波导与谐振器.ppt
第第6章章 波导与谐振器波导与谐振器 6.1 矩形波导矩形波导 矩形波导由于具有单模传输、工作频带较宽、衰减小且波形稳定等特点，因此得到广泛应用。现设矩形波导的宽边尺寸为a，窄边尺寸为b，并建立如图6-1所示的坐标。我们首先来分析波导中的场，然后分析它的基本传输特性。图6-1矩形波导及其坐标1.矩形波导中的场对于时间因子为ejt的时谐场，电磁场在波导内满足无源亥姆霍兹方程(HelmholtzEquation)，即2E+k2E=02H+k2E=0（6-1-1）式中，k2=2。现将电场和磁场分解为横向分量和纵向分量，即：E=Et+azEz H=Ht+azHz(6-1-2)其中，az为z向单位矢量，t表示横向坐标，在直角坐标中它代表(x,y)；在圆柱坐标中它代表(,)。下面以直角坐标为例讨论。将式（6-1-2）代入式(6-1-1)，整理后可得：2Ez+k2Ez=02Et+k2Et=02Hz+k2Hz=02Ht+k2Ht=0(6-1-3)现以电场为例来讨论纵向场应满足的解的形式。设2t为二维拉普拉斯算子，则有：(6-1-4)利用分离变量法，令：Ez(x,y,z)=Ez(x,y)Z(z)（6-1-5）将其代入式(6-1-3)，并整理得：（6-1-6）上式中左边是横向坐标(x,y)的函数，与z无关；而右边是z的函数，与(x,y)无关。显然，只有二者均为常数上式才能成立，设该常数为2，则有：（6-1-7）上式中第二式的形式与传输线方程(5-1-5)相同，其通解为Z(z)=A+e-rz+A-erz（6-1-8）设规则金属波导为无限长，故没有反射波即A-=0，此时，式（6-1-8）变为Z(z)=A+e-rz（6-1-9）A+为待定常数。对无耗波导，=j，为相移常数。现设E0z(x,y)=A+Ez(x,y)，则纵向电场可表达为Ez(x,y,z)=E0z(x,y)e-jz（6-1-10a）同理，纵向磁场也可表达为Hz(x,y,z)=H0z(x,y)e-jz（6-1-10b）而E0z(x,y)、H0z(x,y)满足以下方程：2tE0z(x,y)+k2cE0z(x,y)=02tH0z(x,y)+k2cH0z(x,y)=0（6-1-11）其中，k2c=k2-2为传输系统的本征值。在给定的边界条件下，应用分离变量法可求得式（6-1-11）的解，将其分别代入式（6-1-10a）和（6-1-10b）就可求得纵向电、磁场的表达式。H=jE E=-jH（6-1-12）将它们用直角坐标展开，并利用式（6-1-10）可得各横向电、磁场的表达式为（6-1-13）1）TE波（TransverseElectricWave）此时Ez=0，Hz=H0z(x,y)e-jz0，代入式（6-1-11）可得:应用分离变量法，令H0z(x,y)=X(x)Y(y)（6-1-15）代入式（6-1-14），并除以X(x)Y(y)，得要使上式成立，上式左边每项必须均为常数，设分别为k2x和k2y，则有：（6-1-16）于是，H0z(x,y)的通解为H0z(x,y)=(A1coskxx+A2sinkxx)(B1coskyy+B2sinkyy)（6-1-17）其中，A1、A2、B1、B2为待定系数，由边界条件确定。Hz应满足的边界条件为（6-1-18）于是有（6-1-19）于是矩形波导TE波纵向磁场的基本解为 m,n=0,1,2,（6-1-20）式中：Hmn为模式振幅常数，说明既满足方程又满足边界条件的解有很多，我们将一个解称之为一种传播模式（PropagationMode），故Hz(x,y,z)的通解为所有模式之和，即(6-1-21)将式(6-1-21)代入式（6-1-13）得TE波横向场分量的表达式为（6-1-22）2）TM波（TransverseMagneticWave）对TM波，Hz=0，Ez=E0z(x,y)e-jz,用与TE波相同的方法可求得TM波的全部场分量：（6-1-23）2.矩形波导的传输特性1）截止波数与截止波长在上面推导中，有k2c=k2-2，其中为波导中的相移常数，k=2/为自由空间波数。显然,当kc=k时，=0，此时波不能在波导中传输，也称为截止（Cutoff），因此kc也称为截止波数（CutoffWavenumber），它仅仅取决于波导结构尺寸和传播模式。矩形波导TEmn和TMmn模的截止波数均为（6-1-24）对应截止波长为（6-1-25）此时，相移常数为其中，=2/k为工作波长。（6-1-26）可见当工作波长小于某个模的截止波长c时，20，此模可在波导中传输，故称为传导模(PropagationMode)；当工作波长大于某个模的截止波长c时，20，即此模在波导中不能传输，称为截止模(CutoffMode)。一个模能否在波导中传输取决于波导结构尺寸和工作频率（或波长）。对相同的m和n，TEmn和TMmn模具有相同的截止波长，我们将截止波长相同的模式称为简并模(DegenerateMode)，它们虽然场分布不同，但具有相同的传输特性。图6-2给出了标准波导BJ-32各模式截止波长分布图。图62BJ-32波导各模式截止波长分布图【例6-1】设某矩形波导的尺寸为a=8cm,b=4cm,试求工作频率在3GHz时该波导能传输的模式。2）主模TE10在导行波中截止波长c最长的导行模称为该导波系统的主模(PrincipleMode)。如果选择合适的工作频率可以实现单模传输。矩形波导的主模为TE10模，因为该模式具有场结构简单、稳定、频带宽和损耗小等特点，所以工程上几乎毫无例外地工作在TE10模式。下面我们着重来讨论TE10模式的场分布及其工作特性。（1）TE10模的场分布。将m=1,n=0和kc=/a代入式（5-7-13），并考虑时间因子ejt，可得TE10模各场分量表达式（6-1-27）而相移常数为（2）波导波长、相速与群速。TE10模的波导波长、相速vp和群速vg分别为（6-1-28）(6-1-29)(6-1-30)(6-1-31)（3）波阻抗。波导是非TEM模传输线，因此很难惟一地确定其上的电压和电流。然而此时对电磁波能量传输有贡献的只是横向磁场和横向电场。通常将横向电场Ey和横向磁场Hx的比值规定为波阻抗。对于TE10有（6-1-32）【例6-2】矩形波导截面尺寸为ab=72mm30mm，波导内充满空气，信号源频率为3GHz，试求：（1）波导中可以传播的模式。（2）该模式的截止波长c，相移常数，波导波长g、相速vp、群速和波阻抗。（3）若该波导终端接有归一化导纳为0.7-j0.1的负载，试求其驻波比和第一个波节点离负载的距离。（4）功率容量。沿传播方向的平均功率密度就是坡印廷矢量(PoyntingVector)的z方向分量。对矩形波导有（6-1-33）可得矩形波导TE10模的传输功率为（6-1-34）其中，Ebr为击穿电场幅值。因空气的击穿场强为30kV/cm，故空气矩形波导的功率容量为（6-1-35）（6-1-36）（6-1-37）（5）损耗。当电磁波沿传输方向传播时，波导金属壁的热损耗和波导内填充介质的损耗必然会引起能量或功率的递减。对于空气波导，由于空气介质损耗很小，可以忽略不计，而导体损耗是不可忽略的。设导行波沿z方向传输时的衰减常数为，则沿z向电场、磁场按e-z规律变化，所以传输功率按以下规律变化:P=P0e-2z（6-1-38）单位长波导内传输功率的减少等于单位长功率损耗Pl，所以有（6-1-39）于是衰减常数可按下式计算（6-1-40）在计算损耗功率时，因不同的导行模有不同的电流分布，损耗也不同，根据上述分析，可推得矩形波导TE10模的衰减常数公式（6-1-41）3.矩形波导尺寸选择原则选择矩形波导尺寸时应考虑以下几个方面因素：（1）波导带宽问题：保证在给定频率范围内的电磁波在波导中都能以单一的TE10模传播，其他高次模都应截止。为此应满足：（6-1-42）将TE10模、TE20模和TE01模的截止波长代入上式得：a2a 2b2a或写作即取bQdQc，因此微带线谐振器的品质因数主要取决于导体损耗。习习 题题 6.1试说明为什么规则金属波导内不能传播TEM波？6.2矩形波导的横截面尺寸a=22.86mm，b=10.16mm，将自由空间波长为2cm，3cm和5cm的信号接入此波导，问能否传输？若能，出现哪些模式？6.3矩形波导截面尺寸ab=23mm10mm，波导内充满空气，信号源频率为10GHz，试求：(1)波导中可以传播的模式；(2)该模式的截止波长c，相移常数，波导波长g及相速vp。6.4试证明工作波长，波导波长g和截止波长c满足以下关系：6.5设矩形波导a=2b，工作在TE10模式，求此模式中衰减最小时的工作频率f。6.6设矩形波导尺寸ab=63cm2，内充空气，工作频率3GHz，工作在主模，求该波导能承受的最大功率为多少？6.7已知圆波导的直径为5cm，填充空气介质。试求：（1）TE11、TE01、TM01三种模式的截止波长。（2）当工作波长分别为7cm、6cm、3cm时波导中出现上述哪些模式？（3）当工作波长为=7cm时，求最低次模的波导波长g。6.8已知工作波长为8mm，信号通过尺寸ab=7.1123.556mm2的矩形波导，现转换到圆波导TE01模传输，要求圆波导与上述矩形波导相速相等，试求圆波导的直径；若过渡到圆波导后要求传输TE11模且相速一样，再求圆波导的直径。6.9已知矩形波导的尺寸ab=2310mm2，试求传输模的单模工作频带。6.10已知工作波长=5mm，要求单模传输，试确定圆波导的半径，并指出是什么模式。6.11什么叫模式简并？矩形波导和圆形波导中模式简并有何异同？6.12为什么一般矩形(主模工作条件下)测量线探针开槽开在波导宽壁的中心线上？6.13在波导激励中常用哪三种激励方式？6.14设矩形波导宽边a=2.5cm，工作频率f=10GHz，用g/4阻抗变换器匹配一段空气波导和一段r=2.56的波导，如图题6.14所示，求匹配介质的相对介电常数r及变换器长度。图题6.146.15当圆极化波输入到线圆极化转换器时，输出端将变换成线极化波，试分析其工作原理。6.16设矩形谐振腔的尺寸a=5cm,b=3cm,l=6cm，试求TE101模式的谐振波长和无载品质因数Q0的值。
