九年级中考数学专题讲义15 等腰三角形与直角三角形 .docx

专题15 等腰三角形与直角三角形一、等腰三角形1等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°2等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半二、等边三角形1定义：三条边都相等的三角形是等边三角形2性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°3判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形三、直角三角形与勾股定理1直角三角形定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形性质：（1）直角三角形两锐角互余；（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半判定：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形；（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形2勾股定理及逆定理（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形考向一等腰三角形的性质1如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD5，则CD等于（）A10B5C4D32已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（）A13B17C13或17D13或103如图，在等腰ABC中，BD为ABC的平分线，A36°，ABACa，BCb，则CD（）ABCabDba4已知：如图，在ABC中，点D在边BC上，ABADDC，C35°，则BAD 度5如图，已知等腰三角形ABC中，ABAC，点D、E分别在边AB、AC上，且ADAE，连接BE、CD，交于点F（1）判断ABE与ACD的数量关系，并说明理由；（2）求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC考向二等腰三角形的判定6下列长度的线段中，能组成等腰三角形的一组是（）A1，1，2B3，3，5C2，2，5D3，4，57如图，在RtABC中，ACB90°，ACBC点P是直角边所在直线上一点，若PAB为等腰三角形，则符合条件的点P的个数最多为（）A3个B6个C7个D8个8小明同学用一根铁丝恰好围成一个等腰三角形，若其中两条边的长分别为15cm和20cm，则这根铁丝的长为 cm9已知：如图，在ABC中，ABAC，BP，CQ是ABC两腰上的高求证：BCO是等腰三角形10如图，AD平分BAC，ADBD，垂足为点D，DEAC求证：BDE是等腰三角形考向三等边三角形的性质11如图，平面直角坐标系中，点A在第一象限，点B、C的坐标分别为（，0）、（，0）若ABC是等边三角形，则点A的坐标为（）A（，）B（，2）C（，）D（1，）12如图，等边ABC中，AB10，E为AC中点，F，G为AB边上动点，且FG5，则EF+CG的最小值是（）A5B5C5+5D1513等边三角形的边长是8，这个三角形的面积为 14ABC中，BC5，以AC为边向外作等边ACD（1）如图，ABE是等边三角形，若AC4，ACB30°，求CE的长；（2）如图，若ABC60°，AB3，求BD的长15如图，在等边ABC中，AB12cm，现有M，N两点分别从点A，B同时出发，沿ABC的边按顺时针方向运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M，N同时停止运动，设运动时间为t（s）（1）当t为何值时，M，N两点重合？两点重合在什么位置？（2）当点M，N在BC边上运动时，是否存在使AMAN的位置？若存在，请求出此时点M，N运动的时间；若不存在，请说明理由考向四直角三角形16在OAB中，O90°，A35°，则B（）A35°B55°C65°D145°17将一副直角三角尺如图放置，若AOD20°，则BOC的大小为（）A140°B160°C170°D150°18如图，RtABC中，C90°，AB的垂直平分线DE交AC于点E，连接BE若A40°，则CBE的度数为 19如图，在ABC中C90°，AC6，BC8点D是BC上的中点点P是边AB上的动点，若要使BPD为直角三角形，则BP 20在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（EFG90°，EGF60°）”为主题开展数学活动（1）如图（1），若三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若221，求1的度数；（2）如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明AEF与FGC间的数量关系考向五勾股定理21如图，在RtABC中，ACB90°，D是AB的中点，BECD，交CD的延长线于点E若AC2，BC2，则BE的长为（）ABCD22如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是ABC的高，则BD的长为（）ABCD23如图，将两个完全相同的RtACB和RtA'C'B'拼在一起，其中点A与点B重合，点C'在边AB上，连接B'C，若ABCA'B'C'30°，ACA'C2，则B'C的长为（）A2B4C2D424在RtABC中，C90°，若ABAC2，BC8，则AB的长是 25如图，在ABC中，ABAC，BAC的平分线AD交BC于点D，E为AB的中点，若BC12，AD8，则DE的长为 26如图，在ABC中，ADBC，垂足为D，B60°，C45°（1）求BAC的度数（2）若AC2，求AD的长一选择题（共6小题）1下列四组数中，能构成直角三角形的是（）A8，10，7B2，3，4C2，1，5D，1，2在下列条件：A+BC；A：B：C1：2：3；AB2C；AC；ABC中，能确定ABC为直角三角形的条件有（）A5个B4个C3个D2个3有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）A2022B2021C2020D14如图，在ABC中，A45°，B60°，点D在边AB上，且BDBC，连接CD，则ACD的大小为（）A30°B25°C15°D10°5如图，A，B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且ABC为等腰三角形，在图中所有符合条件的点C应该有（）个A7B8C9D106如图，已知：MON30°，点A1、A2、A3在射线ON上，点B1、B2、B3在射线OM上，A1B1A2、A2B2A3、A3B3A4均为等边三角形，若OA11，则B6B7的边长为（）A6B12C32D64二填空题（共6小题）7已知RtABC，C90°，AC1，BC3，则AB 8如图，在等边ABC中，BDAC于点D，若AB8，则AD 9如图，在RtABC中，C90°，ACBC，则点C到边AB的距离为 10已知a、b、c是ABC的三边的长，且满足a2+2b2+c22b（a+c）0，则此三角形的形状为 11如图，在ABC中，C90°，DE垂直平分斜边AB，分别交AB、BC于D、E，若CABB+28°，则CAE 12如图，已知ABC的角平分线CD交AB于D，DEBC交AC于E，若DE4，AC7，则AE 三解答题（共4小题）13如图，在ABC中，ABAC，A36°，BD平分ABC交AC于点D求证：ADBC14如图，在RtABC中，C90°，AC8，AB10，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E求AE的长15如图，在四边形ABCD中，BD90°，C60°，AB5，AD2（1）求CD的长；（2）求四边形ABCD的面积16已知：如图，在四边形ABCD中，ABCADC90°，点E是AC的中点（1）求证：BED是等腰三角形：（2）当BCD °时，BED是等边三角形第11页（共11页）学科网（北京）股份有限公司