定积分的概念62定积分应用.ppt

6.1 定积分的概念第6章 定积分及其应用二.定积分的定义一.曲边梯形的面积三三.定定积积分的性分的性质质6.1 定定积分的概念分的概念 在我国古代南北朝（公元在我国古代南北朝（公元 429 500 年）年）时，南朝的科学家祖冲之运用逐南朝的科学家祖冲之运用逐渐增加增加圆内多内多边形的形的边数，算出正多数，算出正多边形的面形的面积，逼近相，逼近相应的的圆的面的面积，得到了得到了 近似近似值.在初等几何中，在初等几何中，计算任意多算任意多边形面形面积时，常采，常采用如下方法：首先将任意多用如下方法：首先将任意多边形划分形划分为若干个小三若干个小三角形，分角形，分别计算各个三角形的面算各个三角形的面积，然后求和，得，然后求和，得到任意多到任意多边形的面形的面积。阿基米德运用阿基米德运用这种方法，求得抛物种方法，求得抛物线 与与 x 轴及直及直线 x=1 所所围成的平面成的平面图形面形面积的近似的近似值.就是就是说，在，在计算复算复杂图形的面形的面积时，可以先将，可以先将它划分它划分为若干个容易算得面若干个容易算得面积的小的小块，并分，并分别求出求出各小各小块图形的面形的面积，然后求和，即得到原，然后求和，即得到原图形的面形的面积的近似的近似值（边界界线为直直线时，可得精确，可得精确值）.如果在上述方法中引入极限如果在上述方法中引入极限过程程,会会产生什么效果生什么效果?6.1.1 曲曲边梯形的面梯形的面积 曲曲边梯形：三梯形：三边为直直线，其中有两，其中有两边相互相互平行且与第三平行且与第三边垂直（底垂直（底边），第四），第四边是一条是一条曲曲线，它与垂直于底，它与垂直于底边的直的直线至多有一个交点至多有一个交点（这里不排除某直里不排除某直线缩成一点）成一点）.1.曲曲边梯形梯形2.求曲求曲边梯形的面梯形的面积 首先，我首先，我们重复阿基米德的做法：重复阿基米德的做法：分划分划代替代替求和求和得到曲得到曲边梯形的近似梯形的近似值，然后，引入极限，然后，引入极限过程，程，求出曲求出曲边梯形的精确梯形的精确值.第一步：分划第一步：分划任意引入分点称为区间的一个分法 T第二步：代替第二步：代替对对每个小曲每个小曲边边梯形均作上述的代替梯形均作上述的代替第三步：求和第三步：求和第四步：取极限第四步：取极限6.1.2 定定积分的定分的定义任意引入分点任意引入分点定积分符号：关于定积分定义的几点说明例例解解所以所以定理定理定理定理 1 16.1.3 定定积分存在的条件分存在的条件定理定理定理定理 2 2定理定理定理定理 3 3定理定理定理定理 4 46.1.4定积分的几何意义由极限保号性：由极限保号性：面面积：例（见教材）6.2 6.2 定定积积分的性分的性质质 由于定积分是一种和式的极限,所以极限的某些性质在定积分中将有所反映.在以下的叙述中,假设所出现的函数均可积,所出现的定积分均存在.证证由定积分定义及极限运算性质：可以推广可以推广至有限个至有限个可可积积函数函数的情形的情形.证证证证(小于零的情形类似.)由极限的保号性立即可知.代数和代数和例1证证/有什么结论？换成例2证证/与性与性质质 3 3 的推的推论论 1 1 不同，不同，这这里的里的结论结论是是严严格不等号！格不等号！证证所以例4证证例例解解而而所以所以例例解解证证例5解由积分中值定理