概率论与数理统计-第四章.ppt

河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计第四章第四章第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征 数学期望及其性质数学期望及其性质 方差及其性质方差及其性质 协方差与相关系数协方差与相关系数 契比雪夫不等式契比雪夫不等式 常见的重要分布的数字特征常见的重要分布的数字特征 河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计 分布函数能完全描述随机分布函数能完全描述随机变量的量的统计特性，但求特性，但求 分布函数常常是困难的，且在很多实际问题中，只需分布函数常常是困难的，且在很多实际问题中，只需 知道随机变量的某些特征，而不必求分布函数。知道随机变量的某些特征，而不必求分布函数。由于由于这些随机些随机变量的特征通常是与随机量的特征通常是与随机变量有关量有关 的数值，故称它们为随机变量的数字特征。的数值，故称它们为随机变量的数字特征。本章介本章介绍常用数字特征：数学期望，方差，常用数字特征：数学期望，方差，协方方 差，相关系数和矩。数学期望是最重要的一种，其余差，相关系数和矩。数学期望是最重要的一种，其余 都可以由它来定义。都可以由它来定义。引言河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计11、数学期望、数学期望 【引例】【引例】【引例】【引例】枪枪手手手手进进行射行射行射行射击击，规规定定定定击击中区域中区域中区域中区域I I I I内得内得内得内得2 2 2 2分，分，分，分，击中区域击中区域击中区域击中区域IIIIIIII内得内得内得内得1 1 1 1分，脱靶（击中区域分，脱靶（击中区域分，脱靶（击中区域分，脱靶（击中区域IIIIIIIIIIII）得）得）得）得0 0 0 0分。分。分。分。II IIII 枪手每次射击的得分枪手每次射击的得分X是一是一个随机变量，其分布律为个随机变量，其分布律为 现射击现射击N次次,其中得其中得0分的有分的有 次次,得得1分的有分的有 次次,得得2分的有分的有 次次,于是于是,射击射击N次的总次的总分为分为河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计从而从而,每次射击的平均分为每次射击的平均分为 在第五章在第五章大数定律大数定律中可证明中可证明:当当N无限增大时无限增大时,频率频率 接近于概率接近于概率 ,故当故当N很大时很大时,这表明这表明:随着试验次数增大随着试验次数增大,随机变量随机变量X的观察值的的观察值的算术平均算术平均 接近于接近于称后者为随机变量称后者为随机变量X的数学期望的数学期望(均值均值).河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计 定义定义定义定义1 1 1 1随机随机变量量X X的的数学期望数学期望数学期望数学期望记为E(X),E(X),定定义为其中无其中无其中无其中无穷级穷级数或广数或广数或广数或广义积义积分均分均分均分均绝对绝对收收收收敛敛，分分分分 别为别为离散型随机离散型随机离散型随机离散型随机变变量量量量X X X X的分布律或的分布律或的分布律或的分布律或连续连续型随机型随机型随机型随机变变量量量量XXXX的概率密度。的概率密度。的概率密度。的概率密度。(1)一、概念一、概念一、概念一、概念一、概念一、概念河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计试评定甲乙成绩的优劣。试评定甲乙成绩的优劣。试评定甲乙成绩的优劣。试评定甲乙成绩的优劣。试评定甲乙成绩的优劣。试评定甲乙成绩的优劣。解这是解这是解这是解这是离散型离散型离散型离散型随机变量。由数学期望定义得：随机变量。由数学期望定义得：随机变量。由数学期望定义得：随机变量。由数学期望定义得：由由由由 知：甲的成绩远胜过乙的成绩。知：甲的成绩远胜过乙的成绩。知：甲的成绩远胜过乙的成绩。知：甲的成绩远胜过乙的成绩。【例【例【例【例【例【例1 1 1 1 1 1】甲乙两人进行射击所得分数分别为甲乙两人进行射击所得分数分别为甲乙两人进行射击所得分数分别为甲乙两人进行射击所得分数分别为甲乙两人进行射击所得分数分别为甲乙两人进行射击所得分数分别为X X X X X X1 1 1 11 1，X X X X X X2 2 2 22 2，其，其，其，其，其，其 分布律分别为分布律分别为分布律分别为分布律分别为分布律分别为分布律分别为河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计求求求求求求E(X)E(X)E(X)E(X)E(X)E(X)。解这是解这是连续型连续型随机变量。由数学期望定义得：随机变量。由数学期望定义得：分段函分段函数的积数的积分分 【例【例【例【例【例【例2 2 2 2 2 2】(设在某一规定时间间隔里，某电气设备用设在某一规定时间间隔里，某电气设备用设在某一规定时间间隔里，某电气设备用设在某一规定时间间隔里，某电气设备用设在某一规定时间间隔里，某电气设备用设在某一规定时间间隔里，某电气设备用 于最大负荷的时间于最大负荷的时间于最大负荷的时间于最大负荷的时间于最大负荷的时间于最大负荷的时间X(X(X(X(X(X(分钟分钟分钟分钟分钟分钟)是一个随机变量是一个随机变量是一个随机变量是一个随机变量是一个随机变量是一个随机变量,其概率密度其概率密度其概率密度其概率密度其概率密度其概率密度 为为为为为为河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计 定理定理1 1 设Y=g(X)Y=g(X)是随机是随机变量量X X的的连续函数，函数，则YY也是随机也是随机变量，且其数学期望量，且其数学期望为(2)利用随机利用随机变量函数的分布可以量函数的分布可以证明下列两定理明下列两定理:二、随机变量函数的数学期望二、随机变量函数的数学期望二、随机变量函数的数学期望其中无其中无穷级数或广数或广义积分均分均绝对绝对收收收收敛敛，分分 别为离散型随机离散型随机变量量X X X X的分布律或的分布律或连续型随机型随机变量量XXXX的概率密度。的概率密度。河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计其中无其中无穷级数或广数或广义积分均分均绝对收收敛,分分 别为离散型随机离散型随机变量量(X,Y)(X,Y)的分布律和的分布律和连续型随机型随机 变量量(X,Y)(X,Y)的概率密度。的概率密度。定理定理定理定理2 2 2 2 Z=g(X,Y)Z=g(X,Y)是随机是随机变量量(X,Y)(X,Y)的的连续函数，函数，则Z Z也是随机也是随机变量，且其数学期望量，且其数学期望为(3)河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计其中其中其中其中k,mk,mk,mk,m为自然数。为自然数。为自然数。为自然数。可可可可见见,方差方差方差方差是二阶中心矩是二阶中心矩是二阶中心矩是二阶中心矩,协方差协方差协方差协方差是二阶混合中心是二阶混合中心是二阶混合中心是二阶混合中心 矩，它们都是随机变量函数的数学期望。矩，它们都是随机变量函数的数学期望。矩，它们都是随机变量函数的数学期望。矩，它们都是随机变量函数的数学期望。XXXX与与与与Y Y Y Y的的的的协方差协方差协方差协方差（4 4）河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计【例【例3 3】P.115:eg6P.115:eg6 解设解设X为随机取一球的标号为随机取一球的标号,则等可则等可 能地取值能地取值1,2,3,4,5,6;又又Y=g(X),且且 g(1)=g(2)=g(3)=1;g(4)=g(5)=2,g(6)=5.故随机摸一球得分的期望为故随机摸一球得分的期望为河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计 【例【例【例【例【例【例4 4 4 4 4 4】一工厂生产的某种设备的寿命一工厂生产的某种设备的寿命一工厂生产的某种设备的寿命一工厂生产的某种设备的寿命一工厂生产的某种设备的寿命一工厂生产的某种设备的寿命X(X(X(X(X(X(以年计以年计以年计以年计以年计以年计)服从服从服从服从服从服从 指数分布指数分布指数分布指数分布指数分布指数分布,其概率密度为其概率密度为其概率密度为其概率密度为其概率密度为其概率密度为 解这是求解这是求解这是求解这是求连续型连续型连续型连续型随机变量函数的数学期望。随机变量函数的数学期望。随机变量函数的数学期望。随机变量函数的数学期望。工厂规定出售的设备在售出一年内损坏予以调换工厂规定出售的设备在售出一年内损坏予以调换工厂规定出售的设备在售出一年内损坏予以调换工厂规定出售的设备在售出一年内损坏予以调换工厂规定出售的设备在售出一年内损坏予以调换工厂规定出售的设备在售出一年内损坏予以调换.若工若工若工若工若工若工 厂售出一台设备赢利厂售出一台设备赢利厂售出一台设备赢利厂售出一台设备赢利厂售出一台设备赢利厂售出一台设备赢利100100100100100100元元元元元元,调换一台设备厂方需花费调换一台设备厂方需花费调换一台设备厂方需花费调换一台设备厂方需花费调换一台设备厂方需花费调换一台设备厂方需花费 300300300300300300元元元元元元.试试试求厂方出售一台求厂方出售一台求厂方出售一台求厂方出售一台求厂方出售一台求厂方出售一台设备净赢设备净赢设备净赢利的数学期望利的数学期望利的数学期望利的数学期望利的数学期望利的数学期望.设售出一台设备的净赢利为设售出一台设备的净赢利为设售出一台设备的净赢利为设售出一台设备的净赢利为河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计故售出一台设备的净赢利的数学期望为故售出一台设备的净赢利的数学期望为故售出一台设备的净赢利的数学期望为故售出一台设备的净赢利的数学期望为河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计D 解这是二维解这是二维连续型连续型随机变量函数的数学期望。随机变量函数的数学期望。联合概率密度函数非零区域为联合概率密度函数非零区域为故由定理故由定理2得得:【例【例【例【例5 5 5 5】P.116:eg9P.116:eg9P.116:eg9P.116:eg9河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计例5-续 在在计算二算二维连续型随机型随机变量的数字数字特征量的数字数字特征时,需需 要要计算广算广义二重二重积分，当概率密度在有界区域分，当概率密度在有界区域D D上非上非 零零时，实际上是上是计算普通二重算普通二重积分分.河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计三三三三三三.数学期望的性质数学期望的性质数学期望的性质数学期望的性质数学期望的性质数学期望的性质数学期望具有如下性数学期望具有如下性质:设X,YX,Y为随机随机变量量,c为常常数数,则 E(c)=c;E(cX)=cE(X);E(X+Y)=E(X)+E(Y);当当X,Y相互独立时相互独立时,E(XY)=E(X)E(Y);【证】由随机变量及其函数的数学期望知【证】由随机变量及其函数的数学期望知:此时此时,为退化分布为退化分布:PX=C=1,故由定义得故由定义得:E(c)=E(X)=cPX=c=c.由定义得由定义得:河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计现就连续型证下面两条：现就连续型证下面两条：设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的概率密度、边缘概率密的概率密度、边缘概率密度分别为度分别为 由随机变量函数的期望得由随机变量函数的期望得:由由X,Y相互独立得相互独立得:河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计利用期望的性利用期望的性质可以可以简化某些期望的化某些期望的计算以及推算以及推 出其它数字特征的一些性出其它数字特征的一些性质.河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计解解方法方法1(表格法表格法)由由X的分布列得的分布列得:X-202P0.40.30.3X204Pk0.30.73X2+5517Pk0.30.7【例【例【例【例6 6 6 6】已知随机变量已知随机变量已知随机变量已知随机变量X X的分布列为的分布列为的分布列为的分布列为求求求求X,XX,X2 2,3X,3X2 2+5+5的数学期望的数学期望的数学期望的数学期望.E(X)=(-2)0.4+00.3+20.3=-0.2;于是于是,河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计E(X2)=00.3+40.7=2.8;E(3X2+5)=50.3+170.7=13.4.方法方法方法方法2 2(定义定义定义定义+性质法性质法性质法性质法)因为因为E(X)=(-2)0.4+00.3+20.3=-0.2;E(X2)=(-2)20.4+020.3+220.3=2.8;所以所以,E(3X2+5)=3E(X2)+5=32.8+5=13.4.例例6-6-续续 河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计E(X2)=00.3+40.7=2.8;E(3X2+5)=50.3+170.7=13.4.方法方法方法方法2 2(定义定义定义定义+性质法性质法性质法性质法)因为因为E(X)=(-2)0.4+00.3+20.3=-0.2;E(X2)=(-2)20.4+020.3+220.3=2.8;所以所以,E(3X2+5)=3E(X2)+5=32.8+5=13.4.例例6-6-续续 河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计一、概念一、概念一、概念一、概念一、概念一、概念 定义定义定义定义2 2 2 2随机随机随机随机变变量量量量X X X X的的的的方差方差方差方差记为记为D(X),D(X),D(X),D(X),或或或或Var(X),Var(X),Var(X),Var(X),定定定定 义为义为其中数学期望存在其中数学期望存在其中数学期望存在其中数学期望存在.(4(4)在在在在应应用上用上用上用上还还用到与用到与用到与用到与X X X X具有相同量具有相同量具有相同量具有相同量纲纲的量的量的量的量 称之称之称之称之为为随机随机随机随机变变量量量量X X X X的的的的均方差均方差均方差均方差(标标准差准差准差准差).).).).方差方差方差方差D(X)D(X)D(X)D(X)是反映是反映是反映是反映X X X X取取取取值值分散程度的量分散程度的量分散程度的量分散程度的量,当当当当X X X X取取取取值值比比比比 较较集中集中集中集中时时,方差方差方差方差较较小小小小;当当当当X X X X取取取取值值比比比比较较分散分散分散分散时时,方差方差方差方差较较大大大大.河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计 由数学期望性质与方差定义可得由数学期望性质与方差定义可得由数学期望性质与方差定义可得由数学期望性质与方差定义可得:(6)这也是这也是这也是这也是计算方差的常用公式计算方差的常用公式计算方差的常用公式计算方差的常用公式.显然然,方差方差D(X)D(X)就是就是随机随机变量量X X的函数的函数的数学期望的数学期望.因此因此,当当X X的分布律的分布律或概率密度或概率密度 已知已知时,有有(5)河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计【例【例8 8】P.122:eg3P.122:eg3解解 【例【例【例【例8 8 8 8】设设设设X X服从参数为服从参数为服从参数为服从参数为p p的几何分布的几何分布的几何分布的几何分布,其分布律为其分布律为其分布律为其分布律为又又求其期望与方差求其期望与方差求其期望与方差求其期望与方差.河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计故故河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计【例【例9 9】【例【例【例【例9 9 9 9】设随机变量设随机变量设随机变量设随机变量X X的概率密度为的概率密度为的概率密度为的概率密度为 解期望为解期望为解期望为解期望为求其期望与方差求其期望与方差求其期望与方差求其期望与方差.河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计二二二二二二.性质性质性质性质性质性质方差具有如下性方差具有如下性质:设X,YX,Y为随机随机变量量,c为常数常数,则 D(c)=0;D(cX)=c2D(X);D(X+c)=D(X);当当X,YX,Y相互独立时相互独立时,D(XY)=D(X)+D(Y);【证】只证只证4。D(aX+b)=a2D(X)D(X)=0的充要条件的充要条件PX=C=1,其中其中C=E(X).河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计 由于由于X,Y相互独立相互独立,故可以证明故可以证明X-E(X),Y-E(Y)也也 相互独立。于是，由数学期望的性质得：相互独立。于是，由数学期望的性质得：从而，有从而，有P.87:定理定理河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计 【例【例【例【例【例【例101010101010】设设设设设设X X X X X X1 1 1 11 1,X,X,X,X,X,X2 2 2 22 2,X,X,X,X,X,Xn n n nn n相互独立相互独立相互独立相互独立相互独立相互独立,且服从同一个且服从同一个且服从同一个且服从同一个且服从同一个且服从同一个 (0-1)(0-1)(0-1)(0-1)(0-1)(0-1)分布分布分布分布分布分布,其分布律其分布律其分布律其分布律其分布律其分布律为为为解解X的所有可能取的值为的所有可能取的值为0,1,2,n.证明证明证明证明证明证明 并求并求并求并求并求并求E(X),D(X).E(X),D(X).E(X),D(X).E(X),D(X).E(X),D(X).E(X),D(X).事件事件 X=k是是 个互斥基本事件的和事件个互斥基本事件的和事件,且其中且其中每个基本事件为每个基本事件为“从从n个格子中取出个格子中取出k个放入个放入1,其余放其余放入入0”.由独立性易知由独立性易知:每个基本事件的概率为每个基本事件的概率为故故从而从而,河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计 因为因为因为因为 0-1 0-1分布分布分布分布,所以所以所以所以 由由由由期望与方差性质期望与方差性质期望与方差性质期望与方差性质得得得得:河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计 契比雪夫不等式契比雪夫不等式契比雪夫不等式契比雪夫不等式给给出了在未知出了在未知出了在未知出了在未知X X X X分布的情况下分布的情况下分布的情况下分布的情况下,估计事件估计事件估计事件估计事件|X-|X-|X-|X-|概率的方法概率的方法概率的方法概率的方法.在上式中分别取在上式中分别取在上式中分别取在上式中分别取 =3,4=3,4=3,4=3,4得得得得 由对立事件概率公式可得契比雪夫不等式的另一由对立事件概率公式可得契比雪夫不等式的另一 形式形式:河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计3.3.常见重要分布的期望与方差常见重要分布的期望与方差一、二项分布一、二项分布一、二项分布一、二项分布一、二项分布一、二项分布 设X X服从参数服从参数为n,pn,p的二的二项分布分布B(n,p),B(n,p),则其分布律其分布律为在在22例例1010中已经求得中已经求得 设设X X X X服从参数服从参数服从参数服从参数为为的二的二的二的二项项分布分布分布分布P(),P(),P(),P(),则则其分布律其分布律其分布律其分布律为为二、泊松分布二、泊松分布二、泊松分布二、泊松分布二、泊松分布二、泊松分布河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计 由由由由幂级幂级数展开式数展开式数展开式数展开式 与期望、方差与期望、方差与期望、方差与期望、方差 定义得定义得定义得定义得故故故故河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计 设X X服服从从参参数数为,2 2的的正正态态分分布布N(,N(,2 2),),则其概率密度其概率密度为其中其中 数学期望数学期望为：奇函数在对称区间奇函数在对称区间上的积分为零上的积分为零换元换元标准正标准正态概率态概率密度性密度性质质三、正态分布三、正态分布三、正态分布三、正态分布三、正态分布三、正态分布河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计 设设X X X X在区在区在区在区间间(a,b)(a,b)(a,b)(a,b)上服从均匀分布上服从均匀分布上服从均匀分布上服从均匀分布,其概率密度其概率密度其概率密度其概率密度为为则则X X的数学期望为的数学期望为:故故故故X X X X的方差为的方差为的方差为的方差为:四、均匀分布四、均匀分布四、均匀分布四、均匀分布四、均匀分布四、均匀分布河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计五、指数分布五、指数分布五、指数分布五、指数分布五、指数分布五、指数分布计算过程自学。计算过程自学。计算过程自学。计算过程自学。河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计44、协方差与相关系数、协方差与相关系数一、概念一、概念一、概念一、概念一、概念一、概念 定义定义定义定义定义定义3 3 3 3 3 3随机随机随机随机随机随机变变变量量量量量量X X X X X X与与与与与与Y Y Y Y Y Y的的的的的的协协协方差方差方差方差方差方差记为记为记为Cov(X,Y),Cov(X,Y),Cov(X,Y),Cov(X,Y),Cov(X,Y),Cov(X,Y),定定定定定定 义为义为义为其中数学期望存在其中数学期望存在其中数学期望存在其中数学期望存在,而而而而 称称称称称称为为为随机随机随机随机随机随机变变变量量量量量量X X X X X X与与与与与与Y Y Y Y Y Y的的的的的的相关系数相关系数相关系数相关系数相关系数相关系数.相关系数是一个无量相关系数是一个无量相关系数是一个无量相关系数是一个无量纲纲的量的量的量的量.河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计对对于任意随机于任意随机于任意随机于任意随机变变量量量量X X X X与与与与Y,Y,Y,Y,总总有有有有 由由由由协协方差定方差定方差定方差定义义得得得得这这是是是是计计算算算算协协方差的常用公式方差的常用公式方差的常用公式方差的常用公式.河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计二二二二二二.性质性质性质性质性质性质 协协方差具有下列性方差具有下列性方差具有下列性方差具有下列性质质:相关系数具有下列性相关系数具有下列性相关系数具有下列性相关系数具有下列性质质:对称性称性:Cov(X,Y)=Cov(Y,X);线性性性性:Cov(aX,Y)=aCov(X,Y)(a为常数常数),Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z).|XY|1;若若Y=aX+b(a,b为常数常数,且且a0),则X与与Y正相关正相关X与与Y负相关相关|XY|=1的充要条件是存在常数的充要条件是存在常数a,b,使使PY=aX+b=1.河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计 相相相相关关关关系系系系数数数数XYXYXYXY是是是是一一一一个个个个反反反反映映映映X X X X和和和和Y Y Y Y之之之之间间间间线线线线性性性性关关关关系系系系紧紧紧紧密密密密程程程程度度度度的的的的量量量量.当当当当XYXYXYXY较较较较大大大大时时时时,表表表表明明明明X X X X与与与与Y Y Y Y线线线线性性性性相相相相关关关关程程程程度度度度较较较较好好好好,特特特特别别别别当当当当XYXYXYXY =1=1=1=1时时,X,X,X,X与与与与Y Y Y Y之之之之间间以以以以概概概概率率率率1 1 1 1存存存存在在在在线线性性性性关系关系关系关系;当当当当XYXYXYXY较小时较小时较小时较小时,表明表明表明表明X X X X与与与与Y Y Y Y线性相关程度较差线性相关程度较差线性相关程度较差线性相关程度较差.定义定义定义定义4 4 4 4 若相关系数若相关系数若相关系数若相关系数XYXYXYXY=0,=0,=0,=0,则则称随机称随机称随机称随机变变量量量量X X X X与与与与Y Y Y Y 不相关不相关不相关不相关.当当当当X X X X与与与与Y Y Y Y相互独立相互独立相互独立相互独立时时,由数学期望性由数学期望性由数学期望性由数学期望性质质与与与与协协方差定方差定方差定方差定 义得义得义得义得故故故故X X X X与与与与Y Y Y Y不相关不相关不相关不相关.一般，一般，一般，一般，X X X X与与与与Y Y Y Y独立独立独立独立 X X X X与与与与Y Y Y Y不相关不相关不相关不相关.河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计【例【例【例【例【例【例1 1 1 1 1 1】设设设设设设(X,Y)(X,Y)(X,Y)(X,Y)(X,Y)(X,Y)的概率密度为的概率密度为的概率密度为的概率密度为的概率密度为的概率密度为解解解解(1)(1)(1)(1)求边缘概率密度求边缘概率密度求边缘概率密度求边缘概率密度,判定判定判定判定 立性立性立性立性试证试证试证试证X X X X与与与与Y Y Y Y不相关不相关不相关不相关,但但但但X X X X与与与与Y Y Y Y不相互独立不相互独立不相互独立不相互独立.【例【例1】河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计利用对称性得利用对称性得利用对称性得利用对称性得:(2)(2)(2)(2)求求求求协协方差与相关系数方差与相关系数方差与相关系数方差与相关系数奇函数在对奇函数在对称区间上积称区间上积分为零分为零 由于由于所以所以所以所以,X,X,X,X与与与与Y Y Y Y不独立不独立不独立不独立.河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计利用对称性得利用对称性得:于是于是,X,X与与Y Y的协方差为的协方差为河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计 【例【例【例【例【例【例2 2 2 2 2 2】设设设设设设(X,Y)(X,Y)(X,Y)(X,Y)(X,Y)(X,Y)服从二维正态分布服从二维正态分布服从二维正态分布服从二维正态分布服从二维正态分布服从二维正态分布,求求求求求求X X X X X X与与与与与与Y Y Y Y Y Y的相关的相关的相关的相关的相关的相关 系数系数系数系数系数系数.解因解因解因解因为为X X X X与与与与Y Y Y Y的的的的联联合概率密度合概率密度合概率密度合概率密度为为X X X X与与与与Y Y Y Y的的的的边缘边缘概率密度概率密度概率密度概率密度为为河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计于是于是于是于是X X X X与与与与Y Y Y Y的的的的协协方差方差方差方差对上述广义二重积分换元对上述广义二重积分换元对上述广义二重积分换元对上述广义二重积分换元:河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计即即即即面积元素为面积元素为面积元素为面积元素为河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计奇函数在对奇函数在对称区间上积称区间上积分为零分为零分部积分部积分分河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计 显显然然然然,独立一定不相关独立一定不相关独立一定不相关独立一定不相关,但不相关却不一定独立。但不相关却不一定独立。但不相关却不一定独立。但不相关却不一定独立。特特特特别值别值得注意的是得注意的是得注意的是得注意的是:若若若若(X,Y)(X,Y)服从二服从二服从二服从二维维正正正正态态分布分布分布分布,则则 独立独立独立独立与与与与不相关不相关不相关不相关是是是是等价等价等价等价的。的。的。的。所以，所以，所以，所以，X X与与与与Y Y的的的的相关系数相关系数相关系数相关系数为为：最后最后最后最后,请请注意正注意正注意正注意正态态分布的一些重要分布的一些重要分布的一些重要分布的一些重要结论结论 。河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计 P.140:3;6;8;P.141:9;11;12;13;P.142:15;16;20;本章作业本章作业本章作业本章作业 P.143:27;29;P.144:31;32;33;34 ;P.145:37。