微积分09 空间直角坐标系与向量的概念.ppt

第一节第一节 空间直角坐标系与向量的概念空间直角坐标系与向量的概念一、空间直角坐标系二、向量的概念及其线性运算三、向量的坐标表示1.1.空间直角坐标系空间直角坐标系 坐标面:在空间直角坐标系中,每两轴所确定的平面称为坐标平面,简称坐标面.面面面一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系 在空间直角坐标系中,点与三元数组之间有一一对应关系.各卦限中点的坐标情况:2.2.两点间的距离两点间的距离例例1 1 已知两点 与 ,在 轴上求一点 ,使解解 因为 在 轴上,所以设 点的坐标为 由题设 ,得解得所求点 为1.1.向量的概念向量的概念向量的模:向量的大小(有向线段的长度),记作 ,单位向量:模为1的向量零向量:模为0的向量,记为0 或向量的表示:或 或二、向量的概念及其线性运算二、向量的概念及其线性运算2.2.向量的线性运算向量的线性运算(1)向量的加法baa+baba+bdabca+b+c+d向量的加法满足下列运算规律:（1）（2）（3）（4）(2)数与向量的乘积(数乘向量)定义定义2 2 设 是一个非零向量,是一个非零实数,则 与 的乘积仍是一个向量,记作 ,且 数与向量的乘积满足下列运算规律:（1）（2）（3）（4）1.1.向径及其坐标表示向径及其坐标表示 向径:在空间直角坐标系中,起点在原点 ,终点为 的向量 称为点 的向径.记为 或基本单位向量:称上式为向量 的坐标表达式,记作三、向量的坐标表示三、向量的坐标表示2.2.向量向量 的坐标表示式的坐标表示式3.3.向量的模与方向余弦的坐标表示式向量的模与方向余弦的坐标表示式4.4.向量线性运算的坐标表示向量线性运算的坐标表示例例2 2 设 ,求 的方向余弦.解解 例例3 3 设向量 的两个方向余弦为 ,又 ,求向量 的坐标.解解 由 得所以即或第二节第二节 向量的数量积与向量积向量的数量积与向量积 一、向量的数量积 二、向量的向量积一、向量的数量积一、向量的数量积1.1.数量积的概念数量积的概念 定义定义1 1 两向量 的模及其夹角余弦的乘积，称为向量的数量积,记为 ,即说明:(1)向量的数量积是一个数量而不是向量；(3)(2)两非零向量 夹角的余弦(4)设 为两个非零向量,由定义1,有 数量积满足如下运算规律：(1)交换律：(2)结合律：(其中 为常数)(3)分配律：另外,由(2)(3)可得2.2.数量积的坐标表示式数量积的坐标表示式.两非零向量夹角余弦的坐标表示式两非零向量夹角余弦的坐标表示式 设 均为非零向量,由两向量的数量积定义可知解解 例例1 1 已知 求例例2 2 设力 作用在一质点上,质点由 沿直线移动到 .求:(1)力 所作的功;(2)力 与位移 的夹角(力的单位为,位移的单位为).解解 因为 又因为 所以 所以,力 所作的功(J)例例3 3 求在 坐标面上与向量垂直的单位向量 解解 设所求向量为 ,因为它在 坐标面上,所以 ,又因为 是单位向量且与 垂直,所以 即解之得 故所求向量 或 二、向量的向量积二、向量的向量积1.1.向量积的概念向量积的概念 定义2 两向量 的向量积定义为 记作 ;其中 是同时垂直于 和 的单位向量,其方向按从 到 的右手规则确定.说明:(1)两向量的向量积是一个向量而不是数;(4)(2)的模等于以 为邻边的平行四边形的面积(3)设 为两个非零向量,则ab向量积满足下列运算规律:(1)反交换律：(2)结合律:(其中 为常数)(3)分配律:2.2.向量积的坐标表示式向量积的坐标表示式 a对于两个非零向量解 例4 设 求 例例5 5 求垂直于 和 的单位向量.解解 因为 同时垂直 和,所以=例例6 6 已知三角形 的顶点是 求三角形的面积.解 根据向量积的定义,可知三角形 的面积 第三节第三节 平面与直线平面与直线一、平面的方程 二、直线的方程三、平面、直线的位置关系 1 1平面的点法式方程平面的点法式方程 法向量 因为 所以有 该方程称为平面 的点法式方程 一、平面的方程一、平面的方程解解 由平面方程的点法式得所求平面方程为例例1 1 求过点 且垂直于向量 的平面方程即且和平面 例例2 2 求过点 垂直的平面方程 解解 因为 在该平面上,已知平面的法向量故 所求平面的法向量 与向量 和 都垂直即 由公式得该平面的方程为例例3 3 求过点 和 三点的平面方程 故 解解 所求平面的法向量 与向量 和 都垂直，而 由公式 得该平面方程为 即 从平面的点法式方程得令该方程称为平面的一般式方程.则 2 2平面的一般式方程平面的一般式方程 得它表示过点 且以 为法向量的平面 可见，任一三元一次方程（不全为零）都表示一个平面.系数 为平面法向量的坐标设 是其任一组解，即 平面通过原点(图9.16)图9.16(2)当 时，图9.17 方程 的特殊情况:(1)当 时，该平面平行于 轴（图9.17）图9.18(3)当 时,表示的平面通过 轴(图9.18)同理,方程 分别表示平行于 轴和 轴的平面;分别表示通过 轴和 轴的平面.(4)当 时，图9.19 当 时,该平面平行于 坐标面(图9.19)它表示 坐标面 同理，方程 和 分别表示平行 面和 面的平面;方程 和 分别表示 面和 面.方程为 代入原方程并化简,得所求平面方程为例例4 4 求通过 轴和点 的平面方程.解解 因平面通过 轴,由以上讨论,可设其方程为 又点 在平面上,因此 即解解 设所求平面方程为例例5 5 一平面经过 三点，求此平面的方程.又因 三点都在平面上,所以有 后两个方程分别减去第一个方程,得所以 代入第一个方程得即因为 不能同时为零,所以 ,于是有即得所求平面方程为3 3平面的截距式方程平面的截距式方程 解此方程组得 设一平面过三点 (图9.20),求此平面方程图9.20 设平面方程为 ，因为 三点在该平面上,所以有 即得所求平面方程为 此方程称为平面的截距式方程,其中 分别称为平面在 轴、轴、轴上的截距.代入所设方程(因平面不过原点,)得解解方程两边同除以5,得平面的截距式方程为其中 例例6 6 将平面 化为截距式方程 得 由1直线的点向式方程与参数方程 方向向量:向向量为,它的一个方 已知直线L上任意一点求直线L的方程（图9.21）图9.21二、直线的方程二、直线的方程所以由两向量平行的充要条件可知 此方程组称为直线的点向式方程（或称标准方程）设点 为直线L上任意一点则点 在直线 上的充要条件是 因为注：注：当 中有一个或两个为零时，就理解为相应的分子也为零 记其比值为t,则有此式称为直线L的参数方程，t为参数 例例7 7 求过点的直线方程方向向量 故所求直线的方程为 上式也称为直线的两点式方程 解解解解 因所求直线平行于两平面.故直线的方向向量s s垂直于两平面的法向量 及 例例8 8 求过点 且平行于两平面 及 的直线方程.所以取因此,所求直线方程为 即 2 2直线的一般方程直线的一般方程 设平面 的方程分别为：则两个平面 的交线L的方程为 此方程称直线的一般方程例例1010 将直线方程 化为点向式方程及参数方程 解解 先求直线上的一点 不妨令 ,代入原方程组得 解得，即点 在直线上再求该直线的一个方向向量,因为 分别垂直于平面及的法向量 所以可取所以直线的点向式方程为 令上式为 ,可得已知直线的参数方程为 1 1平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系 两平面的夹角:两平面法向量的夹角(通常取锐角).法向量 三、平面、直线的位置关系三、平面、直线的位置关系因此 与 的夹角的余弦为：特别地 例例1111 求两平面 的夹角 两平面的法向量分别为 所以两平面的夹角的余弦为 所以两平面夹角 解解 2 2直线与直线的位置关系直线与直线的位置关系 两直线的夹角:两直线方向向量的夹角(取锐角).方向向量 因此 与 的夹角的余弦为 例例1212 求直线 和直线 的夹角 的方向向量分别为 解解则两直线 与 的夹角的余弦为 所以两直线的夹角 3 3直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系 直线与平面的夹角:直线和它在平面上的投影直线的夹角 设直线 与平面 的垂直线的夹角为 ，与 的夹角为 ,则 .求直线与平面夹角设直线 的方向向量为,平面的法向量为由两向量夹角的余弦公式,有 例例1313 已知直线 和平面 求 与 的夹角的方向向量为 解解 与 的垂线的夹角 的余弦为 因此，与 的夹角 第四节第四节 曲面与空间曲线曲面与空间曲线一、曲面方程的概念二、旋转曲面三、几种常见的二次曲面四、空间曲线 定义:如果曲面 上每一点的坐标都满足方程 而不在曲面 上的点的坐标都不满足这个方程,则称方程 为曲面 的方程,而称曲面 为此方程的图形.图9.23一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念图9.24例例1 1 建立球心在点 ,半径为 的球面方程.解解 设 是球面上的任一点,则而所以 这就是球心在点 ,半径为 的球面方程.当 时,得球心在原点,半径为 的球面方程为 柱面:直线 沿定曲线 平行移动所形成的曲面称为柱面.定曲线 称为柱面的准线,动直线 称为柱面的母线.例例2 2 建立母线平行于 轴的柱面方程.图9.26解解 设准线 是 面上的一条曲线,是柱面上的任意一点.过点 的母线与 面的交点 一定在准线 上,点 的坐标为 ,不论点 的竖坐标 取何值,它的横坐标 和纵坐标 都满足方程 ,因此所求柱面方程为 在空间直角坐标系中,方程 表示以 面上的曲线 为准线,母线平行于 轴的柱面.类似地,方程 表示以 面上的曲线 为准线,母线平行于 轴的柱面.方程 表示以 面上的曲线为准线,母线平行于 轴的柱面.用 面和 面去截曲面,其截痕为 它们都是双曲线.也表示单叶双曲面,中心轴分别是 轴、轴.旋转曲面:平面曲线 绕同一平面上定直线 旋转一周所形成的曲面称为旋转曲面.定直线 称为旋转轴.图9.31二、旋转曲面二、旋转曲面例例3 3 建立 面上一条曲线 绕 轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程.因为所以又因为 在曲线 上,所以解解 设 为旋转曲面上任一点,过点 作平面垂直于 轴,交 轴于点 交曲线 于点 则 所以旋转曲面方程为 同理,曲线 绕 轴旋转的旋转曲面方程为 面上的曲线 绕 轴旋转的旋转曲面方程为 绕 轴旋转的旋转曲面方程为 面上的曲线 绕 轴旋转的旋转曲面方程为 绕 轴旋转的旋转曲面方程为例例4 4 将 坐标面上的直线 绕 轴旋转一周,试求所得旋转曲面方程.解解 将 保持不变,换成 得即所求旋转曲面方程为图9.32 由上时表示的曲面称为圆锥面.点 称为圆锥的顶点.二次曲面:在空间直角坐标系中,若 是二次方程,则它的图形称为二次曲面.截痕法:用一系列平行于坐标面的平面去截曲面,求得一系列的交线,对这些交线进行分析从而把握曲面的轮廓特征,这种方法称为截痕法.三、几种常见的曲面三、几种常见的曲面1.1.椭球面椭球面 用三个坐标面分别去截椭球面,交线为:图9.33这些交线都是椭圆.用平行于 面的平面 截椭球面,交线为是平面 上的椭圆.用平行其它两个坐标面的平面去截椭球面,分析的结果类似.2.2.单叶双曲面单叶双曲面 用三个坐标面截曲面,所得截线分别为 图9.343.3.双叶双曲面双叶双曲面 图9.35用 和 面截曲面,所得截线分别为 它们都是以 轴为实轴,虚轴分别为 轴和 轴的双曲线.用平行于 面的平面 截曲面,得 当 时,其截痕是一椭圆;当 时,其截痕缩为一点 和 ;当 时,没有图形.也表示双叶双曲面.4.4.椭圆抛物面椭圆抛物面 图9.36 用 和 面截曲面,所得截线分别为它们都是开口向上的抛物线.用平面 截曲面,得 当 时,没有图形;当 时,相交于一点 ;当 时,所得截线为 5.5.双曲抛物面双曲抛物面 用三个坐标面截曲面,所得截线分别为 它们分别表示两条相交直线、开口向上的抛物线和开口向下的抛物线.图9.37 用平行于 和 面的平面 和 截曲面,所得截线分别为 用平行于 面的平面 截曲面,所得截线为1.1.空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 四、空间曲线四、空间曲线例例5 5 下列方程组表示什么曲线？下列方程组表示什么曲线？(1)(2)解解(1)是球心在原点,半径为5的球面.是平行于 面的平面,它们的交线是在平面 上的圆(2)方程 表示球心在坐标原点,半径为 的上半球面;方程 表示母线平行于 轴的圆柱面,方程组表示上半球面与圆柱面的交线.图9.392.2.空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程(为参数)例例6 6 设空间一动点 在圆柱面 上以角速度 绕 轴旋转,同时又以线速度 沿平行于 轴的正方向上升(其中 都是常数),则动点 的轨迹叫做螺旋线,试求其参数方程.则动点的运动方程即螺旋线的参数方程为:图9.40如果令 ,以 为参数,则螺旋线的参数方程为其中 解解 取时间 为参数,设 时,动点在 处,经过时间,动点由 运动到 3.3.空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线 的一般方程为消去 ,得 称为曲线 关于 面的投影柱面.它与 面的交线就是空间曲线在 面上的投影曲线,简称投影,其方程为 同理,分别消去 和,得到 和 ,则曲线 在 和 面上的投影曲线方程分别为图9.41例例7 7 求曲线在 面上的投影曲线方程.解解 从曲线 的方程中消去 得 曲线 在 面上的投影曲线方程为