实变函数与泛函分析44.ppt

第四节第四节 可测函数结构可测函数结构第四章 可测函数可测函数可测函数l l简单函数简单函数是可测函数是可测函数l可测函数总可表示成一列简单函数的极限（当可测函数有界时，可作到一致收敛）问：可测函数是否可表示成一列连续函数的极限？l可测集E上的连续函数定为可测函数鲁津定理鲁津定理实变函数的三条原理（）（1）任一可测集差不多就是开集（至多可数个开区间的并）设f(x)为E上几乎处处有限的可测函数，则 使得 m(E-F)0,0,使得使得对对f(x)f(x)在在F F连续的说明连续的说明说明：取闭集的原因在于闭集的余集为开集，开集中的点为内点，从而可取xF Fi i足够小的邻域不含其他F Fi i 中的点函数在每一块上为常值，故在每一块上都连续，但函数在R上处处不连续条件Fi为两两不交闭集必不可少，如：鲁津定理的证明鲁津定理的证明(2)当f(x)为有界可测函数时，存在简单函数列n(x)在E上一致收敛于f(x)，由n(x)在F连续及一致收敛于f(x)(x)，易知f(x)f(x)在闭集在闭集F F上连续。上连续。利用(1)的结果知鲁津定理的证明鲁津定理的证明则g(x)为有界可测函数，应用(2)即得我们的结果（连续函数类关于四则运算封闭）(3)当f(x)为一般可测函数时，作变换注：注：(1)(1)鲁津定理推论鲁津定理推论鲁津定理（鲁津定理（限制定义域限制定义域）（即：去掉某个小测度集，在（即：去掉某个小测度集，在留下的集合留下的集合上连续）上连续）（在某个小测度集上（在某个小测度集上改变取值改变取值并补充定义变成连续函数）并补充定义变成连续函数）若f(x)为 上几乎处处有限的可测函数，使得在F上g(x)=f(x)且m(E-F)（对n维空间也成立）则 及R上的连续函数g(x)开集的余集是闭集闭集的余集是开集aibi直线上的开集构造直线上的任一非空开集都可唯一地表示成有限个或可数个互不相交的开区间的并鲁津定理推论证明的说明鲁津定理推论证明的说明 鲁津定理：鲁津定理：设f(x)为E上几乎处处有限的可测函数，则 使得m(E-F)且f(x)在F上连续例例 对对 E=R E=R1 1 上的上的a.e.a.e.有限的可测函数有限的可测函数f(x)f(x)，一定存在，一定存在E E上的连续函数列上的连续函数列ffi i(x)(x)使使f fi i(x)f(x)(x)f(x)a.e.a.e.于于E E从而 令 ，即得我们所要的结果。证明：由鲁津定理的推论知再由Riesz定理，存在gn(x)的子列 gni(x)使gni(x)f(x)a.e.于E，对上例的说明对上例的说明（只能作到几乎处处收敛）：（只能作到几乎处处收敛）：说明：若fnf于R，fn连续，则f的连续点集是R的稠密集（参见：实变函数，周民强，p-43）鲁津定理的结论鲁津定理的结论 m(E-F)m(E-F)00，存在闭集存在闭集 ，使，使 且且f(x)f(x)在在 上连续，上连续，则则f(x)f(x)是是E E上的可测函数上的可测函数 注：此结论即为注：此结论即为鲁津定理的逆定理鲁津定理的逆定理从而 f(x)在 上可测，进一步 f(x)在 上可测。证明：由条件知，存在闭集使 且 f(x)在En 连续，当然 f(x)在 En上可测，