极限存在准则25两个重要极限.ppt

2.4 2.4 极限存在准则极限存在准则 夹逼原理夹逼原理单调有界准则单调有界准则闭区间套定理和柯西收敛准则闭区间套定理和柯西收敛准则(不作要求不作要求)2.4.1 夹逼原理夹逼原理证证:由条件由条件(2),当当时时,当当时时,令令则当则当时时,有有由条件由条件(1)即即故故 定理定理（数列极限）（数列极限）定理（函数极限）定理（函数极限）如果如果（2）那么那么存在，且等于存在，且等于A。例例、证明证明证证:利用夹逼准则利用夹逼准则.且且由由例例证明证明证证 当当a=1时结论显然成立，先设时结论显然成立，先设a 1,令令由二项式定理，由二项式定理，所以有所以有由夹逼原理知由夹逼原理知当当0a1,利用上面已证明的结论知，利用上面已证明的结论知，例例证证令令由前例可知由前例可知故有故有2.4.2 单调有界准则单调有界准则(证明略证明略)单调增加单调增加单调减少单调减少定理定理 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限例例设设证明数列证明数列极限存在，并求其值极限存在，并求其值.证证:用数学归纳法易证用数学归纳法易证 解得解得a=3。2.5 两个重要极限两个重要极限圆扇形圆扇形AOB的面积的面积证证:当当即即亦即亦即时，时，显然有显然有AOB 的面积的面积AOD的面积的面积故有故有注注注注：当当时时推广形式：推广形式：例例解解例例解解例例解解例例解解例例解解推广形式：推广形式：数列形式：数列形式：（e例例求求解解:令令则则说明说明：若利用：若利用则则 原式原式例例求解解:或 例例求解解:练习册上的几个题练习册上的几个题（练习（练习2.5）求下列极限：求下列极限：一、一、2.解解:一、一、3.（n为奇数）为奇数）解解:令令 t=arccosx,则则x=cost，从而，从而一、一、4.解解:注意到，注意到，所以所以5.解解:仿照第仿照第4题可证，题可证，二、二、2.解解:而而所以所以二、二、3.解解:令令