考点01 集合（解析版）.docx
考点01 集 合 1、元素与集合 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。 (2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为和。2、集合间的基本关系(1)子集：若对任意xA，都有xB，则AB或BA。(2)真子集：若AB，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则AB或BA。(3)相等：若AB，且BA，则AB。 (4)空集的性质：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。3、集合的基本运算(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作AB，即ABx|xA，且xB(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作AB，即ABx|xA，或xB(3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作UA，即UAx|xU，且xA4、集合的运算性质(1)AAA，A，ABBA。(2)AAA，AA，ABBA。ABABAABBUAUB(3)A(UA)，A(UA)U，U(UA)A。（4）U(AB)(UA)(UB)，U(AB)(UA)(UB)。5、相关结论：(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n1个。(2)不含任何元素的集合空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集记作.1、已知集合，且，则（ ）ABCD【答案】B【解析】，又，或或或，.故选：B2、已知集合，若，则实数的值为（ ）A0B1C2D3【答案】B【解析】由，而，故，故选：B.3、已知集合，则（ ）ABCD【答案】A【解析】易得，又，故选：A4、已知集合，那么（ ）ABCD【答案】C【解析】，.故选：C5、（多选题）已知全集，集合，满足，则下列选项正确的有ABCD【答案】B、D【解析】，考向一集合的含义与表示例1、【2020年高考全国卷文数1】已知集合，则AB中元素的个数为（ ）A2B3C4D5【答案】B【解析】由题意，故中元素的个数为3，故选B变式1、【2020年高考全国卷理数1】已知集合，则中元素的个数为（ ）A2B3C4D6【答案】C【解析】由题意，中的元素满足，且，由，得，所以满足的有，故中元素的个数为4故选C变式2、【新课标】已知集合A=，B=，则AB中元素的个数为A3B2C1D0【答案】B【解析】由题意可得，圆 与直线 相交于两点，则中有两个元素，故选B变式3、若集合AxR|ax23x20中只有一个元素，则a()A. B. C.0 D.0或【答案】D【解析】若集合A中只有一个元素，则方程ax23x20只有一个实根或有两个相等实根.当a0时，x，符合题意；当a0时，由(3)28a0，得a，所以a的取值为0或.方法总结：1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义。2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性。特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性考向二 集合间的基本关系例2、（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）已知集合，则（ ）ABCD【答案】C【解析】任取，则，其中，所以，故，因此，.故选：C.变式1、（2021·苏州·一模）如图，阴影部分表示的集合为 AA (B) BB (A) CA (B) DB (A) 【答案】B【解析】从图中可以看出阴影部分在A内，同时也在集合B内，故选B变式2、（2021·连云港·一模）若非空且互不相等的集合M，N，P满足：MNM，NPP，则MP A BM CN DP【答案】D【解析】M N，N P，则 MPP，故选 D.变式3、【新课标】已知集合，则A B C D【答案】B【解析】A=（1，2），故BA，故选B变式4、（2021·山东青岛市·高三二模）已知，均为的子集，且，则下面选项中一定成立的是（ ）ABCD【答案】C【解析】：因为，均为的子集，且，所以，所以，故选：C方法总结(1)若BA，应分B和B两种情况讨论.(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图，化抽象为直观进行求解.考向三 集合的运算例3、（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）设集合，则（ ）ABCD【答案】B【解析】因为，所以,故选：B.变式1、（2021年全国新高考卷数学试题）设集合，则（ ）ABCD【答案】B【解析】由题设有，故选：B .变式2、（2020·浙江高三月考）已知集合，集合，则（ ）ABCD【答案】B【解析】由题意可得，.故选：B.变式3、（2021·山东滨州市·高三二模）设全集，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）ABCD【答案】D【解析】：，又全集，所以，图中阴影部分所表示的集合为,故选：D.方法总结：集合运算的常用方法若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解；若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到；若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解考向四 集合的新定义问题例4、（2012课标，理1）已知集合=1，2，3，4，5，=(，)|，则中所含元素的个数为（ ）3 6 8 10【答案】D【解析】=（2，1），(3，1)，(4，1)，（5，1），（3，2），(4，2)，（5，2），（4，3），（5，3），（5，4），含10个元素，故选D变式1、.若xA，则A，就称A是伙伴关系集合，集合M的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是()A.1 B.3C.7 D.31【答案】B【解析】：具有伙伴关系的元素组是1，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：1，.变式2、给定集合A，若对于任意a，bA，有abA，且abA，则称集合A为闭集合，给出如下三个结论：集合A4，2,0,2,4为闭集合；集合An|n3k，kZ为闭集合；若集合A1，A2为闭集合，则A1A2为闭集合其中正确结论的序号是_【答案】【解析】：中，4(2)6A，所以不正确；中，设n1，n2A，n13k1，n23k2，k1，k2Z，则n1n2A，n1n2A，所以正确；中，令A1n|n3k，kZ，A2n|nk，kZ，则A1，A2为闭集合，但3kk(A1A2)，故A1A2不是闭集合，所以不正确方法总结：正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口。1、已知集合A=0，1，2，则集合B=中元素的个数是A1 B3 C5 D9【答案】C【解析】；中的元素为共5个，故选C2、若集合中只有一个元素，则=A4 B2 C0 D0或4【答案】A【解析】当时，不合，当时，则，故选A3、若集合，则集合中的元素的个数为（ ）A5 B4 C3 D2【答案】C【解析】根据题意，容易看出只能取1，1，3等3个数值故共有3个元素，故选C4、若，则（ ）A B C D【答案】D【解析】 ，又，故选D5、已知集合=，若，则的取值范围是A(，1 B1，+） C1，1 D（，1 1，+）【答案】C【解析】因为，所以，即，得，解得，所以的取值范围是6、已知集合A=x|x22x0，B=x|x，则（ ）AAB=ÆBAB=R CBADAB【答案】B【解析】A=(-，0)(2，+)，AB=R，故选B8、已知集合=是平行四边形，=是矩形，=是正方形，=是菱形，则 【答案】B【解析】正方形一定是矩形，是的子集，故选9、已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若，则AM BN CI D【答案】A【解析】根据题意可知，是的真子集，所以10、（2021·山东济南市·高三二模）图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）ABCD【答案】AD【解析】：由图可知，阴影部分是集合B与集合C的并集，再由集合A求交集，或是集A与B的交集并上集合A与C的交集，所以阴影部分用集合符号可以表示为或，故选：AD
