[考研数学]北京航天航空大学线性代数 4-4.ppt

第四节第四节 典型例题典型例题 从方程组解的理论可以看出从方程组解的理论可以看出矩阵、向矩阵、向量组与方程组的解之间是相互联系的量组与方程组的解之间是相互联系的.本本节主要是通过一些综合性的例子，把本章节主要是通过一些综合性的例子，把本章以及前几章的内容联系起来以及前几章的内容联系起来.设设A是是n阶阶方方阵阵，而而A 0，试试证证：存存在在一一个个n阶阶方方阵阵B 0，使使AB=0的的充充分分必必要要条件是条件是|A|=0.证证 必要性必要性 利用矩阵的乘法利用矩阵的乘法(分块分块)则则因为因为例例1令令所以有所以有 表明表明 B 的列向量的列向量B1,B2,Bn 均为齐次均为齐次方程组方程组 Ax=0 的解向量的解向量.又因已知又因已知 B 0，于是可知于是可知Ax=0有非零解有非零解.从而从而 因已知因已知|A|=0，所以齐次方程组所以齐次方程组 Ax=0 有非零解，设为有非零解，设为 则非零方阵则非零方阵必满足必满足AB=0.其中其中 bi(i=1,2,n)不全为零不全为零.充分性充分性 本题必要性的反证法证明如下：本题必要性的反证法证明如下：假若假若|A|0，则则A-1存在存在.则由则由AB=0得得 即得即得 这与题设矛盾，故这与题设矛盾，故 设设A,B均均为为m阶阶方方阵阵,试试证证：若若AB=0，则则R(A)+R(B)m.证证由由AB=0，若设若设 则则于是于是说明：说明：m维向量维向量 B1,B2,Bm 为齐次方程组为齐次方程组 Ax=0 的的m个解向量个解向量.例例2 设设 R(A)=r m，则齐次方程组的基础解系则齐次方程组的基础解系含有含有m-r个向量个向量(注意到注意到 x为为m维向量维向量)：于是于是B1,B2,Bm可由此可由此m-r个线性无关个线性无关的解向量线性表出，故的解向量线性表出，故即即得得 (若若R(A)=m,则则Ax=0只只有有零零解解，此此时时B1=B2=Bm=0,即即B=0，从从而而R(B)=0，结结论论依然成立依然成立.)例例3 试证：若试证：若A是是n(n 2)阶方阵，则阶方阵，则 其中其中A*为为 A 的伴随矩阵的伴随矩阵.证证当当R(A)=n 时时,因为因为 于是于是 得得因此因此由由得得 当当R(A)=n-1时时 此此时时|A|=0，由由AA*=|A|E得得AA*=0，由由例例2结论得结论得 R(A)+R(A*)n，因因R(A)=n-1，所以所以 另一方面：由另一方面：由R(A)=n-1 知必有一个知必有一个n-1阶阶子式不为零，故子式不为零，故 A*0，即即R(A*)1.于是得于是得 当当R(A)n-1 时时 此时此时A 的的n-1阶子式均为零，由阶子式均为零，由 A*的定义知的定义知A*=0，于是得于是得 例例4 4 已知已知A,B,C 均为四阶方阵均为四阶方阵,且且A=BC,R(B)=4,R(C)=2.若若 1,2,3是是齐齐次次方方程程组组Ax=0的的解解向向量量，证明证明 1,2,3线性相关线性相关.证证 因因 B 为四阶方阵，所以为四阶方阵，所以B为满秩矩阵为满秩矩阵.而而 A=BC，故由第二章定理故由第二章定理4.3的推论的推论3得：得：则齐次线性方程组则齐次线性方程组Ax=0的基础解系由两个的基础解系由两个线性无关解向量线性无关解向量1,2构成。构成。由由已已知知 1,2,3 均均为为 Ax=0 的的解解向向量量，必必可由可由 1,2线性表出，从而线性表出，从而于是于是 1,2,3线性相关线性相关.