重庆市第八中学校2022-2023学年高二上学期期末数学试题.docx

重庆八中20222023学年度（上）期末考试高二年级数学试题一选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 若直线l的方向向量是，则直线l的倾斜角为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由斜率与倾斜角，方向向量的关系求解【详解】由直线l的方向向量是得直线的斜率为，设直线的倾斜角是，故选：B.2. 设向量不共面，空间一点满足，则四点共面的一组数对是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用空间共面向量定理的推论即可验证得到答案.【详解】空间一点满足，若四点共面，则选项A：.判断错误；选项B：.判断错误；选项C：.判断正确；选项D：.判断错误.故选：C3. 设为两个不同的平面，则的一个充分条件可以是（ ）A. 内有无数条直线与平行B. 垂直于同一条直线C. 平行于同一条直线D. 垂直于同一个平面【答案】B【解析】【分析】利用线面，面面平行垂直的判定或性质对各个选项进行分析即可得到答案.【详解】对于A，内有无数条直线与平行不能得出两个平面可以相交，故A错；对于B，垂直于同一条直线可以得出，反之当时，若垂直于某条直线，则也垂直于该条直线，正确；对于C，平行于同一条直线，则两个平面可以平行也可以相交，故错误；对于D，垂直于同一平面的两个平面可以平行也可以相交，故错误； 故选：B4. 在等比数列中，则（ ）A. 2B. C. 4D. 【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，求出等比数列公比的平方即可计算作答.【详解】设等比数列的公比，则，而，于是得，即，解得，所以.故选：A5. 已知直线与圆交于两点，且，则实数的值为（ ）A. B. C. D. 1【答案】B【解析】【分析】利用题给条件列出关于实数的方程，解之即可求得实数的值.【详解】圆的圆心，半径，由，可得圆心到直线的距离为，则，解之得或（舍）故选：B6. 椭圆的左顶点为，点均在上，且关于轴对称若直线的斜率之积为，则的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设出，得到，根据斜率之积列出方程，得到，结合，求出，求出离心率.【详解】由题意得：，设，故，故，解得：，由，得到，即，离心率.故选：D7. 如图，教室里悬挂着日光灯管，灯线，将灯管绕着过中点的铅垂线顺时针旋转至，且始终保持灯线绷紧，若旋转后该灯管升高了，则的长为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设与交于点，过点作于，连接，在中求出，在中根据勾股定理求解.【详解】设与交于点，过点作于，连接，如图所示，则中，所以，在中，由勾股定理得，解得故选：D8. 已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线过且交于不同的两点，在线段上，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据和抛物线的方程可求得，再联立直线与抛物线的方程根据韦达定理可得，即可求，根据抛物线的定义即可得结果.【详解】由题意可得：，设，则有，则，可得，又在抛物线上，则，联立，解得或（舍去），设直线，联立方程，消去y得，则，即，故.故选：C二多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 有一组样本数据，由这组数据得到新的样本数据，则（ ）A. 新样本数据的极差是原样本数据极差的3倍B. 新样本数据的方差是原样本数据方差的3倍C. 新样本数据的中位数是原样本数据中位数的3倍D. 新样本数据的平均数是原样本数据平均数的3倍【答案】ACD【解析】【分析】根据平均数、极差、方差、中位数的定义及性质判断即可.【详解】设样本数据，的最大值为，最小值为，平均数为，中位数为，方差为，则极差为，所以新的样本数据，的最大值为，最小值为，平均数为，中位数为，方差为，则极差为，即新样本数据的极差是原样本数据极差的倍，新样本数据的方差是原样本数据方差的倍，新样本数据的中位数是原样本数据中位数的倍，新样本数据的平均数是原样本数据平均数的倍.故选：ACD10. 记为数列的前项和，下列说法正确的是（ ）A. 若对，有，则数列是等差数列B. 若对，有，则数列是等比数列C. 已知，则是等差数列D. 已知，则是等比数列【答案】AC【解析】【分析】利用等差和等比数列的定义及性质，以及等差和等比数列前项和的形式，可逐一判断.【详解】对A，由等差中项的性质，可知数列是等差数列，故A正确；对B，若，满足，但不为等比数列，故B错误；对C，当时，当时，时符合该式，易知是以为首项，为公差的等差数列，故C正确；对D，当时，时，时符合该式，当时，易知是以为首项，为公比的等比数列，当时，则是等于零的常数列，故D错误.故选：AC.11. 如图，棱长为2的正方体中，为线段上动点（包括端点）则下列结论正确的是（ ）A. 当点为中点时，B. 当点在线段上运动时，点到平面的距离为定值C. 当点为中点时，二面角的余弦值为D. 过点平行于平面的平面截正方体截得多边形的周长为【答案】ABC【解析】【分析】求得位置关系判断选项A；求得点到平面的距离变化情况判断选项B；求得二面角的余弦值判断选项C；求得截面多边形的周长判断选项D.【详解】对于，当点为中点时，由于为正方形，所以，又，所以，故A正确；对于，由于，平面，平面则 平面，又，所以在任何位置时到平面的距离为定值，故B正确；对于，易得平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，由平面可得，则为二面角的平面角， ，故C正确；对于，连接.因为，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面则 平面，又平面，平面，平面，则平面平面，则截面为，所以截面周长为，故错误.故选：ABC12. 已知为双曲线上的动点，过点作的两条渐近线的垂线，垂足分别为，设直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】求出双曲线的渐近线即可判断选项A；根据渐近线的方程即可判断选项B；根据条件得出，利用平面向量的数量积公式即可判断选项C；利用余弦定理和基本不等式即可判断选项D.【详解】双曲线的渐近线方程为，即，故正确；分别与两条渐近线垂直，故B错误；设，则，即， ，故C正确；当且仅当时等号成立，故D正确故选：三填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填写在答题卡相应位置13. 甲乙两名实习生每人各加工一个零件，若甲实习生加工的零件为一等品的概率为，乙实习生加工的零件为一等品的概率为，两个零件中能否被加工成一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为_【答案】【解析】【分析】两个零件中恰好有一个一等品，即甲加工的零件为一等品且乙加工的零件不是一等品，或乙加工的零件为一等品且甲加工的零件不是一等品，计算概率即可.【详解】甲加工的零件为一等品且乙加工的零件不是一等品的概率为，乙加工零件为一等品且甲加工的零件不是一等品的概率为，所以两个零件中恰好有一个一等品的概率为.故答案为：.14. 写出与圆和都相切的一条直线的方程_【答案】#【解析】【分析】判断两个圆是相离的，得到应该有四条公切线，画出图形易得或为公切线，设切线方程为，根据圆心到直线的距离等于半径列出关于方程组，求解.【详解】因为圆的圆心为，半径圆的圆心为，半径又因为所以圆与圆相离，所以有4条公切线.画图为：易得或是圆和的公切线设另两条公切线方程：圆到直线的距离为圆到直线的距离为所以所以或或当时所以，切线方程为当时所以所以所以或当时，切线方程为当时，切线方程为故答案为：或或或15. 已知是各项为整数的递增数列，且，若，则的最大值为_【答案】7【解析】【分析】先由题意确定数列是公差为1的等差数列，进而求得的最大值.【详解】数列是递增整数数列，要取最大，递增幅度尽可能为小的整数，假设递增的幅度为，则，数列为递增数列，即为最大值故答案为：716. 已知正三棱柱的所有棱长为，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为_【答案】【解析】【分析】根据题意结合正三棱柱的性质和球的性质即可求解.【详解】设的中点为，易知，又因为面面，且面面，所以面，所以题中所求交线即为以为圆心，为半径的一段圆弧设该圆弧与的交点分别为，球与侧面的交线如图所示，则，易知，所以该圆弧所对的圆心角为，故所求弧长为，故答案为：.四解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤17. 已知是公差为的等差数列，是数列的前项和，是公比为的等比数列，且（1）求；（2）若，证明：【答案】（1）2； （2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由,，得，再根据，得到即可. （2）由两式相除得，再将和代入，得，再由得即可.【小问1详解】由等差数列得,又，得，又，得，因此.【小问2详解】证明：由两式相除得，即，则，因此再由得，即18. 已知两点及圆为经过点的一条动直线（1）若直线经过点，求证：直线与圆相切；（2）若直线与圆相交于两点，从下列条件中选择一个作为已知条件，并求的面积条件：直线平分圆；条件：直线的斜率为【答案】（1）证明见解析； （2）任选一条件，面积都为.【解析】【分析】(1)求出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，与半径比较得出结论；(2) 选择条件可得直线过圆心，直线的方程为，利用点到直线的距离和三角形面积公式即可求解；若选择条件：若直线的斜率为，则直线的方程为，利用点到直线的距离和三角形面积公式即可求解；【小问1详解】若直线经过点，则直线的方程为，即由题意，圆的圆心为，半径，则圆心到直线的距离为，所以直线与圆相切【小问2详解】选择条件：若直线平分圆，则直线过圆心，直线的方程为，点到直线的距离，所以选择条件：若直线的斜率为，则直线的方程为，此时圆心在直线上，则，点到直线的距离，所以19. 已知数列的前项和（1）求数列的通项公式；（2）设各项均为正数的等比数列的前项和为，且成等差数列，求【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）利用数列通项与前项和的关系即可求得数列的通项公式；（2）先利用题给条件求得等比数列的首项与公比的值，再利用公式即可求得等比数列的前项和.【小问1详解】当时，；当时，满足，故数列的通项公式【小问2详解】设等比数列的公比为，因为成等差数列，所以，即因为，所以联立，解之得或（舍）所以20. 如图，已知四边形和四边形都是直角梯形，设分别为的中点（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）依题意可得平面，即可得到，再判断是等边三角形，得到，即可得到平面，从而得到，即可得到平面，从而得证；（2）建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【小问1详解】证明：由于，平面，则平面，又平面，所以又，所以，则是等边三角形，则，因为平面平面，所以平面，因为平面，所以，又因为平面平面，所以平面，因为平面，故；【小问2详解】解：由于平面，如图建立空间直角坐标系，于是，则，设平面的法向量，则，令，则，平面的法向量，设与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为21. 从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：质量指标值分组频数62638228（1）在下表中作出这些数据的频率分布直方图；（2）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）已知在这些数据中，质量指标值落在区间内的产品的质量指标值的平均数为94，方差为40，所有这100件产品的质量指标值的平均数为100，方差为202，求质量指标值在区间内的产品的质量指标值的方差【答案】（1）答案见解析 （2）平均数100，方差为104. （3）300【解析】【分析】（1）计算每组频率，从而画出频率分布直方图；（2）由频率分布直方图中的数据结合平均数，方差的求法求解即可；（3）先计算区间内的平均数以及，再由方差公式求解.【小问1详解】由题意可知，分组，对应的频率分别为.则频率分布直方图如下图所示：【小问2详解】质量指标值的样本平均数为质量指标值的样本方差为【小问3详解】由题，质量指标值落在区间内的产品有70件，设质量指标值分别为，则平均数为，方差为，质量指标值落在区间内的产品有30件，设质量指标值分别为，则平均数为，方差为，设这100件产品的质量指标值的平均数为，方差为，则，所以，又因为，则，又因为，则，所以22. 已知抛物线的焦点为，直线，点，点在抛物线上，直线与直线交于点，线段的中点为（1）求的最小值；（2）若，求的值【答案】（1）4 （2）2【解析】【分析】（1）求出抛物线的准线方程，设点和点到准线的距离为，由抛物线定义得到，求出；（2）设点，由向量比例关系求出，代入抛物线方程，结合点在直线上，化简得到，同理得到，故是关于的方程，求出两根之和.【小问1详解】依题意，抛物线准线方程为设点到准线的距离为，点到准线的距离为由抛物线的定义可知，故的最小值为4【小问2详解】设点，且，则，因为，所以，因此，即，又在抛物线上，所以，故由于点在直线上，所以，把此式代入式并化简得：，同理由可得，由得是关于的方程的两根，此时判别式大于0，由根与系数的关系，得【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围