1.3正方形的性质与判定 新思维同步提高训练（Word版含解答）- 北师大版九年级数学上册.docx

1.3正方形的性质与判定 新思维同步提高训练（Word版含解答）-2021-2022学年九年级数学北师大版上册一、选择题1.如图，将正方形 OEFG 放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点 E(2,3) ，则点F的坐标为（    ） A. (-1,5)              B. (-2,3)                C. (5,-1)                D. (-3,2)2.如图，在正方形ABCD中，AB3，点E，F分别在边AB，CD上，EFD60°若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则BE的长度为（  ） A. 1             B. 2                 C. 3               D. 23.如图，在边长为2的正方形ABCD中，连接对角线AC，将ADC沿射线CA的方向平移得到ADC，分别连接BC，AD，BD，则BC+BD的最小值为（   ） A. 22                B. 4            C. 42                    D. 254.如图，在正方形ABCD中，AB=6，点Q是AB边上的一个动点（点Q不与点B重合），点M，N分别是DQ，BQ的中点，则线段MN=（   ） A. 32                                        B. 322                                        C. 3                                        D. 6 5.如图，在ABC中，ACB90°，以ABC的各边为边作三个正方形，点G落在HI上，若ACBC6，空白部分面积为10.5，则AB的长为（   ） A. 3 2                    B. 19                       C. 2 5                       D. 266.如图，在正方形 ABCD 中，E为 DC 边上的一点，沿线段 BE 对折后，若 ABF 比 EBF 大 15° ，则 EBF 的度数为（） A. 15°                  B. 20°                       C. 25°                         D. 30°7.如图， ABE、 BCF、 CDG、 DAH是四个全等的直角三角形，其中，AE5，AB13，则EG的长是（） A. 7 2                  B. 6 2                        C. 7                        D. 7 38.如图，在 ABC 中， ACB=90° ，以 ABC 的各边为边分别作正方形 BAHI ，正方形 BCFG 与正方形 CADE .延长 BG ， FG 分别交 AD ， DE 于点K，J，连结 DH ， IJ .图中两块阴影部分面积分别记为 S1 ， S2 ，若 S1:S2=1:4 ，四边形 SBAHE=18 ，则四边形 MBNJ 的面积为（   ） A. 5                                B. 6                      C. 8                          D. 99.由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形 ABCD 如图所示.过点 D 作 DF 的垂线交小正方形对角线 EF 的延长线于点 G ，连结 CG ，延长 BE 交 CG 于点 H .若 AE=2BE ，则 CGBH 的值为（   ） A. 32                           B. 2                      C. 3107                       D. 35510.如图，正方形 ABCD 中，在 AD 的延长线上取点 E ， F ，使 DE=AD ， DF=BD ，连接 BF 分别交 CD ， CE 于 H ， G ，下列结论： HF=2HG ； GDH=GHD ；图中有8个等腰三角形； SCDG=SDNF 其中正确的结论个数是（   ） A. 1个                      B. 2个                            C. 3个                      D. 4个二、填空题11.如图，若该正方形ABCD边长为10，将正方形沿着直线MN翻折，使得BC的对应边 B'C' 恰好经过点A ， 过点A作 AGMN ，垂足分别为G ， 若 AG=6 ，则 AC' 的长度为_ 12.已知直角三角形ABC，ABC=90°，AB=3，BC=5，以AC为边向外作正方形ACEF，则这个正方形的中心O到点B的距离为_ 13.如图，矩形纸片ABCD，AD=2AB=4，点F在线段AD上，将ABF沿BF向下翻折，点A的对应点E落在线段BC上，点M，N分别是线段AD与线段BC上的点，将四边形CDMN沿MN向上翻折，点C恰好落在线段BF的中点C'处，则线段MN的长为_ 14.如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形OABC，边OA、OC分别在x轴、y轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1 ， 再以对角线OB1为边作第三个正方形OB1B2C2 ， 照此规律作下去，则点B2020的纵坐标为_ 15.如图1是公园某处的几何造型，如图2是它的示意图，正方形的一部分在水平面EF下方，测得DE=2米，CDF=45°，露出水平面部分的材料长共合计140米（注：共8个大小一样的正方形造型，不计损耗），点B到水平面EF的距离为_米. 16.如图，正方形 ABCD 中， AB=4 ，O是 BC 边的中点，点E是正方形内一动点， OE=2 ，连接 DE ，将线段 DE 绕点D逆时针旋转 90° 得 DF ，连接 AE 、 CF .则线段 OF 长的最小值为_. 三、解答题17.在正方形ABCD中，E是CD边上一点（CE>DE），AE，BD交于点F （1）如图1，过点F作GHAE，分别交边AD，BC于点G，H 求证：EAB=GHC；（2）AE的垂直平分线分别与AD，AE，BD交于点P，M，N，连接CN 依题意补全图形；图1                  备用图用等式表示线段AE与CN之间的数量关系，并证明18.问题情境： （1）如图1，已知正方形ABCD，点E在CD的延长线上，以CE为边构造正方形CEFG，连接BE和DG，则BE和DG的关系为_。 （2）继续探究：如图2，若正方形ABCD的边长为3，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作正方形CEFG，连接DG、BE。 求证：DGBE。连接BG，若AE=1，求BG长。19.如图，点 P 为正方形 ABCD 对角线 BD 上一点， PEBC 于点 E ， PFCD 于点 F （1）求证： PA=EF （2）若正方形 ABCD 的边长为12，求，四边形 PFCE 的周长 20.如图 （1）如图1，ABC中，C90°，AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD若AC2，BC1，则BCD的周长为_ （2）O为正方形ABCD的中心，E为CD边上一点，F为AD边上一点，且EDF的周长等于AD的长 图2中求作EDF（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；图3中补全图形，直接写出EOF的度数21.如图，四边形ABCD是正方形，E是对角线BD上一点，连接AE、CE （1）求证：AE=CE； （2）如图，点P是边CD上的一点，且PEBD于E，连接BP，点O为BP的中点，连接OE。若PBC=30°，求POE的度数； （3）在(2)的条件下，若OE= 2 ，求CE的长。 22.如图，已知四边形ABCD是正方形. （1）如图1，若E、F、G分别是AB、BC、CD边上的点，AF和EG交于点O.现在提供三个关系：AFEG；AOFO；AFEG.从三个关系中选择一个作为条件，一个作为结论，形成一个真命题，完成下列填空并证明：你选择的条件是_，结论是_.（只要填写序号）. （2）如图2，点E、F分别在AD、AB上，BECF，垂足为点O，连接EF、EC，M、N分别是BF、CE的中点，MN分别交BE、CF于点G、H，求证：OGOH； （3）如图3，AB3cm，E为CD边上一点，DAE=30°，O为AE的中点，过点O的直线分别交AD、BC于点M、N，若MNAE，请直接写出AM的长. 23.综合与实践图形变换中的数学问题 问题情境：如图1，在RtABC中，AB5，ABC90°，BAC45°将ABC沿AC翻折得到ADC ， 然后展平，两个三角形拼成四边形ABCD （1）求证：四边形ABCD是正方形 （2）初步探究： 将ABC从图1位置开始绕点B按逆时针方向旋转角度（0°90°），得到EBF ， 其中点A ， C的对应点分别是点E ， F ， 连接AE ， FC并分别延长，交于点M 试猜想线段AM与FM的数量关系和位置关系，并说明理由 （3）如图3，连接DE ， 当DECM时，请直接写出CM的长 答案一、选择题1.解：如图所示，过点E作EAx轴，垂足为A ， 过点F作FBEA ， 交AE的延长线于点B ， 交y轴与点C ， 四边形OEFG是正方形，FE=EO ， FEO=90°，FEB+AEO=90°，AEO+AOE=90°，FEB =EOA ， FEBEOA ， FB=EA ， EB=OA ， E（2，3），FB=EA=3，EB=OA=2，EAx轴，FBEA ， OCx轴，四边形OABC是矩形，BC=OA=2，FC=FB-BC=1，BA=EB+EA=5，点F在第二象限，点F（-1，5）故答案为：A 2.解：四边形ABCD是正方形， ABCD，A90°，EFDBEF60°，将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，BEFFEB'60°，BEB'E，AEB'180°BEFFEB'60°，B'E2AE，设BEx，则B'Ex，AE3x，2（3x）x，解得x2故答案为：D3.解：连接DD，当等腰RtADC在射线CA上运动时，点D运动轨迹为直线DD'， ABCD，且AB=CD，四边形ABCD为平行四边形，BD+BC=DB+DA，将点B关于直线l对称到点B，BD+BC=DB+DA= DB+DAAB，当D、B、A三点共线时，BC+BD的最小，最小值为AB长，作ABAD交AD延长线于点A，由对称可知，BD=BD，ADB=AD B，BAD=BAD，BADBAD，AD=AD=2，AB=AB=2，AB= AA''2+B'A''2= 25 ， 故答案为：D.4.解：连接 BD ，如图， 四边形ABCD是正方形，AB=AD=6， BD=AB2+AD2=62 ，当点Q在AB边上运动时（点Q不与点B重合），MN一直是BQD的中位线，则线段 MN=12BD=32 .故答案为：A.5.解：四边形ABGF是正方形， FABAFGACB90°，FACBACFACABC90°，FACABC，在FAM与ABN中，F=NAB=90°FAM=ABNAF=AB ，FAMABN（AAS），SFAMSABN ， SABCS四边形FNCM ， 在ABC中，ACB90°，AC2BC2AB2 ， ACBC6，（ACBC）2AC2BC22ACBC36，AB22ACBC36，AB22SABC10.5，AB2ACBC10.5，3AB257，解得AB 19 或 19 （负值舍去）.故答案为：B.6.解：FBE是CBE折叠形成， FBE=CBE，ABF-EBF=15°，ABF+EBF+CBE=90°，EBF=25°，故答案为：C.7.解：在RtABE中，AE5，AB13， 由勾股定理得，BE AB2-AE2 132-52 12，ABE、BCF、CDG、DAH是四个全等的直角三角形，AEBBFCCGD90°，BFCGDHAE5，FEBEFCFGD90°，EFEH1257，四边形EFGH为正方形，EG 72+72 7 2 ，故答案为：A8.解： S1:S2=1:4 GJBC=12四边形 BCFG 与四边形 CADE 是正方形 BC=FC=FG=GB=2GJ AC=AD=DE=CE=BC+GJ=3GJ ACB=90° AB=AC2+BC2=13GJ AH=AB ， ADH=180°-ADE=90° HD=AH2-AD2=2GJ四边形 SBAHE=SAHD +梯形 SADEB=18 12AD×HD+12(AD+BE)×DE=12×3GJ×2GJ+12(3GJ+GJ)×3GJ=18 GJ=2 AF=AC-FC=3GJ-2GJ=GJ=BE CAB+ABC=90° ， ABC+EBM=180°-ABI=90° CAB=EBM ，即 FAN=EBM四边形 BCFG 与四边形 CADE 是正方形 AFN=180°-CFN=90° ， BEM=90° AFN=BEM=90°AF=BEFAN=EBM FANEBM SFAN=SEBM SABC= 四边形 SCFNB+SEBM FCE=CEJ=EJF=JFC=90°四边形 CFJE 是矩形矩形 SCFJE= 四边形 SMBNJ+ 四边形 SCFNB+SEBM= 四边形 SMBNJ+SABC四边形 SMBNJ = 矩形 SCFJE- SABC =JE×CE-12AC×BC=2GJ×3GJ-12×3GJ×2GJ=6故答案为：B.9.如图，设BH交CF于P，CG交DF于Q， 由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形 ABCD ，BE=PC=DF，AE=BP=CF， AE=2BE ，BE=PE=PC=PF=DF，CFD=BPC，DF/EH，PH为CFQ的中位线，PH= 12 QF，CH=HQ，四边形EPFN是正方形，EFN=45°，GDDF，FDG是等腰直角三角形，DG=FD=PC，GDQ=CPH=90°，DG/CF，DGQ=PCH，在DGQ和PCH中， GDQ=CPHDG=PCDGQ=PCH ，DGQPCH，PH=DQ，CH=GQ，PH= 13 DF= 13 BE，CG=3CH，BH=BE+PE+PH= 73BE ，在RtPCH中，CH= PC2+PH2=BE2+(13BE)2 = 103BE ，CG= 10 BE， CGBH=10BE73BE=3107 .故答案为：C.10.解：DF=BD ， DFB=DBF四边形ABCD是正方形，AD/BC ， AD=BC=CD ， ADB=DBC=45°，DE/BC ， DFB=GBC ， DE=AD ， DE=BC ， 四边形DBCE是平行四边形，DEC=DBC=45°，DEC=ADB=DFB+DBF=2EFB=45°，GBC=EFB=22.5°，CGB=EGF=22.5°=GBC ， CG=BC=DE ， BC=CD ， DE=CD=CG ， DEG=DCE=45°，EC= 2 CD ， CDG=CGD= 12 （180°-45°）=67.5°，DGE=180°-67.5°=112.5°，GHC=CDF+DFB=90°+22.5°=112.5°，GHC=DGE ， CHGEGD（AAS），EDG=CGB=CBF ， GDH=90°-EDG ， GHD=BHC=90°-CGB ， GDH=GHD ， GDH=GHD ， 故符合题意；EFB=22.5°，DHG=GDH=67.5°，GDF=90°-GDH=22.5°=EFB ， DG=GF ， HG=DG=GF ， HF=2HG ， 即ECHF=2HG ， 故符合题意；CHGEGD ， SCHG=SEGD ， SCHG+SDHG=SEGD+sDHG ，即 SCDG=SCDGSDHF ，故不符合题意；结合前面条件易知等腰三角形有：ABD、CDB、BDF、CDE、BCG、DGH、EGF、CDG、DGF共9个，故不符合题意；则正确的个数有2个故答案为：B 二、填空题11.延长AG交BC于点E ， 则 EG=AG=6 ，AE=12 正方形ABCD边长为10，AB=BC=10 在 RtABE 中， BE=AE2-AB2=122-102=211 ，CE=BC-BE=10-211 ，由折叠的性质得， AC'=CE=10-211 ，故答案为： 10-211 12.如图，延长BA到D，使AD=BC，连接OD，OA，OC， 四边形ACEF是正方形，AOC=90°，CO=AO，ABC=90°，ABC+AOC=180°，BCO+BAO=180°，BCO=DAO，在BCO与DAO中， BC=ADBCO=DAOCO=AOBCODAO（SAS），OB=OD，BOC=DOA，BOD=COA=90°，BOD是等腰直角三角形，BD= 2OB ，BD=AB+AD=AB+BC=8，OB= 42 .故答案为 42 .13.解：作C'GBC，连接C'C交MN于点K，连接CM 根据题意可得，四边形ABEF为正方形，BGE为等腰三角形 C'G=12×2=1，CG=4-BG=4-1=3 设CN=C'N=x，则GN=3-x 在直角三角形C'GN中，1+（3-x）2=x2 ， 解得x=53 CN=53 在直角三角形CC'G中，CC'=32+12=10 由折叠可得，CK=CC'2=102 ， CKMN 12MN×ck=12CN×CD MN=CN×CDCK=210314.解： 正方形OABC边长为1， OB=2 ， 正方形OBB1C1是正方形OABC的对角线OB为边， OB1=2， B1点坐标为（0，2）， 同理可知OB2=22 ， B2点坐标为（-2，2）， 同理可知OB3=4，B3点坐标为（-4，0）， B4点坐标为（-4，-4），B5点坐标为（0，-8）， B6（8，-8），B7（16，0） B8（16，16），B9（0，32）， 由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的2倍， 2020÷8=2524， B2020的纵横坐标符号与点B4的相同，纵坐标为负数，横坐标是正数， 点B2020的纵坐标为 -21010. 15.解：如图，延长AE、CD交于一点G，连接BG交EF于H， EGD=90°， DE=2，CDF=45°， GD=EG=2 ， 设正方形的边长为a，则AE=CD=a-2 ， 2AE+2AB=4a-22=1408 ， 解得a=35+428 ， BG=2a=352+88 ， BH=BG-HG=352+88-1=3528 ， 故答案为：3528.16.如图，连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM， EDF= ODM=90°， EDO=FDM，在EDO与FDM中， DE=DFEDO=FDMDO=DM EDOFDM (SAS) ， FM=OE=2，正方形ABCD中，AB=4，O是BC边的中点， OC=2， OD=42+22=25 OM=(25)2+(25)2=210OF+MF OM， OF210-2线段OF长的最小值为 210-2故答案为： 210-2三、解答题17.（1）证明：在正方形ABCD中，ADBC，BAD=90°， AGH=GHCGHAE，EAB=AGHEAB=GHC（2）补全图形，如图所示 AE=2CN 证明：连接AN，连接EN并延长，交AB边于点Q四边形ABCD是正方形，点A，点C关于BD对称NA=NC，1=2PN垂直平分AE，NA=NENC=NE3=4在正方形ABCD中，BACE，BCD=90°，AQE=41+AQE=2+3=90°ANE=ANQ=90°在RtANE中， AE=2CN 18.（1）BE= DG，BEDG（2）如图2，延长BE， GD交于点H， 四边形ABCD是正方形，四边形CEFG是正方形，BC=CD，BCD=ECG=90°，CE= CG，BCE=DCG，BCEDCG(SAS)， BEC=DGC，BEC+HEC= 180°，DGC+HEC=180°，DGC+HEC+ CECG+DHE = 360°，DHE=90°，DGBE；如图3，过点G作GNBC，交BC延长线于点N， AE= 1，AD=3，DE= 2，ECG=DCN= 90°，ECD=GCN又EC=CG，EDC=N=90°，ECDGCN(AAS)，DE=GN=2，CN=CD=3，BN= BC+ CN= 6，BG= BN2+CN2 = 62+22 = 210 解：（1）如图1，延长GD交BE于点H， 四边形ABCD是正方形，四边形CEFG是正方形，BC=CD，BCD=ECG=90°，CE=CG，BCEDCG（SAS），BE=DG，BEC=DGC，BEC+EBC=90°，DGC+EBC=90°，BHG=90°，BEDG；19.（1）证明：连接PC， 四边形ABCD是正方形，AB=CB，ABD=CBD=45°，BCD=90°，在ABP与CBP中，AB=CBABD=CBDPB=PB ，ABPCBP（SAS），PA=PC，PECD，PFBC，PFC=90°，PEC=90° 又BCD=90°，四边形PFCE是矩形，EF=PC，PA=EF；（2）解：由（1）知四边形PFCE是矩形， PE=CF，PF=CE，又CBD=45°，PEB=90°，BE=PE，又BC=12，矩形PFCE的周长为2(PE+EC)=2(BE+EC)=2BC=2420.（1）3（2）解：如图2，在AD上截取AHDE，连接EH，作EH的垂直平分线，交DH于F，连接EF，则EDF就是所求作的三角形 如图3，连接OD、OA、OH，O为正方形的中心，OAOD，DOA90°，在AHO和DEO中，AO=OD1=2AH=DE ，AHODEO（SAS），OEOH，43，EOHDOA90°，OF是EH的垂直平分线，EFFH，在EOF和HOF中，OE=OHOF=OFEF=FH ，EFOHOF（SSS），EOFHOF，EOHDOA90°EOF45°解：（1）AB的垂直平分线交AC于点D， BDAD，BCD的周长BCCDBDBCAC123，故答案为：3；21.（1）证明： 四边形ABCD是正方形 ， AB=BC，ABE=CBE，BE=BE ABECBE（SAS） AE=CE（2）解： 四边形ABCD是正方形 ， EBC=EDP=45° PBC=30°， EBP=15° PEBD，点O为BP的中点， OE=OB=OP OEB=EBP=15° POE=OEB+EBP=30°（3）连接OC, 点O为BP的中点，BCP=90° OB=OC OBC=OCB=30° POC=OBC+OCB=60° EOC=POE+POC=90°， OE=OB=OC=2 CE=OC2+OE2=2 22. （1）；（2）证明：取EF中点Q，连接QN，QM， QN/FC,QN=12FC,MQ/BE,MQ=12BE, 由（1）知当BECF时BE=CF，NQ=MQ，QNM=QMN，QMN=OGH，QNM=OHG，OGH =OHG，OGOH；（3）解：AM=2， 过M作MKBC，由（1）同理可证MNK AED，AEMN，AOM=90°，AB=3，DAE=30°，AD=3，设DE=x，AE=2x，则根据勾股定理可得： AE=23 ， DE=3 ，O为AE中点， AO=12AE=3 ，同理可得：AM=2.（1）；  证明：过点G作GHAB于H，由题意知GH=AD=AB，GHE=B=90°，有BAF+AFB=90°，AFGE，AOE=90°，BAF+AEG=90°，AFB=AEG，AFB GEH（ASA），AF=EG；23.（1）解： ABC90°，BAC45°，BCA90°45°45°，BACBCA，ABBC，ABC是等腰三角形，ABC沿AC翻折得到ADC，ABCADC，ADAB，CDBC，ABADCDBC，四边形ABCD是菱形，B90°，四边形ABCD是正方形 （2）解： 由旋转可知，ABCEBF，ABBE，BCBF，ACEF，ABECBF，在ABE和CBF中， AB=BCABE=CBFBE=BF ，ABECBF（SAS），AEBBFC，AECF，ABBC，ABBEBCBF，BCFBFC，AEBBCF，BEFACB45°，AEBBCF，180°（AEB+BEF）180°（BCF+ACB），FEMACM，在ACM和FEM中， FEM=ACMM=MAC=FE ，ACMFEM（AAS），AMFM，MACMFE，DACDCA45°，MAC45°DAM，MCA45°+MCD，DAMMCD，MAC+ACM45°DAM+45°+MCD90°，M90°，AMFM，故答案为：AMFM且AMFM深入探究：（3）CM 5 解：（3）取AC的中点G ， 连接EG ， BG ，  DECM ， DEMM90°，AGGE 52 ，ABBE ， 在BAG和BEG中， BG=BGAB=BEAG=EG ，BAGBEG（SSS），BEGBAG90°，GBA+GBE 2 ，EBA ， EAB 180°-2 ，ABG+BAE 2 + 180°-2 90°，BGAE ， AB5，AG 52 ，BG 552 ， 12 AE 552 12 ×2×5× 52 ，解得：AE2 5 ，设CMMEx ， 在RtACM中，x2+（x+2 5 ）2（5 2 ）2 ， x0，x 5 ，故CM 5