概率论与数理统计第三章多维随机变量.ppt

概率论与数理概率论与数理 统计统计 主讲教师主讲教师主讲教师主讲教师 陈陈陈陈 争争争争 第第3 3章章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布3.1 二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布3.2 边缘分布边缘分布3.4 二维随机变量函数的分布（不讲）二维随机变量函数的分布（不讲）3.3 随机变量的独立性随机变量的独立性第第3 3章章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 到现在为止，我们只讨论了一维到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分布及其分布.但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述需要用几个随机变量来描述.在打靶时在打靶时,命中点的位置是命中点的位置是由一对由一对r.v(两个坐标两个坐标)来确定的来确定的.飞机的重心在空中的位置是飞机的重心在空中的位置是由三个由三个r.v(三个坐标三个坐标)来确定的等来确定的等等等.由它们构成的一个由它们构成的一个 n维向维向 以下重点讨论二维随机变量以下重点讨论二维随机变量.请注意与一维情形的对照请注意与一维情形的对照.是是定定义义在在 上的随机上的随机变变量，量，一般地，设一般地，设E是一个随机试验，它的样本空间是是一个随机试验，它的样本空间是是是 =,设设量量叫做叫做 n维随机向量或维随机向量或n维随机变量维随机变量.一、二维随机变量一、二维随机变量设随机试验设随机试验 E 的样本空间为的样本空间为 为为定定义义在同一在同一样样本空本空间间 上的两个上的两个随机变量，由它们构成的一个向量随机变量，由它们构成的一个向量 称称为为二二维维随机向量或二随机向量或二维维随机随机变变量量3.1 3.1 二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布定定定定义义义义3.13.13.1 二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布 一、二维随机变量一、二维随机变量x、y，二元函数，二元函数1.1.联合分布函数联合分布函数联合分布函数联合分布函数定定定定义义义义3.23.2设设(X,Y)是二维是二维随机变量，如果对于任意实数随机变量，如果对于任意实数称为二维随机变量称为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数，简称的联合分布函数，简称(X,Y)的分布函数的分布函数.（3.1）二、二维随机变量的分布函数二、二维随机变量的分布函数二、二维随机变量的分布函数二、二维随机变量的分布函数二、二维随机变量的分布函数二、二维随机变量的分布函数二、二维随机变量的分布函数二、二维随机变量的分布函数分布函数的函数值的几何解释：分布函数的函数值的几何解释：将二将二维维随机随机变变量量(X,Y)看成是平面上随机点的坐看成是平面上随机点的坐标标，那么，分布函数那么，分布函数F(x,y)在点在点(x,y)处处的函数的函数值值就是就是随机点随机点(X,Y)落在下面左落在下面左图图所示的，以点所示的，以点(x,y)为顶为顶点而点而位于位于该该点左下方的无点左下方的无穷穷巨型域内的概率巨型域内的概率.随机点随机点(X,Y)落在落在矩形域矩形域内的概率为内的概率为(1)对任意对任意 x 及及 y 有有0F(x,y)1，且，且对任意固定的对任意固定的y，对任意固定的对任意固定的x，分布函数分布函数 F(X,Y)有下面性质：有下面性质：(2)F(x,y)是关于变量是关于变量 x 和和 y 的不减函数；的不减函数；对任意固定的对任意固定的y，当当 对任意固定的对任意固定的x，时，时，当当 时，时，(3)关于关于 x 或或 y 都是右连续的，即都是右连续的，即(4)对任意的对任意的有有例例1 试问试问二元函数二元函数能否成为某二维随机变量的联合分布函数？能否成为某二维随机变量的联合分布函数？此二元函数此二元函数 F(x,y)具有二维随机变量联合具有二维随机变量联合分布函数的基本性质分布函数的基本性质(1)、(2)和和(3)，但因，但因故故F(x,y)不满足联合分布函数的基本性质不满足联合分布函数的基本性质(4).解解所以，所以，F(x,y)不能作为某二维随机变量的联合不能作为某二维随机变量的联合分分布函数布函数.为为(X,Y)的的联合概率分布，联合概率分布，简称简称联合分布联合分布，也称，也称设设(X,Y)的一切可能值为的一切可能值为称称若若(X,Y)只取有限对或可数对实数只取有限对或可数对实数三、二维离散型随机变量三、二维离散型随机变量定定定定义义义义3.33.3则称则称(X,Y)为离散为离散型随型随机变量机变量.联合分联合分布律布律.（3.2）1.联合概率分布联合概率分布三、二维离散型随机变量三、二维离散型随机变量二维离散型随机变量二维离散型随机变量(X,Y)的分布律具有性质：的分布律具有性质：一维离散型随机一维离散型随机变量变量 X的分布律的分布律k=1,2,也可用表格来表示随机变量也可用表格来表示随机变量 X 和和Y 的的联合分布联合分布.例例1.设设(X,Y)的分布律如下表，求（的分布律如下表，求（1）（2）X 0100.10.210.40.220.10解解（1）X所有可能的取值为所有可能的取值为1,2；Y所有可能的取值也是所有可能的取值也是1,2.用用X=1,Y=1表示第一次取到号码为表示第一次取到号码为1的球，的球，不再放回，第二次又取到号码为不再放回，第二次又取到号码为1的球，由于的球，由于1号球只号球只有一个，这是不可能的，所以有一个，这是不可能的，所以解解 例例2 袋中装有标上号码袋中装有标上号码1，2，2的的3个球，从中个球，从中任取一个且不再放回，然后再从袋中任取一球，以任取一个且不再放回，然后再从袋中任取一球，以X、Y分别记为第一、二取到球上的号码数，求分别记为第一、二取到球上的号码数，求(X,Y)的分布律的分布律(袋中各球被取到机会相同袋中各球被取到机会相同).令令X=1,Y=2表示第一次取到表示第一次取到1号球，第二次取到号球，第二次取到2号球，有号球，有同理可得同理可得分布律为：分布律为：例例3 把一枚均匀硬币抛掷三次，设把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次抛为三次抛掷中正面出现的次数掷中正面出现的次数，而，而 Y 为正面出现次数与反为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值面出现次数之差的绝对值,求求(X,Y)的分布律的分布律.(X,Y)可取值可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)PX=0,Y=3PX=1,Y=1 PX=2,Y=1PX=3,Y=3=3/8=3/8解解例例4.设随机变量在设随机变量在1,2,3,4这这4个整数中等可能地个整数中等可能地取一个值，取一个值，若若的值取定时，另一个随机变量在的值取定时，另一个随机变量在1等可能地取一个整数值。求等可能地取一个整数值。求（,）的分布律的分布律.解解 由于由于X=i,Y=j的取值情况是的取值情况是i=1,2,3,4,j取不大取不大于于i的正整数，根据概率乘法公式得：的正整数，根据概率乘法公式得：PX=i，Y=j=PX=iP Y=j|X=i=于是，得于是，得（,）的分布律如下表的分布律如下表 Y X123411/41/81/12 1/16201/81/12 1/163001/12 1/1640001/16与一维随机变量的情形类似，有与一维随机变量的情形类似，有式中的和式是对一切满足：式中的和式是对一切满足：具体做起来比较麻烦，所以不作要求！具体做起来比较麻烦，所以不作要求！四、二维连续型随机变量四、二维连续型随机变量四、二维连续型随机变量四、二维连续型随机变量定定定定义义义义3.43.4 对于二维对于二维随机变量随机变量(X,Y)的分布函数的分布函数F(x,y)，如果存在，如果存在非非负的函数负的函数f(x,y)，使对于任意的，使对于任意的x,y有有则称则称(X,Y)为连续型随机变量，其中为连续型随机变量，其中f(x,y)称为称为(X,Y)的的联合概率密度函数联合概率密度函数，简称联合概率密度或联合概，简称联合概率密度或联合概率密度函数率密度函数.（3.3）1.联合概率密度联合概率密度X 的概率密度函数的概率密度函数f(x)xR一维一维连续型随机变量连续型随机变量 X 的分布函数的分布函数性质：性质：2.2.(X X,Y)Y)的概率密度的性质的概率密度的性质的概率密度的性质的概率密度的性质 :（3）设设D是是xoy平面上的区域，点平面上的区域，点(X,Y)落入落入D内内 的概率的概率为为（4）在）在 f(x,y)的连续点的连续点,例例5 设设(X,Y)的概率密度是的概率密度是求：（求：（1）系数）系数A；（3）（1）如图如图1所示，所示，f(x,y)在阴影部分不为在阴影部分不为0，其余均为其余均为0，由概率密度的性质（，由概率密度的性质（2），有），有 图图1解解由此得由此得 A=6（2）根据联合密度函数的性质（）根据联合密度函数的性质（3）当当 x0 或或 y0 时时,故故当当x0,y0时时,（3）求联合分布函数）求联合分布函数课外作业：习题3-11,2,4,53.2 3.2 边缘分布与随机变量的独立性边缘分布与随机变量的独立性定定定定义义义义3.53.5边缘边缘分布函数可以由联合分布函数来确定。分布函数可以由联合分布函数来确定。函数函数F(x,y),而而X和和Y作为一维随机变量也有分布作为一维随机变量也有分布函数，将它们分别记为函数，将它们分别记为作作 称称和和 分别为二维随机变量分别为二维随机变量(X,Y)关于关于X和关于和关于Y的边缘分布函数。的边缘分布函数。二维随机变量二维随机变量(X,Y)作为整体，具有分布作为整体，具有分布事实上，事实上，同样，同样，一一.二维离散型随机变量的二维离散型随机变量的边缘分布律边缘分布律 对于二维离散型随机变量对于二维离散型随机变量(X,Y)，X和和Y的联合的联合分布律为：分布律为：且有且有 ,与一维离散型与一维离散型随机变量随机变量X的分布函数的分布函数 比较，比较，得的分布律为：得的分布律为：同样的分布律为：同样的分布律为：1.边缘分布律边缘分布律定定定定义义义义3.63.6分别称和分别称和记记为二维离散型随机变量为二维离散型随机变量(X,Y)关于和关于的边缘关于和关于的边缘分布律分布律.也可用表格来表示随机变量也可用表格来表示随机变量 X 和和Y 的的边缘分布边缘分布.注意：由联合分布可以确定边缘分布；但由边缘分布注意：由联合分布可以确定边缘分布；但由边缘分布一般不能确定联合分布一般不能确定联合分布.请看下例。请看下例。例例 设袋中有设袋中有2只白球，只白球，3只红球，现做无放只红球，现做无放回摸球，每次一球，连模两次，令回摸球，每次一球，连模两次，令第二次摸到白球，第二次摸到白球，第二次摸到红球，第二次摸到红球，试试求二维随机变量求二维随机变量(X,Y)的联合分布的联合分布.第一次摸到白球，第一次摸到白球，第一次摸到红球，第一次摸到红球，解：显然（解：显然（,）的可能取值为数组：）的可能取值为数组：根据乘法公式得：根据乘法公式得：不放回摸球不放回摸球（1）放回摸球）放回摸球解解例例2.若将若将例例1改做放回摸球情况又如何？改做放回摸球情况又如何？例例1与例与例2的结果表明，两种摸球方式下，的结果表明，两种摸球方式下，(X,Y)具有具有不同的联合分布，但它们相应的边缘分不同的联合分布，但它们相应的边缘分布却一样布却一样.这一事实说明，虽然二维这一事实说明，虽然二维随机变量随机变量(X,Y)的联合分布的联合分布完全确定了它的两个边缘分布完全确定了它的两个边缘分布，但反过来，但反过来，(X,Y)的的两个边缘分布却不能完全确定两个边缘分布却不能完全确定出出(X,Y)的联合分布的联合分布，这正是必须将二维这正是必须将二维随机变量随机变量(X,Y)作为整体来研究的作为整体来研究的理由理由.当当(X,Y)是离散型随机变量时，设其所有可能是离散型随机变量时，设其所有可能值为值为则则X和和Y相互独立的相互独立的充分充分必要必要条件为条件为 容易证明，容易证明，上例上例的放回摸球试验中的随机变量的放回摸球试验中的随机变量X与与Y相互独立，而不放回摸球试验中的随机变量相互独立，而不放回摸球试验中的随机变量X与与Y则不相互独立。则不相互独立。2.离散型随机变量的独立性离散型随机变量的独立性例例3.从三张分别标有从三张分别标有1，2，3号的卡片中任取号的卡片中任取码大于码大于X的卡片，从剩下的卡片中再任取一张，以的卡片，从剩下的卡片中再任取一张，以Y一张，一张，以以X记其号码，放回之后，拿掉三张卡片中号记其号码，放回之后，拿掉三张卡片中号记其号码，求随机变量记其号码，求随机变量(X,Y)的的联合分布联合分布和边缘分布和边缘分布.利用乘法公式，有利用乘法公式，有解解将计算结果列成表格，求得边缘分布将计算结果列成表格，求得边缘分布.因为因为所以所以X与与Y不独立不独立例例4.已知随机变量已知随机变量函数为函数为f(x,y),二二.二维连续型随机变量的边缘密度函数与变量的独立性二维连续型随机变量的边缘密度函数与变量的独立性设设(X,Y)为二维连续型随机变量，联合概率密度为二维连续型随机变量，联合概率密度X的边缘分布函数可表示为：的边缘分布函数可表示为：由分布函数和概率密度函数之间的关系可得，由分布函数和概率密度函数之间的关系可得，称称为为(X,Y)关于关于X的的边缘概率密度函数边缘概率密度函数，简称，简称X的的边缘概率密度边缘概率密度.1.边缘密度函数边缘密度函数类似地，类似地，Y的边缘分布函数可表示为：的边缘分布函数可表示为：则有则有称称为为(X,Y)关于关于Y的的边缘概率密度函数边缘概率密度函数，简称，简称Y的的边缘边缘概率密度函数概率密度函数.例例4 设设(X,Y)的概率密度是的概率密度是求：求：(1)c的值；的值；（2）两个边缘密度）两个边缘密度.=5c/24,故故 c=24/5.(1)解解(2)当当 时时,暂时固定暂时固定当当x1或或x0 解解y 0即即可见对一切可见对一切 x,y,均有：均有：故故 X,Y 独立独立.例例8已知求 例例8.若若(X,Y)的概率密度为的概率密度为情况又怎样？情况又怎样？由于存在面积不为由于存在面积不为0的区域，的区域，故故 X 和和 Y 不独立不独立.解解求求:(1)X,Y的边缘分布密度；的边缘分布密度；(2)X,Y是否独立；是否独立；当当0 x 2时，时，例例9.设随机变量设随机变量(X,Y)的概率密度为的概率密度为(1)当当 x2 时，时，(3)P(Y X).解解同理同理(2)当当0 x 2，0 y 2时，时，所以所以X与与Y不独立不独立.若随机变量若随机变量且且 X 和和 Y 相互独立，则相互独立，则也就是说，服从正态分布的独立随机变量的线性也就是说，服从正态分布的独立随机变量的线性组合仍服从正态分布组合仍服从正态分布.注意：（二注意：（二维维正正态态分布）分布）课外作业：习题3-21,3,习题3-31,2,3.4 3.4 二维随机变量函数的分布二维随机变量函数的分布 当随机变量当随机变量 X,Y 的联合分布已知时，如何的联合分布已知时，如何求出它们的函数求出它们的函数 Z=g(X,Y)的分布的分布?一、二维离散型随机变量函数的分布一、二维离散型随机变量函数的分布设二维离散型设二维离散型随机变量随机变量(X,Y)的联合分布为的联合分布为则则 Z=g(X,Y)也是二维离散也是二维离散型随机变量型随机变量.若对于不同的若对于不同的函数函数g(x,y)有相同有相同的取值，的取值，应以应以(X,Y)在有相同函数值的点在有相同函数值的点概率之和作概率之和作为为Z=g(X,Y)取相取相应应函数函数值值的概率的概率.若对于不同的若对于不同的函数值函数值互不相同，互不相同，则则 Z=g(X,Y)的分布律的分布律为为的的 例例1 设两个相互独立的随机变量设两个相互独立的随机变量X与与Y的分布的分布律为律为求随机变量求随机变量 Z=X+Y 的分布律的分布律.由于由于X与与Y相互独立，因此有相互独立，因此有得二维随机变量的联合分布：得二维随机变量的联合分布：解解因为因为Z=X+Y，易知，易知Z的分布为的分布为则则Z的分布律为：的分布律为：k=0,1,2,泊松分布泊松分布.例例2 若若 X 和和 Y 相互独立相互独立,它们分别服从参数为它们分别服从参数为的泊松分布的泊松分布,证明证明Z=X+Y服从参数为服从参数为的的依依题意，题意，X、Y的概率分布分别为的概率分布分别为解解k=0,1,即即Z服从参数为服从参数为 的泊松分布的泊松分布.于是于是 例例3 设设X和和Y的联合密度为的联合密度为 f(x,y),求求 Z=X+Y 的概率密度的概率密度.这里积分区域这里积分区域 D=(x,y):x+y zZ=X+Y 的分布函数是的分布函数是:它它是直线是直线 x+y=z 及其左下方的半平面及其左下方的半平面.解解 化成累次积分化成累次积分,得得 固定固定z和和y,对方括号内的积分作变量代换对方括号内的积分作变量代换,令令 x=u-y,得得变量代换变量代换交换积分次序交换积分次序由概率由概率密度与分布函数的关系密度与分布函数的关系,即得即得Z=X+Y的概率的概率密度为密度为:由由X和和Y的对称性的对称性,fZ(z)又可写成又可写成 以上两式即是以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式两个随机变量和的概率密度的一般公式.特别地特别地，当，当 X 和和 Y 独立，设独立，设(X,Y)关于关于 X,Y 的边的边缘密度分别为缘密度分别为 fX(x),fY(y),则上述两式化为则上述两式化为:下面我们用下面我们用卷积公式来求卷积公式来求Z=X+Y的概率密度的概率密度.卷积公式卷积公式为确定积分限为确定积分限,先找出使被积函数不为先找出使被积函数不为 0 的区域的区域 例例4 若若 X 和和Y 独立独立,具有共同的概率密度具有共同的概率密度求求 Z=X+Y 的概率密度的概率密度.由卷积公式由卷积公式也即也即解解暂时固定暂时固定故故 当当 或或 时时,当当 时时,当当 时时,于是于是 例例5 若若X和和Y 是两个相互是两个相互独立独立的随机变量的随机变量,具具有相同的分布有相同的分布 N(0,1),求求 Z=X+Y 的概率密度的概率密度.由卷积公式由卷积公式解解令令得得可见可见 Z=X+Y 服从正态分布服从正态分布 N(0,2).用类似的方法可以证明用类似的方法可以证明:若若X和和Y 独立独立,结论又如何呢结论又如何呢?此结论此结论可以推广到可以推广到n个独立随机变量之和的情形个独立随机变量之和的情形,请自行写出结论请自行写出结论.若若X和和Y 独立独立,具有相同的分布具有相同的分布 N(0,1),则则Z=X+Y 服从正态分布服从正态分布 N(0,2).