北京市丰台区2023届高三上学期数学期末试题.docx

丰台区20222023学年度第一学期期末练习高三数学考生须知1答题前，考生务必先将答题卡上的学校、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码.2本次练习所有答题均在答题卡上完成.选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项.非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚.3请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在练习卷、草稿纸上答题无效.4本练习卷满分共150分，作答时长120分钟.第一部分 （选择题40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据补集概念求解即可.【详解】因为，所以或.故选：B2. 已知复数，则在复平面内，复数对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】先化简复数，求出共轭复数，即可得结论.【详解】因为，所以，所以对应点为在第三象限，故选：C.3. 在的展开式中，常数项为（ ）A. B. 24C. D. 48【答案】B【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令的指数为求出，将的值代入通项求出展开式的常数项【详解】二项式展开式的通项为，令，解得，所以展开式的常数项为故选：B4. 已知向量，则“”是“”的（ ）A 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由可求出，再由充分性和必要性的定义即可得出答案.详解】若，则，解得：.所以，而推不出.故“”是“”的充分而不必要条件故选：A.5. 下列函数是偶函数，且在区间上单调递增的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用函数奇偶性和在区间上单调递增逐项分析.【详解】选项A由令的定义域为，且，由函数为二次函数开口向下，对称轴为轴，所以在单调递减，故函数在区间上单调递减，故A错误，由的定义域为，关于原点对称且，所以为奇函数，故选项B错误，由的定义域为，且，所以为奇函数，故C错误，由的定义域为，且，所以为偶函数，且，所以，因为，且，因为在上单调递增，所以，所以，故，所以在区间上单调递增，故选：D.6. 已知抛物线过点，焦点为F若点满足，则m的值为（ ）A. 2B. C. 2或D. 或【答案】C【解析】【分析】由抛物线过点，可求出，即可表示出，再由，即可求出m的值.【详解】因为抛物线过点，所以，所以抛物线，则，又因为，所以，解得：或.故选：C.7. 已知函数，则不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将不等式问题转化为函数图象问题，结合图象求得正确答案.【详解】依题意，由解得或画出的图象如下图所示，由图可知，不等式的解集是.故选：A8. 设双曲线的右焦点为F，过点F的直线l平行于双曲线C的一条渐近线，与另一条渐近线交于点P，与双曲线C交于点Q，若Q为线段的中点，则双曲线C的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先根据题意得到直线，与另一条渐近线联立得到，根据为线段的中点得到，再代入双曲线方程求解即可.【详解】由题知：，平行的一条渐近线为，则直线，即.因为为线段的中点，所以.把代入得：，化简得，即，则.故选：C9. 如图，在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，平面，点M为底面上的动点，M到的距离记为d，若，则点M在底面正方形内的轨迹的长度为（ ）A. 2B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】在平面中求得点的轨迹方程，从而求得轨迹的长度.【详解】由于平面平面，所以，所以.在正方形中，建立平面直角坐标系如下图所示，设，则，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆.由令，解得，则，由于，所以，所以点的轨迹在底面正方形内的长度是.故选：B10. 市场占有率指在一定时期内，企业所生产的产品在其市场的销售量（或销售额）占同类产品销售量（或销售额）的比重一般来说，市场占有率会随着市场的顾客流动而发生变化，如果市场的顾客流动趋向长期稳定，那么经过一段时期以后的市场占有率将会出现稳定的平衡状态（即顾客的流动，不会影响市场占有率），此时的市场占有率称为“稳定市场占有率”有A，B，C三个企业都生产某产品，2022年第一季度它们的市场占有率分别为：40%，30%，30%经调查，2022年第二季度A，B，C三个企业之间的市场占有率转移情况如下图所示：若该产品以后每个季度的市场占有率转移情况均与2022年第二季度相同，则当市场出现稳定的平衡状态，最终达到“稳定市场占有率”时，A企业该产品的“稳定市场占有率”为（ ）A. 45%B. 48%C. 50%D. 52%【答案】C【解析】【分析】根据市场占有率转移情况求得正确答案.【详解】最终达到“稳定市场占有率”时，设A企业该产品的“稳定市场占有率”为x，则,解得.故选：C第二部分 （非选择题110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 函数的定义域是_【答案】且【解析】【分析】根据题意得到求解即可.【详解】由题知：且.故答案为：且.12. 在等差数列中，公差d不为0，且成等比数列，则_；当_时，数列的前n项和有最大值【答案】 . . 【解析】【分析】根据等比数列得到，解得，再计算，得到答案.【详解】成等比数列，故，即，解得或（舍）.，,，故时，有最大值.故答案为：；13. 已知集合，若为2个元素组成的集合，则实数m的取值范围是_【答案】【解析】【分析】集合表示直线上的点，集合表示圆上的点，根据直线和圆相交计算得到范围.【详解】集合表示直线上的点，集合表示圆上点，圆心为，半径，为2个元素组成的集合，故直线和圆相交，即，解得.故答案为：14. 已知函数，若，且在区间上有最小值无最大值，则_【答案】【解析】【分析】根据三角函数的对称性、最值求得正确答案.【详解】由于若，且在区间上有最小值无最大值，则，所以，由于，所以的值为.故答案为：15. 已知函数存在两个极值点，给出下列四个结论：函数有零点； a的取值范围是； 其中所有正确结论的序号是_【答案】【解析】【分析】求出函数定义域以及导函数.由可说明正确；由已知，有两个不同的正数解，根据二次函数根的分布即可求出的范围，判断；根据求根公式，解出，结合中解出的的范围，可得到，即错误；根据导函数得出函数的单调性，结合的解析，可得，即正确.【详解】由已知可得，定义域为，.对于，因为，所以1是函数的一个零点，故正确；对于，因为函数存在两个极值点，所以有两个不同的正数解，即方程有两个不同的正数解，则应满足，解得，故错误；对于，解方程可得，因为，所以，由知，所以，所以，故错误；对于，由可得，即，所以，所以在上单调递增；解可得，或，所以在上单调递减，在上单调递减.由知，所以，故正确.故答案为：.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 如图，已知正方体中，点是棱的中点（1）求证：平面；（2）若点F是线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）连接交于，连接，证明即可.（2）建立空间直角坐标系，计算各点坐标，平面的法向量为，根据向量的夹角公式计算得到答案.【小问1详解】如图所示：连接交于，连接，是中点，是的中点，故，平面且平面，故平面；【小问2详解】以分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：设正方形边长为，则，设平面的法向量为，则，取得到，.直线与平面所成角的正弦值为.17. 在中，（1）求A；（2）若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积条件：；条件：；条件：注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【答案】（1）或； （2）答案见解析.【解析】【分析】（1）由正弦定理边化角可得，即可求出结果；（2）若选：根据已知可得为钝角，则为锐角，三角形唯一，根据两角和的正弦公式可求出，根据正弦定理求出的值，根据即可求出面积；若选：根据正弦定理可求出，为直角，三角形唯一确定，可求出，即可求出；若选：由，可知或，有两解.【小问1详解】由可得，.因为，所以，又，所以或.【小问2详解】若选：.因为，所以为钝角，为锐角，又，又，所以，即，所以存在且唯一确定.则，由可得.根据正弦定理可得，所以；若选：.因为，所以，由正弦定理可得，因为，所以，所以存在且唯一确定.则，所以，；若选：.因为，所以，此时或，所以，此时存在但不唯一.18. 非物质文化遗产（简称“非遗”）是优秀传统文化的重要组成部分，是一个国家和民族历史文化成就的重要标志随着短视频这一新兴媒介形态的兴起，非遗传播获得广阔的平台，非遗文化迎来了发展的春天为研究非遗短视频受众的年龄结构，现从各短视频平台随机调查了1000名非遗短视频粉丝，记录他们的年龄，将数据分成6组：，并整理得到如下频率分布直方图：（1）求a的值；（2）从所有非遗短视频粉丝中随机抽取2人，记取出的2人中年龄不超过40岁的人数为X，用频率估计概率，求X的分布列及数学期望；（3）在频率分布直方图中，用每一个小矩形底边中点的横坐标作为该组粉丝年龄的平均数，估计非遗短视频粉丝年龄的平均数为m，若中位数的估计值为n，写出m与n的大小关系（结论不要求证明）【答案】（1） （2）分布列详见解析， （3）【解析】【分析】（1）根据频率之和为求得.（2）根据二项分布的知识求得分布列以及数学期望.（3）根据平均数、中位数的求法求得，并比较出两者的大小关系.【小问1详解】，解得.【小问2详解】不超过40岁的人的频率为，所以，的可能取值为，所以的分布列为：所以.【小问3详解】岁.，所以.19. 已知椭圆过点，离心率为（1）求椭圆E的方程；（2）设点，直线与椭圆E的另一个交点为C，O为坐标原点，B为椭圆E的右顶点记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值【答案】（1） （2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据过点和离心率计算得到椭圆方程.（2）计算直线方程，联立方程得到点坐标，再计算，相乘得到答案.【小问1详解】椭圆过点，离心率为，故，椭圆方程为.【小问2详解】，直线：，联立方程，得到，方程的一个解为，故另外一个解为.当时，即，得证20. 已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的最小值；（3）证明函数只有一个零点【答案】（1） （2） （3）见解析【解析】【分析】（1）对求导，求出，由点斜式方程即可求出答案；（2）令，得出在的单调性，结合零点存在性定理可得在上单调递增，在上单调递减，再比较的大小，即可得出答案.（3）利用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理，讨论，和时，的正负，即可得出证明.【小问1详解】的定义域为，故，所以曲线在点处的切线方程为：，化简得：【小问2详解】令，当时，所以在上单调递减，且，所以由零点存在定理可知，在区间存在唯一的，使又当时，；当时，；所以在上单调递增，在上单调递减，又因为所以函数在区间上的最小值为.【小问3详解】，若，所以在区间上单调递增，又，结合零点存在定理可知，在区间有且仅有一个零点，若，则，则，若，因为，所以，综上，函数在有且仅有一个零点.【点睛】利用导数研究函数的零点，一方面利用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题，转化为函数图象的交点问题，利用数形结合判断.21. 设为正实数，若各项均为正数的数列满足：，都有则称数列为数列（1）判断以下两个数列是否为数列：数列：3，5，8，13，21；数列：，5，10（2）若数列满足且，是否存在正实数，使得数列是数列？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由（3）若各项均为整数的数列是数列，且的前项和为150，求的最小值及取得最小值时的所有可能取值【答案】（1）数列是，数列不是； （2）不存在，理由见解析； （3）答案见解析.【解析】【分析】（1）根据定义验证是否恒成立，即可判断；（2）假设存在，则由已知可推得.当时，这与假设矛盾，所以不存在；（3）根据已知推出，进而推出， ，相加可推得.根据基本式，结合题意可得的最小值不小于30.进而得出的范围，得到所有可能的整数解.分情况讨论，得出数列，即可得到的所以可能的取值.【小问1详解】根据定义，数列应满足，都有，即恒成立.对于数列：有，均满足，所以数列是数列；对于数列，因为不满足，所以数列不是数列.【小问2详解】不存在正实数，使得数列是数列.说明理由如下：假设存在正实数，使得数列是数列，则，都有，即恒成立.因为， 所以，当时，这与假设矛盾.所以，不存在正实数，使得数列数列.【小问3详解】因为数列是数列，所以.所以，所以，所以，即，所以.所以，因为数列是整数列，所以的最小值不小于30.假设，必有，解得，因为，所以可取9，10，11，12.当时，存在满足条件的数列.，；当时，存在满足条件的数列.，；当时，存在满足条件的数列.，； 当时，存在满足条件的数列.，.以上都是的充分条件.所以的最小值为30，此时的所有可能的取值为，20，.