工程力学9-2-课件.ppt
工程力学（A）北京理工大学理学院力学系 韩斌(9-2)(9-2)33+18/III8.4 8.4 虚位移原理虚位移原理1.虚位移原理虚位移原理虚位移原理是分析力学的基本原理。虚位移原理是分析力学的基本原理。虚位移原理可用于求解刚体系统的虚位移原理可用于求解刚体系统的静止平衡问题静止平衡问题静止平衡问题静止平衡问题。具有双面理想约束的质点系，在某一位置能继续具有双面理想约束的质点系，在某一位置能继续具有双面理想约束的质点系，在某一位置能继续具有双面理想约束的质点系，在某一位置能继续保持静止平衡的充要条件是：保持静止平衡的充要条件是：保持静止平衡的充要条件是：保持静止平衡的充要条件是：作用于质点系的主动力在该位置任何一组虚位作用于质点系的主动力在该位置任何一组虚位作用于质点系的主动力在该位置任何一组虚位作用于质点系的主动力在该位置任何一组虚位移上做的虚功之和等于零。即：移上做的虚功之和等于零。即：移上做的虚功之和等于零。即：移上做的虚功之和等于零。即：（8.328.32）虚功方程虚功方程虚功方程虚功方程2(1)(1)对于理想约束、且无弹簧连接的刚体系统对于理想约束、且无弹簧连接的刚体系统对于理想约束、且无弹簧连接的刚体系统对于理想约束、且无弹簧连接的刚体系统：(2)(2)对于有弹簧连接的刚体系统或变形体：对于有弹簧连接的刚体系统或变形体：对于有弹簧连接的刚体系统或变形体：对于有弹簧连接的刚体系统或变形体：(3)(3)对于非理想约束，可将其约束力视为主动力。对于非理想约束，可将其约束力视为主动力。对于非理想约束，可将其约束力视为主动力。对于非理想约束，可将其约束力视为主动力。(4)(4)若系统全部为有势力作功时，虚功方程为若系统全部为有势力作功时，虚功方程为若系统全部为有势力作功时，虚功方程为若系统全部为有势力作功时，虚功方程为:（8.33）对有势系统，平衡时应满足对有势系统，平衡时应满足对有势系统，平衡时应满足对有势系统，平衡时应满足系统的虚功的计算系统的虚功的计算32.虚位移原理的应用虚位移原理的应用（8.32）虚功方程虚功方程（1）对自由度为）对自由度为k的系统（机构）的系统（机构）有有k个独立的广个独立的广 义坐标、义坐标、k个独立的广义虚位移个独立的广义虚位移虚功方程虚功方程(8.34)由于由于k个广义虚位个广义虚位移相互独立，可移相互独立，可任意取值任意取值j=1,kk个个独立方程独立方程5已知平衡位置，求此时各主动力之间关系已知平衡位置，求此时各主动力之间关系已知各主动力，求平衡时的位置已知各主动力，求平衡时的位置(2)对自由度为零的系统对自由度为零的系统对自由度为零的系统对自由度为零的系统(静定结构静定结构静定结构静定结构)求求求求任意约束处的约束力任意约束处的约束力任意约束处的约束力任意约束处的约束力此时自由度为零，系统本无虚位移此时自由度为零，系统本无虚位移,故作法为：故作法为：解除一个约束，代之以解除一个约束，代之以相应的待求约束力相应的待求约束力(视其视其为未知大小的主动力为未知大小的主动力)系统变为系统变为k=1的机构，的机构，按按(1)求解未知约束力求解未知约束力若求多个约束力，可依次解除相应约束：若求多个约束力，可依次解除相应约束：每次解除一个约束求出一个约束力每次解除一个约束求出一个约束力利用虚功方程利用虚功方程 可解的问题：可解的问题：(1)对自由度对自由度对自由度对自由度 的系统的系统的系统的系统(机构机构机构机构)6例例 题题 68 8 虚位移原理虚位移原理 例题例题 杆杆OD、CE、CB、DB，弹簧弹簧AB，刚度为刚度为k，弹弹簧未变形时簧未变形时 ，OA=AE=AD=AC=CB=DB=l ,求当求当角为平衡位置时，角为平衡位置时，P的大小为多少的大小为多少(不计各杆自不计各杆自重重)？7解：解：1.分析分析拆除弹簧拆除弹簧AB，用用 、表示弹簧对刚体系统的作用表示弹簧对刚体系统的作用系统为理想约束系统，各铰处的约束力不作功系统为理想约束系统，各铰处的约束力不作功。例例 题题 68 8 虚位移原理虚位移原理 例题例题系统自由度为系统自由度为1，可，可选选为为广义坐标。广义坐标。2.列虚功方程列虚功方程系统中作功的力：系统中作功的力：弹簧伸长量弹簧伸长量故故弹簧力的大小为弹簧力的大小为方法一方法一llllll主动力主动力 ，弹簧力，弹簧力，8例例 题题 68 8 虚位移原理虚位移原理 例题例题建立坐标系建立坐标系Oxy,各力各力的虚功表示为：的虚功表示为：xy利用解析法建立虚位移的关系：利用解析法建立虚位移的关系：求变分求变分llllll9例例 题题 68 8 虚位移原理虚位移原理 例题例题xyllllll系统的虚功方程为系统的虚功方程为即即由于由于10例例 题题 68 8 虚位移原理虚位移原理 例题例题方法二方法二不拆除弹簧不拆除弹簧(弹簧包括在系统内弹簧包括在系统内,故有内力作功故有内力作功)虚功方程为虚功方程为由由同理可得：同理可得：xy由于由于11例例 题题 78 8 虚位移原理虚位移原理 例题例题OABCDkO1M图示平面机构，已知主动力偶矩图示平面机构，已知主动力偶矩M和铅垂主动力和铅垂主动力 ，杆杆OA长为长为 l，杆，杆O1B和和BD长为长为2l，C为为BD的中点，的中点，点点O1，D之间连接一刚度系数为之间连接一刚度系数为 k 的弹簧，且的弹簧，且O1D为为水平线，水平线，OO1为铅垂线，若各构件质量及各接触处的为铅垂线，若各构件质量及各接触处的摩擦不计，试用虚位移原理求系统于图示位置平衡时摩擦不计，试用虚位移原理求系统于图示位置平衡时弹簧的变形量。弹簧的变形量。12例例 题题 78 8 虚位移原理虚位移原理 例题例题OABCDkO1M解：解：转角为转角为 ，设杆设杆O1B的虚的虚杆杆OA的虚转角为的虚转角为 ，建立两者之间的关系：建立两者之间的关系：取取动点为动点为A，动系固连于杆动系固连于杆O1B：系统为系统为1个自由度，广义坐标为个自由度，广义坐标为 ，138 8 虚位移原理虚位移原理 例题例题OABCDkO1Mxy系统中作功的力有主动力偶矩系统中作功的力有主动力偶矩M，主动力主动力P，弹性力：弹性力：例例 题题 7虚功方程：虚功方程：148 8 虚位移原理虚位移原理 例题例题OABCDkO1Mxy当当 时时例例 题题 715例例 题题 88 8 虚位移原理虚位移原理 例题例题图示平面机构，直角折杆图示平面机构，直角折杆OAB的的OA段长为段长为 l，AB段段长为长为 ，AB段上有一套筒段上有一套筒C与可沿铅垂滑道滑动的杆与可沿铅垂滑道滑动的杆CD相铰接，点相铰接，点A与套筒与套筒C之间连之间连接一刚度系数为接一刚度系数为k 的弹簧，的弹簧，点点B作用一铅垂向上的主动作用一铅垂向上的主动力力 ，若各构件质量及各接，若各构件质量及各接触处摩擦不计，试用虚位移触处摩擦不计，试用虚位移原理求系统在图示位置处于原理求系统在图示位置处于静止状态时弹簧的变形量。静止状态时弹簧的变形量。OABCDk16 取取角角COA=为为广义坐标，建立直角坐标系广义坐标，建立直角坐标系OxyOxy。8 8 虚位移原理虚位移原理 例题例题OABCDk解：解：系统为系统为1个自由度，个自由度，系统中作功的力：主动力系统中作功的力：主动力 ，弹性力，弹性力虚功方程：虚功方程：找出虚位移之间的关系：找出虚位移之间的关系：xy弹簧长度弹簧长度弹簧变形量弹簧变形量求变分：求变分：l例例 题题 8已知已知178 8 虚位移原理虚位移原理 例题例题虚功方程：虚功方程：OABCDkxy代入虚功方程：代入虚功方程：当当 时时例例 题题 818例例 题题 98 8 虚位移原理虚位移原理 例题例题杆杆AB、CD由光滑铰链由光滑铰链C相连，在相连，在AB杆的杆的B端作端作用一铅垂力用一铅垂力 ，在，在CD杆杆上作用一力偶，其力偶矩上作用一力偶，其力偶矩为为M，不计杆重，求杆不计杆重，求杆AB在在A端的端的约束力。约束力。19例例 题题 98 8 虚位移原理虚位移原理 例题例题解：系统的自由度为解：系统的自由度为0可分可分3次拆除次拆除A端的端的3个约束，分别将相个约束，分别将相应约束力看作主动应约束力看作主动力求解。力求解。A端为固支端，端为固支端，有有3个约束力。个约束力。20例例 题题 98 8 虚位移原理虚位移原理 例题例题(1)求求去掉去掉A端的转动约束，用端的转动约束，用约束力偶矩约束力偶矩MA代替。代替。系统的自由度变为系统的自由度变为1主动力：主动力：设设AB的虚转角的虚转角,CD虚转角为虚转角为则则将将A端变成固定铰支座，端变成固定铰支座，虚位移之虚位移之间的关系间的关系AB定轴转动，定轴转动，CD一般平面一般平面运动，运动，CD的速度瞬心为的速度瞬心为PCD，PCDCD21例例 题题 98 8 虚位移原理虚位移原理 例题例题列列虚功方程：虚功方程：代入代入()22例例 题题 98 8 虚位移原理虚位移原理 例题例题(2)求求去掉去掉A端的水平约束，端的水平约束，用约束力用约束力FAx 代替。代替。系统的自由度为系统的自由度为1主动力主动力此时此时AB、CD只能作水平平移！只能作水平平移！虚位移虚位移间关系间关系23例例 题题 98 8 虚位移原理虚位移原理 例题例题(3)求求去掉去掉A端的铅垂约束端的铅垂约束系统自由度为系统自由度为1主动力：主动力：AB铅垂平移，铅垂平移，CD瞬心为瞬心为PCDCD设设CD的虚转角为的虚转角为则有则有列虚列虚功方程：功方程：PCDCD24例例 题题 98 8 虚位移原理虚位移原理 例题例题即即（）PCDCD25虚位移原理求解静力学平衡问题解题指导虚位移原理求解静力学平衡问题解题指导虚位移原理求解静力学平衡问题解题指导虚位移原理求解静力学平衡问题解题指导（1）对系统，正确写出虚功方程：）对系统，正确写出虚功方程：(8.32)是全部作功的力的虚功之和是全部作功的力的虚功之和 正确正确找出全找出全找出全找出全部作功之力，正部作功之力，正部作功之力，正部作功之力，正确写出虚功。确写出虚功。确写出虚功。确写出虚功。（2）虚功方程）虚功方程 中中的的各个虚位移，必须用独立的虚位移表示出来。各个虚位移，必须用独立的虚位移表示出来。各个虚位移，必须用独立的虚位移表示出来。各个虚位移，必须用独立的虚位移表示出来。（3）整理虚功方程）整理虚功方程(按独立的虚位移合并同类项按独立的虚位移合并同类项)，令虚功方程中各独立虚位移前面的系数为零令虚功方程中各独立虚位移前面的系数为零令虚功方程中各独立虚位移前面的系数为零令虚功方程中各独立虚位移前面的系数为零,从而得从而得从而得从而得到求解方程。到求解方程。到求解方程。到求解方程。269.5 9.5 质点系平衡的广义力质点系平衡的广义力1.广义力和以广义力表示的系统平衡条件广义力和以广义力表示的系统平衡条件虚功方程虚功方程各各 之间要满足约之间要满足约束条件，故不是独束条件，故不是独立的，可用广义虚立的，可用广义虚位移位移 表示为表示为称为广义坐标称为广义坐标 对应的广义力对应的广义力令令(8.35)27因此，虚功方程可写为因此，虚功方程可写为2.广义力的计算广义力的计算由于各个由于各个 独立独立系统的平衡条件：系统的平衡条件：(8.36)分别计算分别计算k个广义力，个广义力，计算计算 时，选取一组特殊的时，选取一组特殊的广义虚位移，令广义虚位移，令但但而而这组这组虚位移下系统的虚功为：虚位移下系统的虚功为：则则j=1k (8.37)283.有势力场质点系的平衡问题有势力场质点系的平衡问题设设系统的主动力全部为有势力，则系统存在势能系统的主动力全部为有势力，则系统存在势能V选取选取k个广义坐标个广义坐标qj,则势能则势能V可表示为可表示为:与与 相应的广义力可计算为：相应的广义力可计算为：由于由于29故平衡条件为：故平衡条件为：或或4.有势力场中质点系平衡的稳定性有势力场中质点系平衡的稳定性例如：考虑自重的杆平衡问题。例如：考虑自重的杆平衡问题。即即对于保守系统，质点系的平衡位形一定出现在势对于保守系统，质点系的平衡位形一定出现在势能取驻值（能取驻值（或或 ）的位形处。）的位形处。在在平衡位置处势能取驻值包括以下几种情况：平衡位置处势能取驻值包括以下几种情况：(1)取极小值取极小值(2)取极大值取极大值(3)拐点拐点(4)不变化不变化30稳定平衡稳定平衡不稳定不稳定平衡平衡随遇平衡随遇平衡在稳定的平衡位形处，质点系的总势能为在稳定的平衡位形处，质点系的总势能为最小，称为最小势能原理。最小，称为最小势能原理。即当即当 时，时，质点系处于稳定质点系处于稳定平衡位置。平衡位置。34例例 题题 138 8 虚位移原理虚位移原理 例题例题OrOrrOrO放在固定半圆柱体上的均质半圆柱和均质半圆放在固定半圆柱体上的均质半圆柱和均质半圆柱薄壳（半径均为柱薄壳（半径均为r)，分析其平衡的稳定性。分析其平衡的稳定性。(设设物体接触面间有足够的静摩擦力）物体接触面间有足够的静摩擦力）49rOrrOr解：设上面物体重解：设上面物体重心为心为C，m为其质为其质量，量，仅仅有有重力作功，重力作功，有势系统，存在有势系统，存在势能势能V：CC求导求导rC OOO时时例例 题题 138 8 虚位移原理虚位移原理 例题例题(地面为零点地面为零点地面为零点地面为零点)为平衡位置为平衡位置50OrOrrrCCrC OOO例例 题题 138 8 虚位移原理虚位移原理 例题例题对半圆柱：对半圆柱：半圆柱为不稳定平衡！半圆柱为不稳定平衡！对半圆柱对半圆柱薄壳：薄壳：半圆柱薄壳为稳定平衡！半圆柱薄壳为稳定平衡！51
