3.4 拉格朗日中值定理及应用.pdf
公众号：凌晨讲数学公众号：凌晨讲数学1第第 4 4 讲：拉格朗日中值定理及应用讲：拉格朗日中值定理及应用本节主要讲述拉格朗日中值定理在函数与导数命题中的应用本节主要讲述拉格朗日中值定理在函数与导数命题中的应用.实际上，关于拉格朗日中实际上，关于拉格朗日中值定理在导数题目中的应用，目前谈论最多的应该是一类割线斜率恒成立问题，例如值定理在导数题目中的应用，目前谈论最多的应该是一类割线斜率恒成立问题，例如 2012018 8年全国年全国 1 1 卷，但是，仅就拉格朗日中值定理来讨论割线斜率恒成立问题又是不严谨的，即卷，但是，仅就拉格朗日中值定理来讨论割线斜率恒成立问题又是不严谨的，即用该定理来解决这类问题会犯错！所以，这类不严谨的做法不是本文讨论的重点，仅在文用该定理来解决这类问题会犯错！所以，这类不严谨的做法不是本文讨论的重点，仅在文末会给出例子说明末会给出例子说明.本节的重点是围绕两道高考真题谈论拉格朗日中值定理在导数命题中本节的重点是围绕两道高考真题谈论拉格朗日中值定理在导数命题中最重要的两个应用：利普希茨条件和刘维尔不等式最重要的两个应用：利普希茨条件和刘维尔不等式.因此，本文的基本构架如下：因此，本文的基本构架如下：1.1.拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理2.2.利普希茨条件与利普希茨条件与 20192019 天津卷导数题天津卷导数题3.3.刘维尔不等式与刘维尔不等式与 20172017 天津卷导数题天津卷导数题4.4.割线斜率与割线斜率与 20182018 全国一卷导数题全国一卷导数题一基本命题原理一基本命题原理（公众号：凌晨讲数学）（公众号：凌晨讲数学）1.1.拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理（1 1）若若函数函数)(xf在区间在区间ba,满足以下条件：满足以下条件：i)i).在在ba,上可导；上可导；ii)ii).在在ba,上连续上连续，则必有一则必有一存在存在ba,使得使得abafbff)()()(（2 2）几何意义几何意义：在满足定理条件的曲线上在满足定理条件的曲线上)(xfy 至少存在一个点至少存在一个点)(,(fP,该曲线在该曲线在该点处的切线平行于曲线两端的连线该点处的切线平行于曲线两端的连线 ABAB（如图如图）.2.2.利普希茨条件：若利普希茨条件：若函数函数)(xf在区间在区间ba,满足满足可导，且可导，且mxf)(，则，则)()()(abmafbf.进一步，若满足进一步，若满足Mxf|)(|，则，则)(|)()(|abMafbf.上述结论由拉格朗日中值定理易证，若导函数有界，自然可得上述结论由拉格朗日中值定理易证，若导函数有界，自然可得.3.3.（1 1）代数数与超越数代数数与超越数：代数数为整系数多项式的复根代数数为整系数多项式的复根，不是代数数的称为超越数不是代数数的称为超越数，如自如自然对数然对数e.（公众号：凌晨讲数学）（公众号：凌晨讲数学）（2 2）刘维尔不等式刘维尔不等式：设实数设实数)(Q满足满足：NNn,都存在都存在NqZp,，且且qp,互互质，使得质，使得nNqqp1|，那么，那么是一个超越数是一个超越数.公众号：凌晨讲数学公众号：凌晨讲数学2注：刘维尔定理的证明借助拉格朗日定理可实现，下面给出证明注：刘维尔定理的证明借助拉格朗日定理可实现，下面给出证明.证明证明：假设假设是某个整系数多项式是某个整系数多项式01)(axaxaxfnn 的零点的零点，考虑考虑的某个邻域的某个邻域 1,1a，则，则1),(,1,1qpqp，NqZp,，考虑拉格朗日中值定理，考虑拉格朗日中值定理可得：可得：),(|,)(|)()(qpfqpqpff，由多项式函数的连续性可知：，由多项式函数的连续性可知：Mf|)(|，故故Mqpffqpfqp)()()(nnnnnMqqapqapa|011 ，由于，由于NqZp,，故，故nnnnqapqapa011 为正整数为正整数，则则1011 nnnnqapqapa，代入上式可得代入上式可得：nnnnnnMqMqqapqapa1|011 .故此时故此时，不能满足题干内容不能满足题干内容，故故是一个超越数是一个超越数.注注：从定理的证明过程可以看到从定理的证明过程可以看到：第第 1 1，拉格朗日中值定理是构造毕竟不等式拉格朗日中值定理是构造毕竟不等式nNqqp1|的关键的关键.第第 2 2，多项式导数在闭区间上的的有界性也是实现这个定理证明的关键步骤多项式导数在闭区间上的的有界性也是实现这个定理证明的关键步骤.在下面在下面的的 20172017 年天津卷的解答过程中年天津卷的解答过程中，我们将看到命题人是如何设计题目我们将看到命题人是如何设计题目，将这两个关键步骤逐将这两个关键步骤逐次展开，完成题目命制次展开，完成题目命制.（公众号：凌晨讲数学）（公众号：凌晨讲数学）二命题手法分析二命题手法分析手法手法 1.1.刘维尔不等式刘维尔不等式例例 1.1.（20172017 天津）设天津）设Za，定义在，定义在R上的函数上的函数axxxxxf6332)(234在区间在区间(1,2)内有一个零点内有一个零点0 x，()g x为为()f x的导函数的导函数.（1 1）求）求()g x的单调区间；的单调区间；（2 2）设）设001,)(,2mxx，函数，函数0()()()()h xg x mxf m，求证：，求证：0()()0h m h x；（3 3）求证求证：存在大于存在大于 0 0 的常数的常数A，使得对于任意的正整数使得对于任意的正整数,p q，且且001,)(,2,pxxq满足满足041pxqAq.（公众号：凌晨讲数学）（公众号：凌晨讲数学）公众号：凌晨讲数学公众号：凌晨讲数学3解析解析（1 1）g x的单调递增区间是的单调递增区间是,1，1,4，单调递减区间是，单调递减区间是11,4.（2 2）证明：由）证明：由 0h xg xmxf m，得，得 0h mg mmxf m，000h xg xmxf m.令函数令函数 10Hxg xxxf x，则，则 10Hxgxxx.由（由（1 1）知，当）知，当1,2x时，时，0gx，故当故当01,xx时时，10Hx，1Hx单调递减单调递减；当当0,2xx时时，10Hx，1Hx单调递增单调递增.因此，当因此，当001,2xxx时，时，11000HxHxf x，可得，可得 10,0Hmh m即.令函数令函数 200Hxg xxxf x，则，则 20Hxg xg x.由（由（1 1）知，）知，g x在在1,2上上单调递增单调递增，故当故当01,xx时时，20Hx，2Hx单调递增单调递增；当当0,2xx时时，20Hx，2Hx单调递减单调递减.因此因此，当当001,2xxx时时，2200HxHx，可得可得 200,0Hmh x即.所以，所以，00h m h x.注：第二问实质就是拉格朗日中值定理注：第二问实质就是拉格朗日中值定理.（公众号：凌晨讲数学）（公众号：凌晨讲数学）（3 3）证明：对于任意的正整数）证明：对于任意的正整数p，q，且，且001,2pxxq，令令pmq，函数，函数 0h xg xmxf m.由（由（2 2）知，当）知，当01,mx时，时，h x在区间在区间0,m x内有零点；内有零点；当当0,2mx时，时，h x在区间在区间0,x m内有零点内有零点.所以所以 h x在在1,2内至少有一个零点，不妨设为内至少有一个零点，不妨设为1x，则，则 1100pph xg xxfqq.由（由（1 1）知）知 g x在在1,2上单调递增，故上单调递增，故 1012gg xg，于是于是 432234041233622ppffpp qp qpqaqqqpxqg xggq.因为当因为当1,2x时，时，0g x，故，故 f x在在1,2上单调递增，上单调递增，公众号：凌晨讲数学公众号：凌晨讲数学4所以所以 f x在区间在区间1,2上除上除0 x外没有其他的零点，而外没有其他的零点，而0pxq，故，故0pfq.又因为又因为p，q，a均为整数，所以均为整数，所以4322342336pp qp qpqaq是正整数，是正整数，从而从而43223423361pp qp qpqaq.所以所以 0412pxqgq.所以，只要取所以，只要取 2Ag，就有，就有041pxqAq.手法手法 2.2.利普希茨条件利普希茨条件上面例题便是关于刘维尔不等式在高考中的经典应用，下面我们再看以利普希茨条件上面例题便是关于刘维尔不等式在高考中的经典应用，下面我们再看以利普希茨条件为背景的为背景的 20192019 天津卷导数题天津卷导数题.例例 2.2.（20192019 天津理天津理 2020）设函数）设函数()e cos,()xf xxg x为为 f x的导函数的导函数.（1 1）求）求 fx的单调区间的单调区间；（公众号：凌晨讲数学）（公众号：凌晨讲数学）（2 2）当）当,4 2x时，证明时，证明0)2)()(xxgxf.解析解析：（2 2）记）记()()()2h xf xg xx.依题意及（依题意及（1 1），有，有()e(cossin)xg xxx，从而从而()2e sinxg xx.当当,4 2x时，时，0gx，故故()()()()(1)()022h xfxg xxg xg xx.因此，因此，h x在区间在区间,4 2 上单调递减，进而上单调递减，进而0)2()(hxh.所以，当所以，当,4 2x 时，时，0)2)()(xxgxf.注：由拉格朗日中值定理可得：注：由拉格朗日中值定理可得：)2,(),(2)()2(xfxxff，依题而，依题而)()(xgxf，故故0)2)()(xxgxf.手法手法 3.3.割线斜率割线斜率.公众号：凌晨讲数学公众号：凌晨讲数学5例例 3.3.已知函数已知函数.1ln)1()(2axxaxf（1 1）讨论函数）讨论函数)(xf的单调性；的单调性；（2 2）设设1a,如果对任意如果对任意,0,21xx,21214)()(xxxfxf,求求a的取值范围的取值范围.解析解析：（2 2）法一法一:不妨设不妨设21xx,而当而当1a时时,由由（1 1）可知可知)(xf在在,0 x单调递减单调递减,从而从而,0,21xx,（公众号：凌晨讲数学）（公众号：凌晨讲数学）21214)()(xxxfxf等价于等价于,0,21xx,11224)(4)(xxfxxf.构造函数构造函数xxfxg4)()(,只需只需)(xg在在,0 x单调递减单调递减,即即0421)(axxaxg在在,0 x恒成立恒成立,分离变量法分离变量法:212)12(1214222xxxxa,只需只需2)212)12(min22xxa.（公众号：凌晨讲数学）（公众号：凌晨讲数学）法二法二:由拉格朗日定理知由拉格朗日定理知,21214)()(xxxfxf,等价于等价于4)()(2121xxxfxf在在,0存在存在,使得使得)()()(2121fxxxfxf成立成立,只需只需4)(f恒成立恒成立,只需只需证明证明4)1(2212)(minaaxaaxxf,得得2,022aaa或或1a(舍去舍去).).需要注意的是，拉格朗日定理并不是解决这类割线斜率问题的完美解决办法，很多题需要注意的是，拉格朗日定理并不是解决这类割线斜率问题的完美解决办法，很多题目盲目使用甚至还会出错，具体错误原因请见下面参考文献目盲目使用甚至还会出错，具体错误原因请见下面参考文献.参考文献：查晓东，金沛阳参考文献：查晓东，金沛阳.割线斜率取值范围问题再研究割线斜率取值范围问题再研究.J.J.数学通讯数学通讯.2020.07.2020.07.
