重庆市为明学校2022-2023学年高二上学期期末数学试题.docx

20222023学年上期重庆市为明学校期末学情调研高二数学试卷时间：120分钟注意事项：1答卷前，考生务必将自己的班级姓名填写在答题卡上2作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效3考试结束后，将答题卡拍照上传钉钉群作业本中，拍照必须清晰一单选题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1. 直线的倾斜角为，则实数的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系求解即可.【详解】直线的斜率为.又倾斜角为,故.故选：A【点睛】本题主要考查了直线的斜率为倾斜角的正切值这一知识点,属于基础题型.2. 若椭圆的离心率为，则双曲线的渐近线方程为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】椭圆的离心率，即，所以双曲线的渐近线为故选A考点：椭圆与双曲线的几何性质3. 设数列满足：，令，则（ ）A. B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】由的值确定数列周期为，利用周期的性质得出.【详解】因为，所以，可知数列是以为周期的周期数列，所以，故选：A.4. 已知直线，圆则“”是“与相切”的（ ）A 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据题意圆心到直线的距离等于半径，可得，解得或，即可得解.【详解】圆的圆心为，半径，由直线和相切可得：圆心到直线的距离，解得，解得或，故是或的充分不必要条件，故选：B.5. 我国古代数学名著算法统宗中说：“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次第，孝和休惹外人传.”意为：“996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止.分配时一定要依照次序分，要顺从父母，兄弟间和气，不要引得外人说闲话.”在这个问题中，第5个孩子分到棉花为（ ）A. 133斤B. 116斤C. 99斤D. 65斤【答案】A【解析】【分析】根据等差数列的前n项和公式、等差数列的通项公式进行求解即可.【详解】依题意得，八个子女所得棉花斤数依次构成等差数列，设该等差数列为，公差为d，前n项和为，第一个孩子所得棉花斤数为，则由题意得，解得，故选：A6. 已知椭圆：（）的右焦点为，过点的直线交椭圆交于，两点，若的中点，且直线的倾斜角为，则此椭圆的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用直线的斜率和倾斜角的对应关系列方程，求得的值.利用点差法求得的关系式，结合求得的值，进而求得椭圆方程.【详解】，令，则，.故选A.【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆标准方程的求法，以及有关点差法的运用.题目给出直线和椭圆相交所得所得弦的中点坐标，还有直线的倾斜角，这里可以根据焦点的坐标列方程求得的值.点差法主要用在有关直线和圆锥曲线相交，所得弦的中点有关的题目.属于中档题.7. 等差数列中，若，则（ ）A. 42B. 45C. 48D. 51【答案】C【解析】【分析】结合等差数列的性质求得正确答案.【详解】依题意是等差数列，.故选：C8. 已知F1、F2是双曲线E ：( a >0， b >0）的左、右焦点，过F1的直线与双曲线左、右两支分别交于点P、Q若，M为PQ的中点，且，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题干条件得到，设出，利用双曲线定义表达出其他边长，得到方程，求出，从而得到，利用勾股定理求出的关系，求出离心率.【详解】因为M为PQ的中点，且，所以为等腰三角形，即，因为，设，则，由双曲线定义可知：，所以，则，又，所以，解得：，由勾股定理得：，其中，在三角形中，由勾股定理得：，即，解得：故选：D二多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 若等比数列的公比为，前项和为，下列结论正确的是（ ）A. 若，则；B. 当，且时，；C. 三个数成等比数列；D. 当时，为非零常数【答案】BD【解析】【分析】根据给定条件，结合等比数列的通项及性质判断A，B，C；利用等比数列前n项和公式判断D作答.【详解】等比数列的公比为，前项和为，有，对于A，由得，A不正确；对于B，当，且时，若，则，若，即，而，因此，即，B正确；对于C，当时，此时不成等比数列，C不正确；对于D，当时，令，而，即有为非零常数，D正确.故选：BD10. 下列结论正确的是（ ）A. 过点(2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为xy5;B. 已知直线kx-y-k-10和以M（-3，1），N（3，2）为端点的线段相交，则实数k的取值范围为;C. 已知ab0，O为坐标原点，点P(a，b)是圆x2y2r2外一点，直线m的方程是axbyr2，则m与圆相交;D. 若圆上恰有两点到点N（1，0）的距离为1，则r的取值范围是(4，6).【答案】CD【解析】【分析】A选项分情况讨论，直线过原点和不过原点两种情况；B选项中直线kx-y-k-10恒过点，计算即可求解；C选项中利用圆心到直线距离及点P在圆外即可判断；D选项根据以N为圆心，1为半径的圆与已知圆相交，利用圆心距与两圆的圆的半径间关系即可求解.【详解】A中直线过原点时，由两点式易得，直线方程为，故错误；B中直线kx-y-k-10可化为，所以直线恒过定点，直线与线段相交，所以或，故错误；C中圆心到直线的距离，而点P(a，b)是圆x2y2r2外一点，所以，所以，所以直线与圆相交，故正确.D中与点N（1，0）的距离为1的点在圆上，由题意知圆与圆相交，所以圆心距满足，解得，故D正确.故选：CD【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，圆与圆的位置关系，点与圆的位置关系，点到直线的距离公式，斜率公式，直线过定点，考查计算能力，属于中档题11. 已知抛物线：的焦点为F，准线为，过点F的直线与抛物线交于，两点，点在上的射影为，则下列说法正确的是（ ）A. 若，则B. 以为直径的圆与准线相切C. 设，则D. 过点与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条【答案】ABC【解析】【分析】已知抛物线的方程，利用抛物线的性质，焦点弦的性质，数形结合判断各选项【详解】取的中点，在上的投影为，在的投影为，如图所示：对于选项A，因为，所以，故A正确；对于选项B， 根据抛物线的性质，为梯形的中位线，故，以为直径的圆与准线相切，故B选项正确； 对于选项C，因为，所以，故C正确；对于选项D，显然直线，与抛物线只有一个公共点，设过的直线方程为，联立可得，令，解得，所以直线与抛物线也只有一个公共点，此时有三条直线符合题意，故D错误.故选：ABC12. 在正方体中，为的中点，在棱上，下列判断正确的是（ ）A. 若平面，则为的中点B. 平面平面C. 异面直线与所成角的余弦值为D. 若，则【答案】ABD【解析】【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，如图，设正方体的边长为，进而根据坐标法依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：根据题意，建立空间直角坐标系，如图，设正方体边长为，所以， 对于A选项，所以， 设是平面的法向量，则，即，故令，则，所以，解得，此时为的中点，故A选项正确；对于B选项，设是平面的法向量，由于，则，即，令得，由于所以，所以平面平面，故B选项正确；对于C选项，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为，故C选项错误；对于D选项，若，则，故D选项正确.故选：ABD三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 双曲线的两条渐近线的夹角的弧度数为_【答案】【解析】【分析】由双曲线方程可得渐近线方程，知两渐近线互相垂直，由此可得结果.【详解】由双曲线方程知：渐近线方程为，两条渐近线互相垂直，两条渐近线夹角的弧度数为.故答案：.14. 由正数组成的等比数列中，若，则_【答案】【解析】【分析】由已知，根据条件，借助等比中项的性质可得：，然后利用对数的运算，将原式化为，然后将代入，即可完成求解.【详解】由已知，数列为正项等比数列，所以，所以由等比中项性质可知：所以.故答案为：.15. 已知圆和圆只有一条公切线，若且，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】由题意可得两圆相内切，根据两圆的标准方程求出圆心和半径，可得，再利用“1”的代换，使用基本不等式求得的最小值【详解】解：由题意可得两圆相内切，两圆的标准方程分别为，圆心分别为，半径分别为2和1，故有，当且仅当时，等号成立，的最小值为9故答案为：【点睛】本题考查两圆的位置关系，两圆相内切的性质，圆的标准方程的特征，基本不等式的应用，得到是解题的关键和难点，属于中档题16. 如图，在中，是边上一点，且为直线上一点列，满足：，且，设数列，则的通项公式为_【答案】【解析】【分析】根据平面向量线性运算得到，结合题干条件得到，整理后得到，得到，构造法得到为等比数列，求出的通项公式.【详解】因为是边上一点，且，故，为直线上一点列，则，因为，则，故，整理得：，即，若，则，解得：，此时，解得：，故为常数为1的数列，但，不合要求，故，故，令，则，即，因此，所以为等比数列，公比为，首项为，故，故故答案为：.四解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知等差数列满足，前4项和（1）求通项公式；（2）设等比数列满足，数列的通项公式【答案】（1） （2）或【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件列关于和的方程组，解方程求得和的值，即可求解；（2）等比数列的公比为，由等比数列的通项公式列方程组，解方程求得和的值，即可求解.【小问1详解】设等差数列首项为，公差为d解得：等差数列通项公式【小问2详解】设等比数列首项为，公比为q解得：即或等比数列通项公式或18. 已知圆的圆心在直线上，且圆经过点（1）求圆的标准方程；（2）直线过点，且与圆相交所得弦长为，求直线的方程【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）设圆方程为，代入点解得答案.（2）考虑直线斜率存在和不存在两种情况，根据弦长公式计算得到答案.【小问1详解】设圆心为，半径为，则，圆经过点，则，解得，即圆的方程为.【小问2详解】当直线斜率不存在时，直线方程为，带入圆方程得到和，弦长为，不满足条件；当直线斜率存在时，设直线方程为，即，圆心到直线的距离为，即，解得，故直线方程为.综上所述：直线方程为.19. 如图，PA平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PAAD2，M、N分别是AB、PC的中点（1）求证：平面MND平面PCD；（2）求点P到平面MND的距离【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）作出如图所示空间直角坐标系，根据题中数据可得、的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法算出平面、平面的法向量分别为，和，1，算出，可得，从而得出平面平面；（2）由（1）中求出的平面法向量，与向量，2，利用点到平面的距离公式加以计算即可得到点到平面的距离【详解】（1）证明：平面，、两两互相垂直，如图所示，分别以、所在直线为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，则，0，0，2，2，0，0，1，1，1，2，设，是平面的一个法向量，可得，取，得，是平面的一个法向量，同理可得，1，是平面的一个法向量，即平面的法向量与平面的法向量互相垂直，可得平面平面；（2）解：由（1）得，是平面的一个法向量，2，得，点到平面的距离20. 已知正项等差数列中，且成等比数列，数列的前项和为，（1）求数列和的通项公式；（2）若，求数列的前项和的取值范围【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】(1)设公差d，结合等差数列中项的表示和等比数列的性质，解得d，即得的通项公式；利用判断是等比数列，即得其通项公式；(2)代入计算，结合公式法和裂项相消法，进行分组求和，再判断值的情况即可.【详解】解：（1）设正项等差数列的公差为d，则， ，且成等比数列，解得，由得，即是等比数列，又，；（2） ，.21. 如图，是一个四棱锥，已知四边形是梯形，平面，点是棱的中点，点在棱上，（1）证明：直线平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求平面与平面的夹角的余弦值【答案】（1）证明见解析 （2） （3）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得直线平面.（2）利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值.（3）利用向量法求得平面与平面的夹角的余弦值.【小问1详解】以为坐标原点，以的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则.为平面的一个法向量，因为，所以，所以，因为平面，所以平面.【小问2详解】设为平面的一个法向量，则，故可设，所以，所以直线与平面成角的正弦值为.【小问3详解】设为平面的一个法向量，则,因为，所以取，则.为平面的一个法向量，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.22. 已知椭圆的左焦点与抛物线 的焦点重合，椭圆的离心率为，过点作斜率不为0的直线，交椭圆于两点，点，且为定值（1）求椭圆的方程；（2）求面积的最大值【答案】(1) （2） 【解析】【分析】（1）由抛物线焦点可得c，再根据离心率可得a，即得b；（2）先设直线方程x=ty+m，根据向量数量积表示，将直线方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理代入化简可得为定值的条件，解出m；根据点到直线距离得三角形的高，利用弦公式可得底，根据面积公式可得关于t的函数，最后根据基本不等式求最值【详解】试题解析：解：（1）设F1（c，0），抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），且椭圆E的左焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，c=1，又椭圆E的离心率为，得a=，于是有b2=a2c2=1故椭圆的标准方程为：（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为：x=ty+m，由整理得（t2+2）y2+2tmy+m22=0， =（t2+1）y1y2+（tmt）（y1+y2）+m2要使为定值，则，解得m=1或m=（舍）当m=1时，|AB|=|y1y2|=，点O到直线AB的距离d=，OAB面积S=当t=0，OAB面积的最大值为.