工程力学8-2-课件.ppt
工程力学（A）北京理工大学理学院力学系 韩斌(8-2)(8-2)24+2/III8 8 虚位移原理虚位移原理关于本章内容：属于分析力学体系关于本章内容：属于分析力学体系牛顿牛顿(I.Newton,1642-1727)分析力学分析力学(标量物理量：广义坐标标量物理量：广义坐标 ，广义速度，广义速度 ,能能量量 T，V，功功W)拉格朗日拉格朗日(J.-L.Lagrange,1736-1813)本章将虚位移原理用于研究静力学平衡问题。本章将虚位移原理用于研究静力学平衡问题。优点：可避开不必求的许多中间未知约束力。优点：可避开不必求的许多中间未知约束力。以以牛顿三定律牛顿三定律牛顿三定律牛顿三定律为基本方程为基本方程矢量力学矢量力学(矢量物理量：矢量物理量：)动量动量 动量矩动量矩及及以以虚位移原理虚位移原理虚位移原理虚位移原理为基本方程为基本方程21.质点系的质点系的位形位形位形位形 n n个自由质点组成的质点系个自由质点组成的质点系个自由质点组成的质点系个自由质点组成的质点系 n n个质点的非自由质点系个质点的非自由质点系个质点的非自由质点系个质点的非自由质点系设自由度设自由度设自由度设自由度 ，则则(8.1)(8.2)位形给定则质点系中每一质点的位置就可确定位形给定则质点系中每一质点的位置就可确定8.8.1 1 位形、约束方程及约束分类位形、约束方程及约束分类任一质点任一质点 的位置可由其直角坐标的位置可由其直角坐标 确定确定(3n个独立参数个独立参数)，称这，称这3n3n个坐标的集合为该质点系个坐标的集合为该质点系个坐标的集合为该质点系个坐标的集合为该质点系的位形。的位形。的位形。的位形。可用可用可用可用k k个广义坐标个广义坐标个广义坐标个广义坐标 确定质点系的位形：确定质点系的位形：确定质点系的位形：确定质点系的位形：32.约束方程及分类约束方程及分类用用数学方程式表示的约束条件，称为约束方程。数学方程式表示的约束条件，称为约束方程。n个质点的非自由质点系，个质点的非自由质点系，若系统的自由度为若系统的自由度为k()，系统自由度系统自由度,其中其中l 为独立的完整约束方程数。为独立的完整约束方程数。则：则：定常约束（不显含时间定常约束（不显含时间t）非定常约束（显含时间非定常约束（显含时间t）几何约束几何约束运动约束运动约束双面约束双面约束单面约束单面约束完整约束完整约束非完整约束非完整约束约束约束分类分类4例例2.质点在曲面上运动。质点在曲面上运动。约束方程即曲面方程约束方程即曲面方程（2）例例1.质点在平面的槽内运动。质点在平面的槽内运动。自由度自由度自由度自由度例例3.质点质点A，B用绳子相连，且绳长用绳子相连，且绳长 l=l(t).xyBA xA广义坐标可选择广义坐标可选择位形位形(xA,yA,xB,yB)位形位形约束方程约束方程（1）约束方程约束方程yA=0（3）（4）自由度自由度 k=2xyz位形位形或柱坐标或柱坐标z58.2 8.2 实位移实位移 虚位移虚位移1.位移位移Mx3x1x2O质点系：质点系：n个质点，个质点，k个自由度个自由度可取可取 k 个广义坐标个广义坐标质点系的位形质点系的位形质点系的位形质点系的位形:(8.1)(8.2)单个质点单个质点M的位形：的位形：，单个质点单个质点单个质点单个质点MM的位移的位移的位移的位移：6(8.3)(8.4)质点质点质点质点系的系的系的系的位移位移位移位移其中其中称为广义位移称为广义位移称为广义位移称为广义位移（dt时间时间qj的增量）的增量）Mx3x1x2O(8.1)(8.2)质点系的位形质点系的位形质点系的位形质点系的位形:72.2.实位移实位移3.3.虚位移虚位移若若质点系的位移或广义位移满足以下质点系的位移或广义位移满足以下2个条件：个条件：（1）满足质点系的约束条件）满足质点系的约束条件（2）满足质点系的动力学方程及初始条件）满足质点系的动力学方程及初始条件则则称其为实位移或广义实位移。称其为实位移或广义实位移。实位移实位移实位移实位移是惟一确定的真实位移是惟一确定的真实位移是惟一确定的真实位移是惟一确定的真实位移。若若若若质点系的位移或广义位移质点系的位移或广义位移质点系的位移或广义位移质点系的位移或广义位移只满足质点系的约束条件只满足质点系的约束条件只满足质点系的约束条件只满足质点系的约束条件，就称为就称为就称为就称为虚位移虚位移虚位移虚位移或或或或广义虚位移广义虚位移广义虚位移广义虚位移。虚位移是系统约束允许的任意假想位移虚位移是系统约束允许的任意假想位移虚位移是系统约束允许的任意假想位移虚位移是系统约束允许的任意假想位移，与，与，与，与主动力无关，与时间无关，且不惟一。主动力无关，与时间无关，且不惟一。主动力无关，与时间无关，且不惟一。主动力无关，与时间无关，且不惟一。8虚位移虚位移又又称为称为的的变分变分(等时变分等时变分)。、(8.1)(8.2)根据质点根据质点系的位形系的位形虚位移虚位移表示为：表示为：(8.5)(8.6)实位移实位移表示为：表示为：9实位移与虚位移之间的关系：实位移与虚位移之间的关系：例如：当质点在某瞬时处于静止时，例如：当质点在某瞬时处于静止时，但但不一定为不一定为0在在定常几何约束情况下，实位移为多个虚位移中的一个。定常几何约束情况下，实位移为多个虚位移中的一个。例如：例如：但在非但在非定常和运动约定常和运动约束情况下则不然。束情况下则不然。本章为本章为静力学，仅限于讨论定常、几何约束情况。静力学，仅限于讨论定常、几何约束情况。10对对自由度为自由度为k的质点系（刚体或刚体系）的质点系（刚体或刚体系）直角坐标位形直角坐标位形各点各点虚位移虚位移虚位移虚位移 或或 不一定独立不一定独立不一定独立不一定独立注意注意注意注意广义坐标位形广义坐标位形广义虚位移广义虚位移广义虚位移广义虚位移 独立独立独立独立即即即即建立系统中各点的虚位移之间的关系建立系统中各点的虚位移之间的关系建立系统中各点的虚位移之间的关系建立系统中各点的虚位移之间的关系将将系统中各点的虚位移系统中各点的虚位移 或或 用独立的用独立的广义虚位移广义虚位移 表示出来。表示出来。本章第一个重点应掌握的内容：本章第一个重点应掌握的内容：11(1)单个刚体上各点的虚位移之间关系表示方法单个刚体上各点的虚位移之间关系表示方法与与刚体上各点的速度关系类似刚体上各点的速度关系类似任意点的虚任意点的虚位移均相等位移均相等平移平移刚体刚体c定定轴轴转转动动方向如图方向如图定轴转动刚体的虚转角定轴转动刚体的虚转角虚速度法虚速度法虚速度法虚速度法几何法几何法几何法几何法 4.系统中各点的虚位移之间关系表示方法系统中各点的虚位移之间关系表示方法12AB刚体一般平面运动刚体一般平面运动P M刚体该瞬时的虚转角刚体该瞬时的虚转角方向如图方向如图刚体该瞬时的速度瞬心为刚体该瞬时的速度瞬心为P虚位移投影关系虚位移投影关系AB两点间虚位移的关系两点间虚位移的关系方向如图方向如图13(2)刚体系统各点虚位移之间的关系刚体系统各点虚位移之间的关系找出刚体系统中各点虚位移关系的方法：找出刚体系统中各点虚位移关系的方法：几何法几何法几何法几何法和和解析法解析法解析法解析法。（ii）解析法解析法解析法解析法：将各点坐标均用广义坐标表示，：将各点坐标均用广义坐标表示，再求变分。再求变分。(8.5)(8.6)（i）几何法几何法几何法几何法(虚速度法虚速度法虚速度法虚速度法)类比于类比于2，3章中的速度分析方法（只需将章中的速度分析方法（只需将速度矢量改为虚位移矢量）。速度矢量改为虚位移矢量）。14例例 题题 18 虚位移原理虚位移原理 例题例题 ABCDEF刚体系统如图所示，刚体系统如图所示，AE=DB=2DF=2EF=2lC为为AE和和DB的中点，的中点，求求F 和和 B 两点虚位移两点虚位移的关系。的关系。15例例 题题 18 虚位移原理虚位移原理 例题例题 ABCDEFxy1.几何法几何法:E点为杆点为杆DB的速度瞬心。的速度瞬心。方向方向 大小大小？其中其中沿沿EF方向投影：方向投影：解：解：P PDBDB16例例 题题 18 虚位移原理虚位移原理 例题例题 ABCDEFxy可解出可解出 与与 的关系的关系17例例 题题 28 虚位移原理虚位移原理 例题例题 ABCyEHxR AB=BC=l0,E,H分别分别为杆为杆AB，BC 的中的中点，轮子点，轮子C半径半径R=l0/4,在地面上纯在地面上纯滚动，滚动，EH为一弹簧，为一弹簧，求：求：（1）B，H，C点虚位移之间的关点虚位移之间的关系。（系。（2）杆）杆AB，BC，和轮子的虚转和轮子的虚转角（用广义坐标表角（用广义坐标表示）。示）。20例例 题题 28 虚位移原理虚位移原理 例题例题解：解：1.几何法几何法系统自由度为系统自由度为1，选择，选择 为广为广义坐标，广义虚位移为义坐标，广义虚位移为杆杆BC的速度瞬心为的速度瞬心为P ABCyEHxR P(BC)218 虚位移原理虚位移原理杆杆AB，BC，轮子轮子C的虚转角分别为：的虚转角分别为：()()()例例 题题 2 例题例题 ABCyEHxR P(BC)22例例 题题 28 虚位移原理虚位移原理 例题例题 ABCyEHxR 2.解析法解析法选择选择 为广义坐标。为广义坐标。写出写出B，H，C各点位形：各点位形：23例例 题题 28 虚位移原理虚位移原理 例题例题 ABCyEHxR 求求变分：变分：24例例 题题 28 虚位移原理虚位移原理 例题例题 ABCyEHxR 由由(负号表示负号表示)（）P(BC)（负号表示（负号表示）25 ，建立系统，建立系统中中B,D点虚位移及各刚体点虚位移及各刚体虚转角之间的关系。虚转角之间的关系。BCDBCD可视可视可视可视为一个刚体为一个刚体为一个刚体为一个刚体,做一般平面运动。做一般平面运动。例例3 已知已知AC=CB=BD=DA=a,OB=CD=,受力如图受力如图,ABCDOqMF解：解：1.分析各部分运动状态分析各部分运动状态OB,AD杆定轴转动杆定轴转动,BCD的速度瞬心为的速度瞬心为P,P P设设OB杆的角位移为杆的角位移为则则BCD的角位移为的角位移为26
