一元二次函数、方程和不等式 寒假作业-高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册.docx

二次函数、方程、不等式【知识梳理】1三种二次之间的关系：a>0>00<0yax2bxc的图象ax2bxc0的根ax2bxc>0的解集ax2bxc<0的解集2.解一元二次不等式的步骤：(1)把二次项的系数变为正的；(如果是负，那么在不等式两边都乘以1，把系数变为正)(2)解对应的一元二次方程；(先看能否因式分解，若不能，再看，然后求根)(3)求解一元二次不等式(根据一元二次方程的根及不等式的方向)3分式不等式的解法同解变形法(分式不等式整式不等式一次、二次不等式)(1)>0(或<0)与f(x)·g(x)>0(或f(x)·g(x)<0)同解；(2)0与不等式组(或)同解4一元高次不等式的解法：数轴标根法一、单选题1()已知不等式x27xa<0的解集是，则实数a等于()A10 B5 C5 D102()二次函数yax2bxc的图象如图所示，则不等式ax2bxc0的解集为()A. BC. DR3()若不等式ax2bxc>0的解集为x|<x<3，则x2x<0成立的一个必要不充分条件是()A.<x<3 B<x<0C3<x< D1<x<64()已知关于x的一元二次不等式mx23x1<0的解集为(a，b)，且对于任意的正实数a，b，a4bk2k3恒成立，则实数k的取值范围是()A3，2B(，10，)C2，3D1，05()若关于x的不等式k>恰好有4个整数解，则实数k的取值范围为()A(0， B(，C(， D(，1二、多选题6()下列结论正确的是()A若函数yax2bxc(a0)对应的方程没有根，则不等式ax2bxc>0的解集为RB不等式ax2bxc0在R上恒成立的充要条件是a<0，且b24ac0C若关于x的不等式ax2x10的解集为R，则aD不等式>1的解集为7()已知关于x的不等式a(x1)(x3)1>0(a0)的解集是(x1，x2)(x1<x2)，则下列结论正确的是()Ax1x22Bx1x2<3C1<x1<x2<3Dx2x1>4三、填空题8()函数yax2bxc(a0)的图象如图所示，则不等式<0的解集是_9()对于1a1，不等式x2(a2)x1a>0恒成立的x的取值范围是_10()设函数f(x)x22xa，若关于x的不等式f(f(x)<0的解集为空集，则实数a的取值范围为_四、解答题11()已知命题p：xR，ax22x30；q：x1，2，使x22xa0.(1)若命题p是假命题，求实数a的取值范围；(2)若命题p与q一个是真命题一个是假命题，求实数a的取值范围12.()已知函数f(x)x2(a2)x4.(1)若关于x的不等式f(x)>0的解集为x|x2，求a的值；(2)若对任意x(1，4，f(x)a1恒成立，求实数a的最大值13()已知函数f(x)x24(xR)(1)存在实数x1，x21，1使得f(x1)f(x2)成立，求实数a的取值范围；(2)对任意的x1，x21，1都有k成立，求实数k的最小值答案【知识梳理】1有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1x2没有实数根x|x<x1或x>x2Rx|x1<x<x2一、单选题1A2A【解析】ax2bxc0，即y0.根据图象知，只有在xx0时y0，x取其它任何实数时y都是负值3D【解析】因为不等式ax2bxc>0的解集为，所以与3是方程ax2bxc0的两个根，且a<0，由韦达定理可知，3，×3，所以x2x<0可化为x2x<0，解得<x<3.由A，B，C，D四个选项中可知，只有选项D满足是x|1<x<6的真子集，从而x2x<0成立的一个必要不充分条件是1<x<6.4D【解析】因为关于x的一元二次不等式mx23x1<0的解集为(a，b)，所以所以ab3ab，()1，因为a4b(a4b)×()(5)(52)3，当且仅当a2b时等号成立，所以(a4b)min3，由a4bk2k3恒成立得3k2k3，所以k2k0，解得1k0，故选D.5C【解析】依题意可得，0k1，函数yk|x|与y|x2|的图象如下，由0k1，可得xA1，关于x的不等式k|x|x2|0恰好有4个整数解，他们是2，3，4，5，由xB(5，6，故k；故选C.二、多选题6CD【解析】若函数yax2bxc(a0)对应的方程没有根，则b24ac<0，故当a<0时，不等式ax2bxc>0的解集为，故A错误；“ax2bxc0在R上恒成立”推不出“a<0且b24ac0”，反例：0x20x10在R上恒成立，但a0，故B错误；对于选项C，分两种情况考虑：当a0时，x10的解集不是R；当a0时，ax2x10的解集为R，所以即a，故C正确；>1，即1>0，>0，x(1x)>0，解得0<x<1，故D正确故选CD.7ABD【解析】关于x的不等式a(x1)(x3)1>0(a0)的解集是(x1，x2)(x1<x2)，所以a<0，且x1，x2是一元二次方程a(x1)(x3)10即ax22ax13a0的两根，所以x1x22，选项A正确；x1x23<3，选项B正确；x2x12>4，选项D正确；由x2x1>4，可得1<x1<x2<3是错误的，即选项C错误故选ABD.三、填空题8(，)(3，)【解析】由图象可知a>0，方程ax2bxc0的根为1和2，故123，1×22，即b3a，c2a.所以不等式<0可以化为<0，所以<0，所以>0，所以或所以x>3或<x<.所以不等式的解集为(，)(3，)9(，0)(2，)【解析】x2(a2)x1a(x1)ax22x1，令f(a)(x1)ax22x1，1a1，当x1时，f(a)1210，则f(a)>0不成立；当x>1时，f(a)minf(1)1xx22x1x23x2>0，解得x<1或x>2；当x<1时，f(a)minf(1)x1x22x1x2x>0，解得x<0或x>1；综上所述：x(，0)(2，)10，)【解析】根据题意，可知f(x)x22xa(x1)2a1a1，设f(x)t，则ta1，因为不等式f(f(x)<0的解集为空集，即f(t)<0在区间a1，)上的解集为空集，即yt22ta(t1)2a1<0在区间a1，)上无解，所以y(t1)2a10在区间a1，)上恒成立，对于二次函数y(t1)2a1，开口向上，对称轴为t1，44a，当44a0，即a1时，则a10>1，所以y(t1)2a10在区间a1，)上恒成立，符合题意；当44a0，即a1时，令y(t1)2a10，解得t1或t1，要使得y(t1)2a10在区间a1，)上恒成立，只需满足a1>t1且a11，即a>0且a2a10，解得a(舍去)或a，又因为a1，故解得a<1，综上得，实数a的取值范围是，)四、解答题11【解析】(1)若命题p为真命题，即ax22x30在R上恒成立，当a0时，2x30，不能恒成立；当a0时，即a.若命题p是假命题，则a<.(2)若命题q为真命题，即x1，2，使x22xa0，即yx22xa在1，2上的最大值大于等于0，yx22xa为开口向上的二次函数，对称轴为x1，故当x2时取得最大值，即222×2a0a8.若p真q假，则a且a<8，不成立；若p假q真，则a<且a8，即8a<.综上，8a<.12【解析】(1)关于x的不等式f(x)>0的解集为x|x2，即x2为方程x2(a2)x40的唯一解，所以解得a2.(2)对任意x(1，4，f(x)a1恒成立，即x2(a2)x5a0对任意的x(1，4恒成立，即x22x5a(x1)恒成立，也即ax1在x(1，4恒成立，因为1<x4，所以0<x13，所以x124，当且仅当x1时，即x12，即x3时取等号，所以a4，所以实数a的最大值为4.13【解析】(1)f(x)x24当a1时，得f(x)在x1，1单调递增，显然不满足题意；当1<a<1时，得f(x)在x1，a单调递减，在xa，1单调递增，显然满足题意；当a1时，得f(x)在x1，1单调递减，显然不满足题意；所以1<a<1.(2)由题意可得，因为f(x)0，k成立，即只需满足f(x1)maxf(x2)mink成立即可，当a1时，得f(x)在x1，1单调递增，故f(x1)maxf(x2)minf(1)f(1)8，所以k8.当1<a<1时，得f(x)在x1，a单调递减，在xa，1单调递增，故f(x1)maxmaxmax，f(x2)mina2，所以f(x1)maxf(x2)min得f(x1)maxf(x2)minmax8，所以k8.当a1时，得f(x)在x1，1单调递减，故f(x1)maxf(x2)minf(1)f(1)8，所以k8.综上所得，k8.学科网（北京）股份有限公司