用空间向量研究直线、平面的位置关系同步练习-高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册.docx

第四节空间向量的应用同步练习（课时1用空间向量研究直线、平面的位置关系）一、基础巩固知识点1 空间中点、直线、平面的向量表示1. (多选)2022辽宁省实验中学高二上期中设(1,-2,-1),(3,-1,2)是空间直线l上的两点,则直线l的一个方向向量v的坐标可以是()A.(2,1,3)B.(4,1,6)C.(-12,-14,-34)D.(2,-4,-2)2. 2022安徽芜湖一中高二上期中已知点O(0,0,0),A(0,1,2),B(1,0,0),点P(1,x,2)在平面OAB内, 则x=()A.-1B.1 C.2 D.-23. 已知直线l的一个方向向量v=(1,2,4),且l过A(0,y,3)和B(-1,-2,z),则y=,z=. 4. 过空间三点A(1,1,0),B(1,0,1),C(0,1,1)的平面的一个法向量是()A.(1,1,1)B.(1,1,-1)C.(1,0,1) D.(-1,0,1)知识点2 平面的法向量5. (多选)2022河北石家庄四中高二上期中已知平面过点P(0,1,1),且一个法向量为n=(1,1,2),则下列点在平面内的有()A.(2,1,0)B.(-1,0,2)C.(2,-1,2)D.(2,3,-1)6. 已知平面内的两个向量 a=(1,1,1),b=(0,2,-1),且c=ma+nb+(4,-4,1).若c为平面的法向量,则m,n的值分别为()A.-1,2 B.1,-2 C.1,2 D.-1,-2知识点3 用向量法解决线、面平行问题7. 已知向量a=(2,4,5),b=(3,x,y)分别是直线 l1,l2 的一个方向向量,若 l1l2 ,则()A.x=6,y=15B.x=3,y=152C.x=3,y=15D.x=6,y=1528. 已知平面的一个法向量是(2,-1,-1),则下列向量可作为平面的一个法向量的是()A.(4,2,-2)B.(2,0,4)C.(2,-1,-5) D.(4,-2,-2)9. 已知AB=(-3,1,2),平面的一个法向量为n=(2,-2,4),点A不在平面内,则直线AB与平面的位置关系为()A.AB B.ABC.AB与相交但不垂直D.AB10. 如图,已知四边形ABCD为菱形,且A=60°,E为AD的中点.现将四边形EBCD沿BE折起至四边形EBHG的位置,且AEG=90°.若点F满足AF=AB,当EF平面AGH时,求实数的值.11. 如图所示,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,ABCD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E,E1,F分别是棱AD,AA1,AB的中点.求证:(1)直线EE1平面FCC1;(2)平面ADD1A1平面FCC1.知识点4 用向量法解决线、面垂直问题12. 已知三条直线l1,l2,l3的一个方向向量分别为a=(4,-1,0),b=(1,4,5),c=(-3,12,-9),则()A.l1l2,但l1与l3不垂直B.l1l3,但l1与l2不垂直C.l2l3,但l2与l1不垂直D.l1,l2,l3两两互相垂直13. 已知点A(0,1,0),B(-1,0,-1),C(2,1,1),P(x,0,z).若PA平面ABC,则点P的坐标为()A.(1,0,-2) B.(1,0,2)C.(-1,0,2) D.(2,0,-1)14. (多选)2022北京市第十三中学高二上期中已知两个不重合的平面与平面ABC,若平面的一个法向量为n1=(2,-3,1),向量AB=(1,0,-2),AC=(1,1,1),则()A.ABAC B.AB平面 C.平面ABC平面D.平面ABC平面15. 已知a=(0,1,1),b=(1,1,0),c=(1,0,1)分别是平面,的一个法向量,则,三个平面中互相垂直的有对. 16. 如图,四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ABAD,ACCD,ABC=60°,PA=AB=BC=2,E是PC的中点.求证:(1)CDAE;(2)PD平面ABE.17. 如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO平面ABC,垂足O落在线段AD上.已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.(1)求证:APBC;(2)若点M是线段AP上一点,且AM=3,求证:平面AMC平面BMC.二、能力提升1. 如图,PA平面ABCD,四边形ABCD为正方形,E是CD的中点,F是AD上一点,当BFPE时,AFFD=()A.12 B.1 C.3 D.22. 2022河南南阳社旗一高高二上月考如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是棱AA1,A1D1的中点,点P为底面ABCD内(包括边界)的一动点,若直线D1P与平面BEF无公共点,则点P的轨迹长度为()A.2+1 B.5 C.2+32 D.63. 2022辽宁沈阳同泽高中高二上月考如图1,在直角梯形ABCD中,ADBC,ABBC,且AB=BC=2AD=4,E,F分别为AB,CD的中点,沿EF把AEFD折起,使平面AEFD平面EBCF,得到如图2所示的立体图形,且以E为坐标原点,EB的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系.若在线段EC上存在点G,使得AG平面CDF,则平面CDF的一个法向量n=,EG=. 4. 2022广东广州二中高二上期中如图,在三棱锥P-ABC中,三条侧棱PA,PB,PC两两垂直,且PA=PB=PC=3,G是PAB的重心,E,F分别为BC,PB上的点,且BEEC=PFFB=12.(1)求证:平面GEF平面PBC;(2)求证:EG与直线PG,BC都垂直.5. 如图,在四棱锥P-ABCD中,PD底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E,F分别是AB,PB的中点.(1)求证:EFCD.(2)已知点G在平面PAD内,且GF平面PCB,试确定点G的位置.6. 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点.在棱CC1上是否存在一点Q,使得平面D1BQ平面PAO?若存在,指出点Q的位置;若不存在,请说明理由.7. 如图,正方形ABCD的边长为22,四边形BDEF是平行四边形,BD与AC交于点G,O为GC的中点,FO=3,且FO平面ABCD.(1)求证:AE平面BCF;(2)求证:CF平面AEF.8. 2022吉林四平高二上期中如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为菱形,且BAD=60°,AA1=AB=2,E为BB1的延长线上一点,D1E平面D1AC.(1)求平面EAC的一个法向量;(2)在线段D1E上取一点P,满足D1PPE=32,证明:A1P平面EAC.参考答案一、基础巩固1. AC设点A(1,-2,-1),B(3,-1,2),那么AB=(2,1,3),即AB为空间直线l的一个方向向量,-14AB=-14(2,1,3)=(-12,-14,-34)也是空间直线l的一个方向向量.故选AC.2. B因为点P(1,x,2)在平面OAB内,所以存在m,nR,使得OP=mOA+nOB,即(1,x,2)=m(0,1,2)+n(1,0,0),所以1=nx=m2=2m,得x=1,故选B.3. 0-1解析 因为直线l的一个方向向量v=(1,2,4),且l过A(0,y,3)和B(-1,-2,z),所以AB=(-1,-2-y,z-3)=(1,2,4),所以1=2y=2z3=4,解得=1y=0z=1.4. AAB=(0,-1,1),AC=(-1,0,1).设该平面的法向量为a=(x,y,z).由题意知a·AB=0,a·AC=0,所以y+z=0x+z=0,即x=zy=z,令z=1,得平面的一个法向量是(1,1,1).5. ABD设平面内的一点(x,y,z)(不与点P重合),结合法向量的定义可得x+(y-1)+2(z-1)=0,即x+y+2z-3=0.A2+1+2×0-3=0.B-1+0+2×2-3=0.C2+(-1)+2×2-3=20.D2+3+2×(-1)-3=0.6. Ac=ma+nb+(4,-4,1)=(m,m,m)+(0,2n,-n)+(4,-4,1)=(m+4,m+2n-4,m-n+1).由c为平面的法向量,得c·a=0c·b=0,即3m+n+1=0m+5n9=0,解得m=1n=2.7. D由题意得32=x4=y5,所以x=6,y=152.8. D因为,所以的法向量与的法向量平行,又(4,-2,-2)=2(2,-1,-1),故选D.9. D因为n·AB=2×(-3)+(-2)×1+4×2=0,所以nAB.又点A不在平面内,n为平面的一个法向量,所以AB,故选D.10. 解析 令菱形ABCD的边长为2,由题意可知折起后AEGE,AEBE,GEBE.以E为原点,EA,EB,EG所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.则A(1,0,0),B(0,3,0),E(0,0,0),G(0,0,1),H(0,3,2),所以AE=(-1,0,0),AB=(-1,3,0),AG=(-1,0,1),AH=(-1,3,2).设平面AGH的法向量为n=(x,y,z),则n·AG=0n·AH=0,即x+z=0x+3y+2z=0,取x=1,则y=-33,z=1,所以n=(1,-33,1)是平面AGH的一个法向量.由题知AF=AB=(-,3,0),所以EF=AF-AE=(-,3,0)-(-1,0,0)=(1-,3,0).因为EF平面AGH,所以n·EF=0,所以1-33×3=0,所以=12.11. 证明 (1)因为AB=4,BC=CD=2,F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,则BCF为正三角形.因为底面ABCD为等腰梯形,所以BAD=ABC=60°.取AF的中点M,连接DM,则DMAB,所以DMCD.以DM,DC,DD1为正交基底,建立空间直角坐标系,如图所示,则F(3,1,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(32,-12,0),E1(3,-1,1),所以CC1=(0,0,2),EE1=(32,-12,1),CF=(3,-1,0).设平面FCC1的法向量为n=(x,y,z),则n·CF=3xy=0n·CC1=2z=0,令x=1,可得平面FCC1的一个法向量为n=(1,3,0),则n·EE1=1×32+3×(-12)+0×1=0,所以nEE1.又直线EE1平面FCC1,所以直线EE1平面FCC1.(2)分析知D(0,0,0),D1(0,0,2),A(3,-1,0),所以DA=(3,-1,0),DD1=(0,0,2).设平面ADD1A1的法向量为m=(x1,y1,z1),则m·DA=3x1y1=0m·DD1=2z1=0,令x1=1,可得平面ADD1A1的一个法向量为m=(1,3,0).结合(1)知m=n,所以mn,所以平面ADD1A1平面FCC1.12. A因为a·b=(4,-1,0)·(1,4,5)=4-4+0=0,a·c=(4,-1,0)·(-3,12,-9)=-12-12+0=-240,b·c=(1,4,5)·(-3,12,-9)=-3+48-45=0,所以ab,a与c不垂直,bc,所以l1l2,l2l3,但l1不垂直于l3.13. C由题意知AB=(-1,-1,-1),AC=(2,0,1),AP=(x,-1,z),因为PA平面ABC,所以AB·AP=0AC·AP=0,即x+1z=02x+z=0,得x=1z=2,故点P的坐标为(-1,0,2).14. BD因为AB·AC=-10,所以AB不垂直于AC,A错误.因为n1·AB=2×1+(-3)×0+1×(-2)=0,所以AB平面,B正确.因为n1·AC=2×1-3×1+1×1=0,所以n1AC,又n1AB,ABAC=A,所以n1平面ABC,又平面与平面ABC不重合,所以平面与平面ABC平行,C错误,D正确.故选BD.15. 0解析 因为a·b=(0,1,1)·(1,1,0)=10,a·c=(0,1,1)·(1,0,1)=10,b·c=(1,1,0)·(1,0,1)=10,所以a,b,c中任意两个都不垂直,即,中任意两个都不垂直.16. 证明 (1)以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(1,3,0),D(0,433,0),P(0,0,2),E(12,32,1),所以CD=(-1,33,0),AE=(12,32,1),所以CD·AE=-1×12+33×32+0×1=0,所以CDAE.(2)由(1),得PD=(0,433,-2),AB=(2,0,0),AE=(12,32,1).方法一设向量n=(x,y,z)是平面ABE的法向量,则n·AB=0n·AE=0,得2x=012x+32y+z=0,取y=2,则n=(0,2,-3),所以PD=233n,所以PDn,所以PD平面ABE.方法二因为PD·AB=0,PD·AE=0,所以PDAB,PDAE.又ABAE=A,AB,AE平面ABE,所以PD平面ABE.17. 证明 (1)如图所示,以O为坐标原点,射线OD为y轴正半轴,射线OP为z轴正半轴建立空间直角坐标系Oxyz,则A(0,-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4),于是AP=(0,3,4),BC=(-8,0,0),所以AP·BC=(0,3,4)·(-8,0,0)=0,所以APBC,即APBC.(2)在RtPOA中,AO=3,PO=4,所以AP=5.又AM=3,且点M在线段AP上,所以AM=35AP=(0,95,125).又BA=(-4,-5,0),所以BM=BA+AM=(-4,-165,125),则AP·BM=(0,3,4)·(-4,-165,125)=0,所以APBM,即APBM.又APBC,BCBM=B,所以AP平面BMC.又AP平面AMC,所以平面AMC平面BMC.二、能力提升1. B以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设正方形ABCD的边长为1,PA=a,则B(1,0,0),E(12,1,0),P(0,0,a).设点F的坐标为(0,y,0),则BF=(-1,y,0),PE=(12,1,-a).因为BFPE,所以BF·PE=-12+y=0,解得y=12,即点F的坐标为(0,12,0),所以F为AD的中点,所以AFFD=1.2. B以点D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则B(2,2,0),E(2,0,1),F(1,0,2),D1(0,0,2),设点P(a,b,0),则BE=(0,-2,1),EF=(-1,0,1),D1P=(a,b,-2).设平面BEF的法向量为m=(x,y,z),由m·BE=2y+z=0m·EF=x+z=0,取z=2,可得m=(2,1,2)为平面BEF的一个法向量.由题意可知,D1P平面BEF,则D1P·m=2a+b-4=0,令b=0,可得a=2,令b=2,可得a=1,所以点P的轨迹为线段,且交AD于点A(2,0,0),交BC于点M(1,2,0),所以点P的轨迹长度为AM=AB2+BM2=22+12=5.3. (-1,2,1)(答案不唯一)253 由题得E(0,0,0),A(0,0,2),D(0,2,2),F(0,3,0),C(2,4,0),所以DF=(0,1,-2),DC=(2,2,-2),EC=(2,4,0).设n=(x,y,z),则n·DF=0n·DC=0,即y2z=02x+2y2z=0,不妨令z=1,可得n=(-1,2,1)为平面CDF的一个法向量.设EG=EC=(2,4,0),则G(2,4,0),AG=(2,4,-2).因为AG平面CDF,所以AGn,则AG·n=0,即-2+2×4-2=0,解得=13,即EG=(23,43,0),故EG=|EG|=253.4. 证明 (1)如图,以三棱锥的顶点P为坐标原点,以PA,PB,PC所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.则P(0,0,0),A(3,0,0),B(0,3,0),C(0,0,3),E(0,2,1),F(0,1,0),G(1,1,0),于是EF=(0,-1,-1),EG=(1,-1,-1).设平面GEF的法向量是n=(x,y,z),则nEFnEG,所以y+z=0xyz=0,可取n=(0,1,-1).显然PA=(3,0,0)是平面PBC的一个法向量.又n·PA=0,所以nPA,即平面PBC的法向量与平面GEF的法向量垂直,所以平面GEF平面PBC.(2)由(1),知EG=(1,-1,-1),PG=(1,1,0),BC=(0,-3,3),所以EG·PG=0,EG·BC=0,所以EGPG,EGBC,所以EG与直线PG,BC都垂直.5. 解析 (1)以D为坐标原点,DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系(如图),设AD=a,则D(0,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),E(a,a2,0),P(0,0,a),F(a2,a2,a2),所以EF=(-a2,0,a2),DC=(0,a,0),所以EF·DC=(-a2,0,a2)·(0,a,0)=0,所以EFCD.(2)因为G平面PAD,设G(x,0,z),所以FG=(x-a2,-a2,z-a2).由(1),知CB=(a,0,0),CP=(0,-a,a).因为GF平面PCB,所以FG·CB=(x-a2,-a2,z-a2)·(a,0,0)=a(x-a2)=0,FG·CP=(x-a2,-a2,z-a2)·(0,-a,a)=a22+a(z-a2)=0,所以x=a2,z=0.所以点G的坐标为(a2,0,0),即点G为AD的中点.6. 解析 假设存在点Q,使得平面D1BQ平面PAO.连接D1B,D1Q,BQ.以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,设正方体的棱长为2,则O(1,1,0),A(2,0,0),P(0,0,1),B(2,2,0),D1(0,0,2),所以OA=(1,-1,0),OP=(-1,-1,1),BD1=(-2,-2,2).设平面PAO的法向量为n1=(x,y,z),则n1·OA=0n1·OP=0,即xy=0xy+z=0.令x=1,则y=1,z=2,所以平面PAO的一个法向量为n1=(1,1,2).因为平面D1BQ平面PAO,所以n1也是平面D1BQ的一个法向量.设Q(0,2,c)(0c2),则BQ=(-2,0,c),所以n1·BQ=0,即-2+2c=0,所以c=1,又n1·BD1=-2-2+4=0, 所以当Q为CC1的中点时,平面D1BQ平面PAO.7. 证明 (1)取BC的中点H,连接OH,则OHBD,又四边形ABCD为正方形,所以ACBD,所以OHAC.又FO平面ABCD,所以FOOA,FOOH,所以以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(3,0,0),C(-1,0,0),F(0,0,3),B(1,2,0),所以BC=(-2,-2,0),CF=(1,0,3),BF=(-1,-2,3).设平面BCF的法向量为n=(x,y,z),则BC·n=0CF·n=0,即2x2y=0x+3z=0,取z=1,得n=(-3,3,1).又四边形BDEF为平行四边形,所以DE=BF=(-1,-2,3),所以AE=AD+DE=BC+DE=(-3,-4,3),所以AE·n=3 3-4 3+3=0,所以AEn.又AE平面BCF,所以AE平面BCF.(2)AF=(-3,0,3),所以CF·AF=-3+3=0,CF·AE=-3+3=0,所以CFAF,CFAE,又AEAF=A,所以CF平面AEF.8. 解析 (1)连接BD,交AC于点O,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(3,0,0),C(-3,0,0),D1(0,-1,2),设E(0,1,2+h),则D1E=(0,2,h),CA=(23,0,0),D1A=(3,1,-2).因为D1E平面D1AC,所以D1ED1A,所以D1E·D1A=2-2h=0,所以h=1,即E(0,1,3),所以AE=(-3,1,3).设平面EAC的法向量为m=(x,y,z),由m·CA=0m·AE=0,得23x=03x+y+3z=0,故x=0,令z=-1,则y=3,所以平面EAC的一个法向量为m=(0,3,-1).(答案不唯一) (2)易知D1P=35D1E=(0,65,35).因为A1(3,0,2),D1(0,-1,2),所以A1D1=(-3,-1,0),所以A1P=A1D1+D1P=(-3,15,35),所以A1P·m=-3×0+3×15+(-1)×35=0,又A1P不在平面EAC内,所以A1P平面EAC.学科网（北京）股份有限公司