上海市南洋中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题.docx

高一年级数学学科期末考试试题（满分100分，考试时间100分钟）一、填空题：（本题满分40分，1-8每题3分，9-12每题4分）1. 已知集合，则_【答案】【解析】【分析】利用交集的定义进行求解.【详解】因为，所以.故答案为：.2. 已知扇形的弧长为，其圆心角为，则该扇形的面积是_【答案】【解析】【分析】计算出扇形的半径，利用扇形的面积公式可求得该扇形的面积.【详解】扇形圆心角的弧度数为，故该扇形的半径为，因此，该扇形的面积为.故答案为：.3. 不等式的解集为_【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用指数函数单调性求解不等式作答.【详解】函数在R上单调递增，则，即，解得，所以原不等式的解集为.故答案：4. 已知角的终边与单位圆的交点的横坐标为，则_【答案】或【解析】【分析】利用任意角的三角函数的定义及同角三角函数的平方关系即可求解.【详解】由三角函数的定义知，所以是第一象限角或第四象限角.由得，如果是第一象限角，那么.于是.如果是第四象限角，那么.于是.故答案为：或.5. 函数的严格减区间是_.【答案】【解析】【分析】先由函数解析式，求出定义域，再由对数型复合函数单调性的判定方法，即可求出减区间.【详解】由可得，解得，即的定义域为，令，则是开口向下，对称轴为的二次函数，所以在上单调递增，在上单调递减，又是增函数，所以函数的严格减区间是.故答案为：6. 设（为常数），则“函数的图象经过点”是“函数为偶函数”的_条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）【答案】充要【解析】【分析】利用偶函数的性质结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】若函数的图象经过点，即，对任意的，则，对任意的，则，此时函数为偶函数，所以，“函数的图象经过点”“函数为偶函数”；若函数为偶函数，又因为，则，所以，“函数的图象经过点”“函数为偶函数”.所以，“函数的图象经过点”是“函数为偶函数”的充要条件.故答案为：充要.7. 若时，对数函数的值总大于0，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据对数函数定义，对的取值范围进行分类讨论即可得出结果.【详解】由对数函数定义可知，且；当时，函数在上为单调递减，若，则，不合题意；当时，函数在为单调递增，若，则，满足题意，此时，解得或；即实数的取值范围是8. 已知函数，若函数过点，那么函数一定经过点_【答案】【解析】【分析】本道题将点坐标代入,得到,即可.【详解】将代入中,得到得到,所以,故一定经过点.【点睛】本道题考查了抽象函数过定点问题,关键在于把点坐标代入抽象函数解析式中,难度中等.9. 已知函数在区间上存在一个零点，用二分法求该零点的近似值，其参考数据如下：，据此可得该零点的近似值为_（精确到）【答案】【解析】【分析】利用零点存定理即可得解.【详解】因为，即，所以由零点存在定理可知的零点在之间，近似值为.故答案：.10. 设，方程的解是_【答案】或【解析】【分析】分类讨论求解绝对值不等式即可.【详解】当时，解得，舍去.当时，解得，符合.当时，解得，舍去.当时，解得.综上：或.11. 若在上是严格增函数，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据题意，由函数在上是严格增函数，列出不等式，即可得到结果.【详解】因为函数在上是严格增函数，则，解得所以实数的取值范围是故答案为: 12. 如果函数和的图象上分别存在点和关于轴对称，则称函数和具有关系若函数和不具有关系，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】关于轴对称的函数与没有交点，转化为方程无解，分离参量解决.【详解】若函数和不具有关系，所以关于轴对称函数与没有交点即方程无解.令，所以所以变为即方程无解所以函数与没有交点画图为：所以，实数的取值范围是.故答案为：二、选择题：（本题满分14分，13-14每题3分，15-16每题4分）13. 下列不等式中，解集为的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】对于ABD，举反例排除即可；对于C，利用分式不等式的解法求解即可.【详解】对于A，令，则，满足，所以其解集不为，故A错误；对于B，令，则，满足，所以其解集不为，故B错误；对于D，令，则，满足，所以其解集不为，故D错误；对于C，由得，即，解得，故其解集为，故C正确.故选：C.14. 要证明命题“所有实数的平方都是正数”是假命题，只需（ ）A. 证明所有实数的平方都不是正数B. 证明平方是正数的实数有无限多个C. 至少找到一个实数，其平方是正数D. 至少找到一个实数，其平方不是正数【答案】D【解析】【分析】全称命题是假命题，则其否定一定是真命题，判断选项.【详解】命题“所有实数的平方都是正数”是全称命题，若其为假命题，那么命题的否定是真命题，所以只需“至少找到一个实数，其平方不是正数.故选：D15. 若函数与在区间上都是严格减函数，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由一次函数及反比例函数的单调性，结合图像变换即可得到实数的取值范围.【详解】函数的图像关于对称，所以当，y随x的增大而减小，当，y随x的增大而增大.要使函数在区间上都是严格减函数，只需；要使在区间上都是严格减函数，只需；故a的范围为.故选：D16. 中国传统文化中很多内容体现了数学中的“对称美”，太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美定义图象能够将圆（为坐标原点）的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数”，给出下列命题：对于任意一个圆，其“太极函数”有无数个；函数可以是某个圆的“太极函数”；函数可以同时是无数个圆的“太极函数”；函数是“太极函数”的充要条件为的图象是中心对称图形其中正确结论的序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据“太极函数”的定义对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】，过圆心的直线都可以将圆的周长和面积等分成两部分，所以对于任意一个圆，其“太极函数”有无数个，正确.，所以定义域为，所以是定义在上的奇函数，图象关于原点对称，所以在上递减，画出大致图象如下图所示，由图可知， 是太极函数，正确.，函数，的定义域为，所以是偶函数，图象关于轴对称，所以函数不是某个圆的太极函数.，是奇函数，图象关于原点对称，但不是太极函数，如图所示，所以错误.所以正确的为.故选：A三、解答题：（46分）17. 已知函数的值域为，（1）求实数的值；（2）求函数，的最小值【答案】（1） （2）当时，.当时，.【解析】【分析】（1）根据指数函数的值域求解即可.（2）分类讨论求解最小值即可.【小问1详解】因为函数的值域为，所以，即.【小问2详解】，当时，.当时，.18. 已知定义域为的函数，当时，（1）若函数是偶函数，求；（2）是否可能是奇函数？若可能，求的表达式；若不可能，请说明理由【答案】（1） （2）见解析.【解析】【分析】（1）根据偶函数满足的关系式可得代入求解.（2）奇函数，求出时的解析式，当时，根据代入求解析式.【小问1详解】因为函数是偶函数所以【小问2详解】可能为奇函数因为是奇函数，所以，即当时，根据奇函数的表达式得综上：19. 已知函数的图像关于原点对称，其中为常数.（1）求的值；（2）若时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）1；（2）【解析】【分析】（1）函数图象关于原点对称，则其为奇函数，根据奇函数定义可求得；（2）求得的最大值即可得【详解】函数图象关于原点对称，它是奇函数，在函数定义域内恒成立，时，不合题意，时，定义域是，符合题意（2）由（1）恒成立，而在上，是减函数，即的取值范围是【点睛】本题考查对数函数的性质，考查函数的奇偶性，解题时由奇函数定义求得参数，由对数函数的单调性求得函数的最值（需稍改变函数定义域）从而求得的取值范围20. 研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数与听课时间（单位：分钟）之间的变化曲线如图所示，当时，曲线是二次函数图像的一部分；当时，曲线是函数图像的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”.（1）求函数的解析式；（2）在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？（精确到1分钟）【答案】（1）；（2）14分钟.【解析】【分析】（1）根据题意，分别求得和上的解析式，即可求解；（2）当和时，令，求得不等式的解集，即可求解.【详解】（1）当时，设函数，因为，所以，所以，当时，由，解得，所以，综上，函数的解析式为.（2）当时，令，即，解得或（舍去），所以，当时，令，得，所以，所以学生处于“欠佳听课状态”的时间长为分钟.21. 设，函数的表达式为，函数的表达式为，有四个零点，设为.（1）求实数的取值范围；（2）求的取值范围【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据题意，做出图像，结合图像即可得到的取值范围；（2）根据题意，利用韦达定理，求得，和的关系，将目标式转化为关于的函数，借助对勾函数的单调性，即可求得结果.【小问1详解】根据题意，令，解得或，不妨设做图如下：又直线的斜率为，数形结合可知，要满足题意，；【小问2详解】由题意可知，为方程，即的两根，当时，则，故；为方程，即的两根，当时，则，故；则，令，由对勾函数单调性可知在上单调递减，又，故，即的取值范围为.