3.1.2 椭圆（第二课时）（精讲）（解析版）.docx

3.1.2 椭圆思维导图常见考法考点一 点与椭圆的位置关系【例1】已知点P(k,1)，椭圆1，点P在椭圆外，则实数k的取值范围为_【答案】【解析】依题意得，>1，解得k<或k>.【一隅三反】1.已知点(1,2)在椭圆1(n>m>0)上，则mn的最小值为_【答案】9【解析】依题意得，1，而mn(mn)145529，当且仅当n2m时等号成立，故mn的最小值为9.考点二 直线与椭圆的位置关系【例2-1】（2020·上海高二课时练习）为何值时，直线和曲线有两个公共点?有一个公共点?没有公共点?【答案】见解析【解析】由，得，即当，即时，直线和曲线有两个公共点；当，即时，直线和曲线有一个公共点；当，即时，直线和曲线没有公共点【例2-2】（2020·吉林长春.高二月考）直线与椭圆的位置关系为()A相切B相交C相离D不确定【答案】B【解析】由题意，直线，可得直线恒过点，又由，所以点在椭圆的内部，所以直线与椭圆相交于不同的两点，故选B对于含有一个参数的直线方程，往往是过定点的，找到这个定点后，只需要这个定点在椭圆内或是椭圆上即可，也即是.【一隅三反】1（2019·全国高二课时练习）直线与椭圆恒有两个公共点，则m的取值范围为()ABCD【答案】C【解析】已知直线ykx1与椭圆联立方程组可化为（m+5k2）x2+10kx+5-5m=0，要使得直线与椭圆恒有两个公共点，则=100k2-4（m+5k2）（5-5m）=20m2-（1-5k2）m0，m0，m5m1-5k2，m0，m5，又kR，m1，且m5m的取值范围为（1，5）（5，+）故选C2（2020·全国高三课时练习（理）(2018·兰州一模)已知直线ykxk1与曲线C：x22y2m(m>0)恒有公共点，则m的取值范围是()A3，)B(，3C(3，)D(，3)【答案】A【解析】直线方程为直线恒过定点曲线的方程为曲线表示椭圆直线与曲线：恒有公共点点在椭圆内或椭圆上，即.故选A.3.直线yxm与椭圆有两个不同的交点，则m的范围是()A5m5Bm，或mCmDm【答案】D【解析】由，得5x2+8mx+4m24=0，结合题意=64m220（4m24）0，解得：m，故选：D考点三 弦长【例3】（2020·云南省泸西县第一中学高二期中（文）已知椭圆x24+y29=1及直线l：y=32x+m（1）当直线l与该椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；（2）当m=3时，求直线l被椭圆截得的弦长【答案】（1）32,32；（2）13.【解析】（1）由y=32x+mx24+y29=1消去y，并整理得9x2+6mx+2m218=0=36m2362m218=36m218直线l与椭圆有公共点0，可解得：32m32故所求实数m的取值范围为32,32（2）设直线l与椭圆的交点为Ax1,y1，Bx2,y2由得： x1+x2=2m3， x1x2=2m2189AB=1+k2x1+x224x1x2=1+3226m924×2m2189=133m2+18 当m=3时，直线l被椭圆截得的弦长为13【一隅三反】1（2020·全国高二课时练习）已知椭圆C：的焦距为，短半轴的长为2，过点P(2,1)且斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点(1)求椭圆C的方程；(2)求弦AB的长【答案】（1）；（2）.【解析】(1)已知椭圆焦距为，短半轴的长为2，即2c=4，b=2，结合a2=b2+c2，解得a= ，b=2，c=2故C：.(2)已知直线l过点P(2,1)且斜率为1，故直线方程为y-1=x+2，整理得y=x+3，直线方程与椭圆方程联立 得. 设， 2（2020·全国高二课时练习）斜率为1的直线与椭圆相交于两点，则的最大值为_.【答案】【解析】斜率是1的直线L:y=x+b代入,化简得，设,则，且，解得.，b=0时,|AB|的最大值为，故答案为:.考点四 点差法【例4】（1）（2020·上海高二课时练习）直线与圆相交于两点，弦的中点为，则直线的方程为_（2） （2020·全国高二课时练习）已知椭圆E：，的右焦点为，过点F的直线交椭圆E于A、B两点若AB的中点坐标为，则E的方程为_.（3）直线yx1与椭圆mx2ny21(m>n>0)相交于A，B两点，若弦AB的中点的横坐标等于，则椭圆的离心率等于_.【答案】（1）.（2）（3）【解析】（1）设圆心，直线的斜率为，弦AB的中点为，的斜率为，则，所以由点斜式得（2）已知，设，则，已知AB的中点坐标为，得， ，即，又，即E的方程为.（3）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，x0，代入yx1得y0.所以m x12n y121，（1）m x22n y221，（2）由（1）-（2）得：，e2，e.故答案为：.【一隅三反】1（2020·上海高二课时练习）如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是_【答案】 y=-0.5x+4【解析】设弦为，且，代入椭圆方程得，两式作差并化简得，即弦的斜率为，由点斜式得，化简得.2（2020·海林市朝鲜族中学高二课时练习）已知椭圆方程为+y2=1,则过点且被P平分的弦所在直线的方程为_.【答案】【解析】设这条弦与椭圆交于点，由中点坐标公式知,把代入,作差整理得，这条弦所在的直线方程为，即，故答案为.3过点M(2,0)的直线l与椭圆x22y22交于P1，P2两点，线段P1P2中点为P，设直线l的斜率为k1(k10)，直线OP的斜率为k2(O为原点)，则k1·k2的值为_.【答案】【解析】设直线的方程为：，由，整理得：，所以，所以，所以，所以4（2019·内蒙古一机一中高二期中（文）斜率为的直线l被椭圆截得的弦恰被点平分，则的离心率是_【答案】.【解析】设直线l与椭圆的交点为 因为弦恰被点 平分，所以 由，两式相减可得： 化简可得：，因为直线l的斜率为，所以即所以离心率 故答案为5（2018·河南高二月考（文）已知椭圆：（）的右焦点为，过点的直线交椭圆交于，两点，若的中点，且直线的倾斜角为，则此椭圆的方程为（ ）ABCD【答案】A【解析】，令，则，.故选A. 10 / 10