿第三定律 牛顿第三定律指明了一个真实存在的力的标志，在于总牛顿第三定律指明了一个真实存在的力的标志，在于总能找到它的反作用力，并且在其它物体的运动中表现出来。能找到它的反作用力，并且在其它物体的运动中表现出来。物体之间的作用力具有成对性，即作用力与反作用力必物体之间的作用力具有成对性，即作用力与反作用力必须同时出现，且属于同种性质的力。作用力与反作用力是相须同时出现，且属于同种性质的力。作用力与反作用力是相对的、无主从之分，各自产生的效果不会抵消。对的、无主从之分，各自产生的效果不会抵消。两物体之间的作用力两物体之间的作用力 和反作用力和反作用力 ，沿同一直线作用，沿同一直线作用，大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上。大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上。牛顿第三定律牛顿第三定律 力的特性力的特性注意：力的注意：力的成对性、一致性和同时性成对性、一致性和同时性4 功和能功和能 机械能守恒定律机械能守恒定律 4.1 4.1 功功（研究力对空间的积累效应）（研究力对空间的积累效应）1.恒力的功恒力的功 2.变力的功变力的功Mab 一段上的一段上的元功元功在在在在ab一段上的一段上的总功总功abL缓慢拉质量为缓慢拉质量为m 的小球，的小球，解解例例 =0 时，时，求求已知用力已知用力保持方向不变保持方向不变作的功。作的功。解：解：例例 一一质质量量为为m、总长为总长为l 的的铁链铁链，开始，开始时时有一半放在有一半放在光滑光滑的桌的桌 面上，而另一半下垂，如面上，而另一半下垂，如图图所示。所示。求求 铁链铁链全部滑离桌面全部滑离桌面时时重力所作的功。重力所作的功。l/2重力作的重力作的元功元功yO则铁链全部滑离桌面时，重力作的功则铁链全部滑离桌面时，重力作的功4.2 4.2 动能动能 动能定理动能定理质点的动能定理质点的动能定理（合力的功）（合力的功）合力在某一过程中对质点所作的功，等于质点在该过程合力在某一过程中对质点所作的功，等于质点在该过程动能的增量。动能的增量。(1)Ek 是一个状态量是一个状态量,A 是过程量。是过程量。(2)动能定律只适用于惯性系。动能定律只适用于惯性系。r 说明说明4.3 4.3 势能势能 机械能守恒定律机械能守恒定律 1.保守力保守力 势能势能如果力所做的功与路径无关，而只决定于物体的始末如果力所做的功与路径无关，而只决定于物体的始末相对位置，这样的力称为保守力。相对位置，这样的力称为保守力。保守力沿闭合路径一周所做的功为零。保守力沿闭合路径一周所做的功为零。例如重力、万有引力、弹性力都是保守力。例如重力、万有引力、弹性力都是保守力。作功与路径有关的力称为非保守力。作功与路径有关的力称为非保守力。例如例如:摩擦力摩擦力 ab bd dc c势能势能在保守力场中在保守力场中AB取：取：则则(势能零点势能零点)势能是位置的函数，在数值上等于从势能是位置的函数，在数值上等于从B 到到 势能零点势能零点 保守力所保守力所做的功，该函数通常称作势能函数。做的功，该函数通常称作势能函数。势能是系统具有的作功本领！势能是系统具有的作功本领！(蕴藏在保守力场与位置有关的能量蕴藏在保守力场与位置有关的能量)=势能的定义式势能的定义式(零势能点零势能点)讨论：讨论：（1 1）由于势能零点可以任意选取，所以某一点的势能值是相对的。）由于势能零点可以任意选取，所以某一点的势能值是相对的。（2）势能增量：在保守力场中，质点从势能增量：在保守力场中，质点从 P1 P2 位置，势能增量为位置，势能增量为质点在该过程中，保守力的功质点在该过程中，保守力的功 A 为为保守力的功等于质点在始末两位置势能增量的负值保守力的功等于质点在始末两位置势能增量的负值 微分形式微分形式（3）保守力场中任意两点间的势能差与势能零点选取无关。保守力场中任意两点间的势能差与势能零点选取无关。r 几种常见的势能几种常见的势能（势能定义）（势能定义）1)重力势能重力势能 xyzO2)万有引力势能万有引力势能 rMm等势面等势面3)弹性势能弹性势能 Ox（质点的势能与位置坐标的关系可以用图线表示出来）（质点的势能与位置坐标的关系可以用图线表示出来）势能曲线势能曲线zO重力势能重力势能万有引力势能万有引力势能rO弹性势能弹性势能ExO势能零点？势能零点？保守力的大小？保守力的大小？由势能函数求保守力由势能函数求保守力 由势能曲线求保守力由势能曲线求保守力势能曲线上某点斜率的负值，就是该点对应的位置处质势能曲线上某点斜率的负值，就是该点对应的位置处质点所受的保守力。点所受的保守力。2.机械能守恒定律机械能守恒定律对质点对质点:(机械能守恒定律机械能守恒定律)保守力所作的功保守力所作的功A应为：应为：质点在仅有保守力作功的条件下运质点在仅有保守力作功的条件下运动，由动能定理得：动，由动能定理得：故有故有对质点系对质点系:当当(机械能守恒定律机械能守恒定律)(机械能增量机械能增量)(2)守恒定律是对一个系统而言的守恒定律是对一个系统而言的(3)守恒是对整个过程而言的，不能只考虑始末两状态守恒是对整个过程而言的，不能只考虑始末两状态 说明：说明：(1)守恒条件守恒条件(4)机械能守恒定律只适用于惯性系机械能守恒定律只适用于惯性系 3.能量守恒定律能量守恒定律 能量不能消失，也不能创造，只能从一种形式转换为另一能量不能消失，也不能创造，只能从一种形式转换为另一种形式。对一个孤立系统来说，不论发生何种变化，各种种形式。对一个孤立系统来说，不论发生何种变化，各种形式的能量可以互相转换，但它们总和是一个常量。这一形式的能量可以互相转换，但它们总和是一个常量。这一结论称为结论称为能量守恒定律能量守恒定律。3.机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在机械运动范围内机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在机械运动范围内的体现的体现 1.能量守恒定律可以适用于任何变化过程能量守恒定律可以适用于任何变化过程 2.功是能量交换或转换的一种度量功是能量交换或转换的一种度量例如：利用水位差推动水轮机转动，能使发电机发电，将机械能转例如：利用水位差推动水轮机转动，能使发电机发电，将机械能转换为电能；换为电能；电流通流通过电热器能器能发热，把，把电能又能又转换为热能。能。讨论：讨论：作业1.将 按照直角坐标系展开。2.在直角坐标系中计算 1）2）3）