高三数学二轮专题复习15 利用导数研究函数的性质.docx

函数与导数利用导数研究函数的性质专题综述导数是研究函数的便捷工具，利用导数研究函数的性质，如单调性、极值、最值，再利用函数性质求参数的取值范围、求零点个数、进行不等式的证明等应用.解决函数问题的第一步也是关键的一步是，如何利用导数研究函数的单调性，明确了函数的单调性就可进一步研究函数的其他性质.对于函数的极值问题，要明确的同时，的左右两侧是否单调性相反；函数的最值问题，可能取最值的点在区间端点处或极值点处（若区间上存在极值），需比较端点处或极值点处函数值的大小.本专题重点探究，利用导数求含参函数的单调性及其最值问题.专题探究探究1：求含参函数的单调性对于不能用单调性的性质判断单调性的函数，用导数判断单调性，求导函数，对导函数的解析式化简变形，取符号不确定的因式，设为，解不等式.答题方法： 第一种:不等式为含参的一元二次不等式：若能变形为，讨论的正负及的大小关系；若不能变形，则讨论的正负；第二种: （或）恒成立：求的最值，证明的不等式恒成立；通过放缩证明（或）恒成立；第三种:求的零点，解出不等式：求，判断函数的单调性；直接求出零点（如，1为函数的一个零点）；若出现隐零点问题，则利用设而不求思想解决（专题1.3.9）. 第四种: 若，则即为同号，转化为求两个函数零点，并比较零点大小，从而写出解集，若含参数，则需分类讨论（如当时解不等式，分为与讨论）. （2021江苏苏州模拟）已知函数在上可导其中是自然对数的底数（1）讨论函数的单调性；（2）当且时，证明：恒成立.【审题视点】（1）求导函数，化简变形，选择合适的方法讨论；（2）已知参数，不含参，证明不等式不需要讨论，不等式左右两侧都有项，可以将两侧合二为一，构造函数求最值证明不等式.【思维引导】对导函数的解析式化简变形： 讨论方程的根，由 可得，讨论的取值以0为分界若存在，与比较大小，写出解集.【规范解析】对导函数的解析式先化简变形，再解不等式解：（1）由题意得 形如的不等式，可拆解为或，分别求出与的零点，写出解集当时，令，则，在区间上单调递增，在区间上单调递减当时，令得，i) 当即时，恒成立，在上单调递增；当函数的零点只有一个时，比较两个零点的大小，写出解集ii）当即时，令，得或在区间，上单调递增，在区间上单调递减iii）当即时，令，得或，在区间，上单调递增，在上单调递减 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增;当时，在上单调递增;当时，在，上单调递增，在上单调递减;当时，在，上单调递增，在上单调递减.（2）当且时，则设，则当时，恒成立在区间上单调递增当时，即当且时恒成立.【探究总结】解不等式的关键是对化简变形，去除符号确定的因式，简化不等式，根据不等式的结构，选择合适的方法.理清上述方法的思路，关键是分类讨论要确定讨论区间，做到不重不漏. （2021广东汕头月考）已知函数（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，求的取值范围.探究2：已知函数的极值、最值求参1.无论是求函数的极值、最值，还是已知函数的极值、最值求参，基本思路是一致的：先判断函数的单调性，明确极值点或最值点，求出极值或最值（有参数，则含参表示）.答题思路： 第一步: 解不等式，判断函数单调性；第二步: 利用单调性判断极值点或最值点；第三步: 求出含参的极值或最值与已知的极值最值相等，求出参数的值或取值范围.强调：（1）求函数的最值（闭区间）区间上单调：端点处取最值；区间上先增后减（先减后增）：极值点处取最大值，比较左右端点处的函数值得出最小值（极值点处取最小值，比较左右端点处的函数值得出最大值）；区间上增减增（或减增减）：比较极值与端点处函数值，即可得最值；2.已知函数极值点个数求参已知函数极值点个数转化为导函数零点个数，转化已知函数零点个数求参的问题上去.第一步: 令导函数，化简变形构造函数或分离参数使参数；第二步: 判断函数的单调性，利用零点存在性定理，判断函数零点个数是否满足条件，求参；或转化为图象交点问题解决.（2021安徽合肥月考）已知，（1）当时，求证：不等式在上恒成立；（2）若，是否存在实数，使得在的最小值是3，若存在，求的值，若不存在，请说明理由【审题视点】 （1）证明不等式即：对不等式进行适当变形（不等式两边同除以或乘以某个因式），对不等式左边构造函数求最小值，若最小值大于零，则不等式成立；若构造一个函数难以求最值，则不等式两侧分别构造函数，证明两个函数最值间的不等关系.（2）转化为已知函数的最小值为3，求参数的值.【思维引导】（1）证明不等式恒成立问题，本质上是求函数最值问题，总体思路是对不等式变形，若只够造一个函数，尽量使前不含，使导函数中不含，方便解不等式；或者变形为的形式，证明.（2）判断的单调性，求出的最小值含参表示，令求.【规范解析】证明不等式：转化为求函数最值，若构造一个函数，求最值难度大，转化为两个函数比较最值解：（1）当时， ，若，则设，令，则在区间上单调递增，在区间上单调递减设，令，则分别判断函数的单调性，并求最值，比较最值在上单调递增，当时，不等式在上恒成立；解不等式需分类讨论，故讨论的取值可分两个区间（2）由题意得 ，设存在实数，使得在的最小值是3，又，当时，令，求出进行取舍在上单调递减，解得（舍）；当时，令，则在上单调递减，在上单调递增，解得；综上所述：存在实数【探究总结】不等式证明、恒成立求参问题、形如“”的命题都要转化为求函数最值问题解决，求导判断函数单调性，求出函数最值，利用最值比较大小证明不等式或求出参数的取值范围.而已知最值求参数的思路：含参讨论函数单调性，并带参表示最值，与已知最值相等，求出参数与给定范围比较，进行取舍.(2021安徽蚌埠月考) 已知函数（1）求证：当时，函数在内单调递减；（2）若函数在区间内有且只有一个极值点，求的取值范围 专题升华导数研究函数的性质的落脚点是研究函数的单调性，已知函数在区间上连续，则当时，函数单调递增，当时，函数单调递减；反之当函数单调递增时，恒成立，当函数单调递减时，恒成立.通过解不等式，求出函数的单调区间，不等式解集需借助导函数的零点表示，故在解不等式的过程中：若不等式为一元二次不等式，或简单的指对不等式，可直接求出解集；若不等式较复杂，要转化为构造函数，研究函数的零点（利用零点存在性定理判断零点是否存在及个数，带特殊值验证函数值是否为0，求出零点，若出现“隐零点”，运用设而不求的思想表示零点），借助零点求出（或）的解集，判断原函数的单调性.解决导数问题难度较大，综合性强，关键是理清每一环节的思路，万变不离其宗.【答案详解】变式训练1【解析】解：（1）当时，故单调递增，又，当时，单调递减，当时，单调递增.（2）由得，当时，不等式为：，成立；当时， ，设，则，令，则，故单调递增，故函数单调递增，由可得：恒成立，故当时，单调递增；当时，单调递减；，综上所述：实数的取值范围是变式训练2【解析】证明：函数的定义域为，当时，设，则，则当时，函数单调递增;当时，函数单调递减，所以在内，函数的最大值为，当时，由于，所以时，所以函数在上单调递减.解：，设，若函数在区间内有且只有一个极值点，则函数在区间上有且只有一个零点，且在这个零点两侧异号，令，可得，则方程有两个不等实根，且不为0，则，是函数的两个零点，则函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增，由于，是方程的两根，且，则，又，则，若函数在区间上有且只有一个零点，则，解得，当时，即；时，即；故当时，函数在区间内有且只有一个极值点；所以的取值范围是