262菱形的判定(教育精品).ppt

本节内容2.6菱菱 形形2.6.2 菱形的判定菱形的判定 如图如图2-52，用，用4 支长度相等的铅笔能摆成菱形支长度相等的铅笔能摆成菱形吗？把上述问题抽象出来就是：四条边都相等的吗？把上述问题抽象出来就是：四条边都相等的四边形是菱形吗？四边形是菱形吗？动脑筋动脑筋图图2-52 下面我们来证明这个结论下面我们来证明这个结论.AD=BC，AB=DC，如图如图2-53，在四边形，在四边形ABCD中，中，AB=BC=CD=DA.四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形.四边形四边形ABCD是菱形是菱形.图图2-53又又 AB=AD，结论结论四条边都相等的四边形四条边都相等的四边形是菱形是菱形.由此得到菱形的判定定理由此得到菱形的判定定理1 1：举举例例已知：如图已知：如图2-54，在四边形在四边形ABCD 中，线段中，线段BD垂直平分垂直平分AC，且相交于点，且相交于点O，1=2.求证：四边形求证：四边形ABCD是菱形是菱形.例例2图图2-54证明证明 由于由于线段线段BD垂直平分垂直平分AC，因此因此BA=BC，DA=DC，OA=OC.在在AOB和和COD中，中，有有1=2，AOB=COD，OA=OC.所以所以OAB OCD.从而从而AB=CD.因此四边形因此四边形ABCD是菱形是菱形.(四条边都相等四条边都相等的四边形是菱形的四边形是菱形)所以所以BA=BC=DA=DC.图图2-54 菱形的两条对角线既互相垂直，又互相平分菱形的两条对角线既互相垂直，又互相平分.从菱形的这一性质受到启发，你能画出一个菱形从菱形的这一性质受到启发，你能画出一个菱形吗？吗？过点过点O画两条互相垂直的线段画两条互相垂直的线段AC和和BD，使得使得OA=OC，OB=OD.连结连结AB，BC，CD，DA，则四边形则四边形ABCD是菱形是菱形，如如图图2-55.图图2-55动脑筋动脑筋 如图如图2-55，由画法可知，四边形，由画法可知，四边形ABCD 的两条对角线的两条对角线AC 与与BD 互相平分，因此它是平行四边形互相平分，因此它是平行四边形.又已知其对角线又已知其对角线互相垂直，上述问题抽象出来就是：互相垂直，上述问题抽象出来就是：对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？你能说出这样画出的四边形你能说出这样画出的四边形ABCD一定是菱形的道理吗？一定是菱形的道理吗？图图2-55我们来进行证明我们来进行证明.又由于又由于DB是线段是线段AC的垂直平分线，的垂直平分线，由于四边形由于四边形ABCD的两条对角线的两条对角线AC与与BD互相平分，因此它是平行四边形互相平分，因此它是平行四边形.因此，因此，DA=DC.从而平行四边形从而平行四边形ABCD是菱形是菱形.图图2-55结论结论对角线互相垂直的平行四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形.由此得到菱形的判定定理由此得到菱形的判定定理2 2：举举例例如图如图2-56，在，在平行四边形平行四边形ABCD中，中，AC=6，BD=8，AD=5.求求AB的长的长.例例3图图2-56 AB=AD=5.解解 四边形四边形ABCD为平行四边形，为平行四边形，DAO是直角三角形是直角三角形.DOA=90，即，即DBAC.平行四边形平行四边形ABCD是菱形是菱形.（对角线互相垂直（对角线互相垂直 的平行四边形是菱形）的平行四边形是菱形）又又 AD=5，满足，满足 ，图图2-56 1.画一个菱形，使它的两条对角线长度分画一个菱形，使它的两条对角线长度分 别为别为4cm，3cm.练习练习提示：作一条线段长为提示：作一条线段长为4cm，再作该线段，再作该线段的垂直平分线，以垂足为一点在垂线上各的垂直平分线，以垂足为一点在垂线上各取取1.5cm的线段，依次连结两条线段的相的线段，依次连结两条线段的相邻顶点，所成四边形则为所求的菱形邻顶点，所成四边形则为所求的菱形.4cm1.5cm1.5cm练习练习如图，在如图，在平行四边形平行四边形ABCD中，对角线中，对角线AC，BD相交于相交于点点O，过点，过点O 作作MNBD，分别交，分别交AD，BC于点于点M，N.求证：四边形求证：四边形BNDM是菱形是菱形.2.证明证明 由于由于平行四边形平行四边形ABCD，所以所以 MDBN，ADB=CBD，DMN=BNM，OB=OD.所以所以 ODM OBN.所以所以NB=MD.又又 MDBN，MNBD，所以四边形所以四边形BNDM是菱形是菱形.中考中考 试题试题例例1 如图，如果要使如图，如果要使ABCD成为一个菱形，成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是需要添加一个条件，那么你添加的条件是 .AB=AD或或ACBD等等解析解析考查菱形的判定定理考查菱形的判定定理.中考中考 试题试题例例2 如图，已知等腰如图，已知等腰ABC中，中，AB=AC，AD平分平分BAC交交BC于于D点，在线段点，在线段AD上任取一点上任取一点P(A点除外点除外)，过，过P点作点作EFAB，分别交，分别交AC、BC于于E、F点，点，作作PMAC，交，交AB于于M点，连结点，连结ME.（1）求证：四边形）求证：四边形AEPM为菱形为菱形.（2）当）当P点在何处时，菱形点在何处时，菱形AEPM的面积为的面积为 四边形四边形EFBM面积的一半？面积的一半？（1）EFAB，PMAC，四边形四边形AEPM为平行四边形为平行四边形.AB=AC，AD平分平分CAB，CAD=BAD，ADBC.又又 BAD=EPA，CAD=EPA，EA=EP.四边形四边形AEPM为菱形为菱形.解析解析 则则 N（2）P为为EF中点时，中点时，四边形四边形AEPM为菱形，为菱形，ADEM，ADBC，EMBC.又又EFAB，四边形四边形EFBM为平行四边形为平行四边形.作作EN AB于于N，中考中考 试题试题例例3 如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，E为为AB上一点，上一点，ADE和和BCE都是等边三角形，都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形，试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论为怎样的四边形，并证明你的结论.四边形四边形PQMN为菱形为菱形.连结连结AC，BD.PQ为为ABC的中位线，的中位线，同理同理 四边形四边形PQMN为平行四边形为平行四边形.在在AEC和和DEB中，中，AE=DE，EC=EB，AEC=DEB=180-60=120，AEC DEB.AC=DB.PQ=PN.PQMN为菱形为菱形.证明证明结结 束束