湖南省岳阳市第一中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题.docx

2022-2023岳阳市一中高二期末试题数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知，则在y轴上的截距是3，且经过线段AB的中点的直线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据中点坐标公式可得直线在轴截距，根据截距式即可求解直线的截距式方程.【详解】由中点坐标公式可得线段AB的中点为，故可知轴上的截距为4，故直线的方程为.故选：B2. 如图，在平行六面体中， AC与BD的交点为M.设，则下列向量中与相等的向量是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据代入计算化简即可.【详解】故选：B.3. 等比数列的各项均为正数，且，则（ ）A. 5B. 10C. 4D. 【答案】A【解析】【分析】利用等比数列的性质及对数的运算性质求解.【详解】由题有，则 =5. 故选：A4. 双曲线的焦点到渐近线的距离为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意，由双曲线的标准方程可得双曲线的焦点坐标以及渐近线方程，由点到直线的距离公式计算可得答案.【详解】解：根据题意，双曲线的方程为，其焦点坐标为，其渐近线方程为，即，则其焦点到渐近线的距离；故选D.【点睛】本题考查双曲线的几何性质，关键是求出双曲线的渐近线与焦点坐标.5. 椭圆的焦距为2，则的值等于（ ）.A. 5B. 8C. 5或3D. 5或8【答案】C【解析】【分析】分焦点在轴，轴上两种情况，利用，即可求出的值.【详解】当焦点在轴上时：，解得：，当焦点在轴上时：，解得：，所以或，故选：C【点睛】本题主要考查了椭圆的简单几何性质，属于基础题.6. 中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，古代用它作为长方棱台（上、下底面均为矩形的棱台）的专用术语，关于“刍童”体积计算的描述，九章算术注曰：“倍上袤，下袤从之，亦倍下袤，上袤从之，各以其广乘之，并，以高若深乘之，皆六而一”即：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘，把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一现有一外接球的表面积为的“刍童”如图所示，记为四棱台，其上、下底面均为正方形，且，则该“刍童”的体积为（ ）A. 224B. 448C. 或448D. 或224【答案】C【解析】【分析】连接，交于点，连接，交于点，连接，确定球心在直线上，分球心在线段上或其延长线上两种情况，并利用勾股定理求出，最后根据刍童的体积公式即可求得结果【详解】连接，交于点，连接，交于点，连接，则由球的几何性质可知，刍童外接球的球心必在直线上，由题意可得，设球的半径为，由，得连接，在中，即，得中，即，得当球心在线段上时，则该刍童的体积；当球心在线段的延长线上时，则该刍童的体积为故选：C7. 已知，则a，b，c的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据给定条件构造函数，再探讨其单调性并借助单调性判断作答.【详解】令函数，求导得，令，则，故，单调递减，又，故，即，而，则，即，所以，故选：A8. 如图，四边形为正方形，四边形为矩形，且平面与平面互相垂直.若多面体 的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，设出正方形边长和矩形的高，根据体积公式，求得等量关系；再找到球心，求得半径，利用导数求函数的最小值，则问题得解.【详解】根据题意，连接交于点，过作/交于点，交于，连接.因为四边形正方形，故可得，又因为平面平面，且交线为，又平面，故平面，不妨设，故可得多面体的体积；则，解得；又容易知多面体外接球的球心在四边形外心的垂线上，且为的中点，设外接球半径，则；将代入可得，不妨令，则，则，容易知是关于的单调增函数，且当时，故可得在上单调递减，在单调递减.故.则外接球表面积的最小值.故选：B.【点睛】本题考查棱锥体积的计算、面面垂直的性质、外接球表面积的计算、利用导数求函数的最值，属压轴题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 设函数的导函数为，则（ ）A. B. 是函数的极值点C. 存在两个零点D. 在(1，+)上单调递增【答案】AD【解析】【分析】首先求函数的导数，利用导数和函数的关系，即可判断选项.【详解】，所以函数在上单调递增，所以函数不存在极值点，故B错误，D正确；，故A正确；，得，中，所以恒成立，即方程只有一个实数根，即，故C错误.故选：AD10. 如图，正方体的棱长为2，动点P，Q分别在线段，上，则下列命题正确的是（ ）A. 直线BC与平面所成的角等于B. 点到平面的距离为C. 异面直线和所成的角为.D. 线段长度的最小值为【答案】ABD【解析】【分析】根据直线和平面所成的夹角，点到平面的距离，异面直线所成的角以及异面直线距离的计算方法进行逐项判断.【详解】解：由题意得：正方体的棱长为2对于选项A：连接，设交于O点平面即为直线BC与平面所成的角，且，故A正确；对于选项B：连接，设交于O点平面点到平面的距离为,故B正确；对于选项C：连接、，由正方体性质可知故异面直线和所成的角即为和所成的角又为等边三角形故C错误；对于选项D：过作，过作，连接PQ为异面直线之间的距离，这时距离最小；设，为等腰直角三角形，则，也为等腰直角三角形，则为直角三角形故当时，取最小值，故，故D正确；故选：ABD11. 已知圆，过点的直线交圆于A，B两点，下列说法正确的是（ ）A. 当时，的最小值是B. 当时，的取值范围是C. 当时，为定值D. 当，且时，【答案】ABCD【解析】【分析】根据圆的几何性质判断A，由圆上点与圆内点的距离最值分别为过该点直径端点判断B，根据直线与圆相交，根与系数的关系，向量运算判断C，根据圆的几何性质及线段中点求解判断D.【详解】当时，则，点在圆内，当为直线AB的中垂线时，故A正确；当时，则，点在圆内，由圆的性质知，故的取值范围是，故B正确；当时，在圆外，当直线斜率存在时，设直线为，设，联立方程可得，当时，当直线斜率不存在时，直线为，则，综上为定值,故C正确；当时， ，在圆外，设且交点为，则,由知，设，则，解得，所以在直角三角形中，故，所以，故D正确.故选：ABCD12. 已知F是抛物线的焦点，过点F作两条互相垂直的直线，与C相交于A，B两点，与C相交于E，D两点，M为A，B中点，N为E，D中点，直线l为抛物线C的准线，则（ ）A. 点M到直线l的距离为定值B. 以为直径的圆与l相切C. 的最小值为32D. 当最小时，【答案】BCD【解析】【分析】设直线方程，并联立抛物线方程，利用根与系数的关系式，求得点M的横坐标，结合抛物线定义，可判断A;利用抛物线定义推得,由此判断B;计算出弦长，可得的表达式，利用基本不等式求得其最小值，判断C;求出的表达式，采用换元法，利用二次函数的单调性求得其最小值，判断D.【详解】设， ，直线的方程为，则直线的方程为,将直线的方程代入，化简整理得，则，故,所以，,因为点A到直线l的距离，点B到直线l的距离，点M到直线l的距离，又，所以，故A错误；因为，所以以为直径的圆的圆心M到l的距离为，即以为直径的圆与l相切，故B正确；同理，所以，则，当且仅当时等号成立，故C正确；.设，则，.当时，即时，最小，这时，故D正确,故选:BCD.【点睛】本题考查了抛物线的焦点弦的性质，具有较强的综合性，要求学生有较好的计算能力和思维能力，解答时要注意直线方程的设法，以及联立后结合根与系数的关系式的化简，涉及到焦半径以及弦长和距离的计算，比较繁杂，要细心运算.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.13. 圆：与圆：的公切线条数为_.【答案】3【解析】【分析】将两圆的公切线条数问题转化为圆与圆的位置关系，然后由两圆心之间的距离与两半径之间的关系判断即可.【详解】圆：，圆心，半径；圆：，圆心，半径.因为，所以两圆外切，所以两圆的公切线条数为3.故答案为：314. 在空间直角坐标系中，若三点、满足，则实数的值为_.【答案】#【解析】【分析】分析可知，结合空间向量数量积的坐标运算可求得结果.【详解】由已知可得，因为，则，即，解得.故答案为：.15. 已知椭圆的左焦点为是上关于原点对称的两点，且，则的周长为_【答案】14【解析】【分析】设椭圆的右焦点为，连接，根据椭圆的对称性可得四边形为矩形，从而可得，得出答案.【详解】设椭圆的右焦点为，连接，根据椭圆的对称性可得, 即四边形为矩形所以, 由椭圆的定义可得，所以所以的周长为：故答案为：1416. 已知函数，函数，若曲线和存在公切线，则a的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】设切点分别是，得到，化简可得a，转化为是方程的解，令，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】设，的公切线的斜率为，直线与，图象的切点分别是，若不存在，则不是图象的切线，所以存在，则，可得，所以，根据题意，此关于的方程有解；令，则有零点，因为，所以在上单调递减，在上单调递增，因为，所以有零点当且仅当，解得，即所求a的取值范围是.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共计70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 记为等差数列的前n项和，已知，（1）求的通项公式；（2）求的最小值【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用等差数列前项和公式求出公差，进而得出通项公式；（2）利用二次函数的性质求解即可【小问1详解】设公差为，解得，【小问2详解】， ，当时，最小，最小值为18. 已知圆（1）当取何值时，直线与圆相交的弦长最短.（2）求圆关于直线对称的圆的标准方程；【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）直线过定点,当时，弦长最短，圆的圆心为，可得，由，可求出；（2）设圆的圆心为，圆心与关于直线对称，可求出的坐标，再由两个圆半径相等，可求出圆的标准方程.【详解】（1）由直线，可化为，可得直线过定点,当时，弦长最短，圆的圆心为，则，因为，所以，（2）由题意，圆的圆心，半径为，设圆的圆心为，因为圆心与关于直线对称，所以，解得，则，半径， 所以圆标准方程为：【点睛】本题考查了弦长问题，考查了两圆关于直线的对称问题，考查了学生的计算求解能力，属于中档题.19. 如图所示，在直三棱柱中，分别为棱的中点.（1）求点到平面的距离；（2）求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】构建以为轴，为轴，为轴的空间直角坐标系，并根据已知确定相关点坐标，（1）求面的法向量及，利用空间向量数量积的几何意义可知到平面的距离，即可求距离.（2）求面的法向量为，面的法向量，利用空间向量夹角的坐标表示，求面与面夹角的余弦值.【详解】如图所示，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，由，得,0,，,2,，,0,，,0,，,，,2,，,0,，（1）设平面的法向量为,，则，取，得,0,，点到平面的距离为.（2）,2,，,0,，则,2,，,0,，设平面的法向量为,，则，取，得，,，而平面的法向量,1,，设平面与平面夹角为，则平面与平面夹角的余弦值为：.20. 已知数列满足，且，是的前n项和（1）求；（2）若为数列的前n项和，求证：【答案】（1）； （2）证明见解析.【解析】【分析】（1）运用累和法、裂项相消法进行求解即可；（2）根据放缩法，结合、裂项相消法进行运算证明即可.【小问1详解】，由上述个等式相加得，；【小问2详解】，.21. 已知两定点,满足条件的点P的轨迹是曲线E,直线y=kx-1与曲线E交于A,B两点,(1)求k的取值范围;(2)如果,且曲线E上存在点C,使,求m的值和的面积S【答案】（1）；（2），面积为.【解析】【分析】（1）由双曲线的定义得其方程为，由于直线和双曲线相交于左支，且有两个交点，故联立直线的方程和双曲线的方程，消去后得到关于的一元二次方程的判别式大于零，且韦达定理两根的和小于零，两根的积大于零，由此列不等式组，求解的的取值范围；（2）利用弦长公式计算得直线斜率.由题设向量关系，得到，代入双曲线方程，求得，利用面积公式求得面积为.【详解】解：（1）由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的左支，且，得，故曲线的方程为；设，由题意建立方程组，消去，得，又直线与双曲线左支交于两点，有，解得，（2），依题意得，整理后得，或，但，故直线的方程为，设，由已知，得，又，点，将点的坐标代入曲线的方程，得得，但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意，点的坐标为，到的距离为，的面积.22. 函数，.（1）试讨论的单调性；（2）若恒成立，求实数的集合；（3）当时，判断图象与图象的交点个数，并证明.【答案】（1）当时，在 上是减函数，在上是增函数，当时，在上是减函数；（2）；（3）2，证明见解析.【解析】【分析】（1）求导，利用解不等式，分类讨论即可；（2）利用（1）中的单调性结论求的最小值，可得关于的不等式，再解关于的不等式即可；（3）令，原问题转化为的根的个数问题，讨论的单调性，找出根的个数即可.【详解】（1）定义域为： ，由得： ，当时， 在 上是减函数，在上是增函数，当时， 在上是减函数，当时，在上是减函数，综上所述，当时，在 上是减函数，在上是增函数， 当时，在上是减函数.（2）由（1）知，当时，由恒成立得，设，由得：， 在 上是增函数，在上是减函数，要使恒成立，则，当时，在上是减函数，且，当，不合题意，综上所述，实数的集合；（3）原问题可转化为方程的实根个数问题，当时，的图象与的图象有且仅有2个交点，理由如下：由得，令，因为，所以是的一根， ，当时，所以，在上单调递减，即在上无实根；，当时，所以在上单调递增，又，所以在上有唯一实数根 ，且满足，当时，在上单调递减，此时，在上无实根；当时，在上单调递增，此时，故在上有唯一实根；，当时，由（1）知，在上单调递增，所以，故即上无实根；综合，得，有且仅有两个实根，即的图象与的图象有且仅有2个交点.【点睛】（1）此题考导数与函数的综合应用，找到合适的分类标准是解此题的关键；（2）关于恒成立问题，我们首先看能否分离参数，不能分离参数时要分类讨论，注意分类要做到不重复，不遗漏；（3）关于两个函数的交点个数问题，我们一般采用画图法，如果不能画图，构造一个函数，讨论的根的个数问题.