3.3第三章概率论与数量统计.ppt

3.3 随机变量的独立性随机变量的独立性n 特别，对于离散型和连续型的随机变量，该定义特别，对于离散型和连续型的随机变量，该定义分别等价于分别等价于 n n定义定义定义定义 设（设（设（设（X X X X，Y Y Y Y）的联合分布函数为）的联合分布函数为）的联合分布函数为）的联合分布函数为F(x,y)F(x,y)F(x,y)F(x,y)，两，两，两，两个边缘分布函数分别为个边缘分布函数分别为个边缘分布函数分别为个边缘分布函数分别为F F F FX X X X(x),F(x),F(x),F(x),FY Y Y Y(y)(y)(y)(y)，如果对于，如果对于，如果对于，如果对于任意任意任意任意的的的的x,yx,yx,yx,y，都有都有都有都有F(x,y)=FF(x,y)=FX X(x)F(x)FY Y(y)(y)，则称随机变量则称随机变量则称随机变量则称随机变量X X，Y Y相互独立相互独立相互独立相互独立。对任意对任意i,j 对任意对任意x,y 在实际问题或应用中，当在实际问题或应用中，当X X的取值与的取值与Y Y的取值互的取值互不影响时，不影响时，我们就认为我们就认为X X与与Y Y是是相互独立的，进而相互独立的，进而把上述定义式当公式运用把上述定义式当公式运用.在在X X与与Y Y是是相互独立的前提下相互独立的前提下，边缘分布可确定联合分布！边缘分布可确定联合分布！边缘分布可确定联合分布！边缘分布可确定联合分布！n n实际意义实际意义实际意义实际意义n n补充说明补充说明补充说明补充说明设（设（X，Y）的概率分布（律）为的概率分布（律）为证明：证明：X、Y相互独立相互独立。例例1 1 2/52/5 1/51/5 2/52/5 p.j 2/42/4 4/20 2/20 4/20 2 1/41/4 2/20 1/20 2/20 1 1/4 1/4 2/20 1/20 2/20 1/2 pi.2 0 -1yx逐个验证等式逐个验证等式 证证 X与与Y的边缘分布律分别为的边缘分布律分别为X X、Y Y相互独立相互独立 2/5 1/5 2/5 p.i 2 0-1 X 2/4 1/4 1/4 Pj.2 1 1/2 Y例例2 2 设（设（X X，Y)Y)的概率密度为的概率密度为求求 (1)1)P P（0X1 0X1，0Y10Y1）(2)(X,Y)(2)(X,Y)的边缘密度，的边缘密度，（3 3）判断）判断X X、Y Y是否独立。是否独立。解解 设设A=A=（x x，y y）：）：0 x1 0 x1，0y10y1）11 边缘密度函数边缘密度函数分别分别为为当当 时时当当 时时所以，所以，同理可得同理可得 所以所以 X X 与与 Y Y 相互独立。相互独立。例例3 已知二维随机变量（已知二维随机变量（X，Y）服从区域服从区域D上的均匀分上的均匀分 布，布，D为为x轴，轴，y轴及直线轴及直线y=2x+1所围成的三角形区所围成的三角形区 域。判断域。判断X，Y是否独立。是否独立。解解 （X,Y）的密度函数为的密度函数为 当当 时，时，所以，关于所以，关于X的边缘分布密度为的边缘分布密度为 关于关于X的边缘分布密度为的边缘分布密度为 当当 或或 时时当当 时，时，所以，关于所以，关于Y的边缘分布密度为的边缘分布密度为 关于关于Y的边缘分布密度为的边缘分布密度为 当当 或或 时时所以所以 X与与Y不独立不独立。设（设（设（设（X,Y)X,Y)X,Y)X,Y)服从矩形域服从矩形域服从矩形域服从矩形域上的均匀分布，求证上的均匀分布，求证上的均匀分布，求证上的均匀分布，求证 X X X X 与与与与 Y Y Y Y 独立。独立。独立。独立。例例4 4时时时时解解于是于是同理同理同理同理所以所以所以所以即即即即 X X X X 与与与与 Y Y Y Y 独立。独立。独立。独立。时时时时