数学建模自习室开放问题(共18页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上自习教室开放的优化管理自习教室开放的优化管理摘要：该题是一个优化问题，力求一套合理的方案来解决目前学校电浪费比较严重这种现象。在大胆而又合理的假设的前提下，我们不断使用了一些转换方法将问题简单清晰化，最终快速而有效地解决了问题。对于问题（1）这个单变量最优化问题，我们借助相关的约束条件和我们所建立的01分布函数顺利得到一个合理解。在解此问题中，我们使用了0-1分布。来协助求解哪些教室开放，再加上相关的约束条件得解。针对问题（2）这个双变量最优化问题，目标是兼顾，我们创新的把它分解为两个单变量最优化问题进行求解。第一步建立一个满意函数，因较偏重省电，因此的权重值:；的权重值：，找出满意区。第二步再在已找出的满意区里找出一套最省电的管管理教室开放的方案。对于问题（3）这个综合问题，相对问题（1）和问题（2）而言较难，但我们可以把该问题进行一个分解：先假设在所有区内都搭建一个新教室，然后建立一个函数使得每个新自习区较省电且座位也挺多，利用相关条件即可得出搭建的9个教室的规格；再利用问题（2）中所引入的满足函数，即，而这次我较注重满意度，引入权重值，的权重值：；的权重值：，求的最终解。关键词：01分布 归一化 满意区 满意函数 权重值1：问题的重述自习教室开放的优化管理近年来，大学用电浪费比较严重，集中体现在学生上晚自习上，一种情况是去某个教室上自习的人比较少，但是教室内的灯却全部打开，第二种情况是晚上上自习的总人数比较少，但是开放的教室比较多，这要求我们提供一种最节约、最合理的管理方法。管理人员只需要每天晚上开一部分教室供学生上自习，每天晚上从7：00-10：00开放（如果哪个教室被开放，则假设此教室的所有灯管全部打开）。完成以下问题：1  假如学校有8000名同学，每个同学是否上自习相互独立，上自习的可能性为0.7.要使需要上自习的同学满足程度不低于95%，开放的教室满座率不低于4/5，同时尽量不超过90%。问该安排哪些教室开放，能达到节约用电的目的. 2  假设这8000名同学分别住在10个宿舍区，现有的45个教室分为9个自习区，按顺序5个教室为1个区，即1,2,3,4,5为第1区，41,42,43,44,45为第9区。这10个宿舍区到9个自习区的距离见表2。学生到各教室上自习的满意程度与到该教室的距离有关系，距离近则满意程度高，距离远则满意程度降低。假设学生从宿舍区到一个自习区的距离与到自习区任何教室的距离相同。请给出合理的满意程度的度量，并重新考虑如何安排教室，既达到节约用电目的，又能提高学生的满意程度。另外尽量安排开放同区的教室。3  假设临近期末，上自习的人数突然增多，每个同学上自习的可能性增大为0.85，要使需要上自习的同学满足程度不低于99%，开放的教室满座率不低于4/5，同时尽量不超过95%。这时可能出现教室不能满足需要，需要临时搭建几个教室。假设现有的45个教室仍按问题2中要求分为9个区。搭建的教室紧靠在某区，每个区只能搭建一个教室，搭建的教室与该区某教室的规格相同（所有参数相同），学生到该教室的距离与到该区任何教室的距离假设相同。问至少要搭建几个教室，并搭建在什么位置，既达到节约用电目的，又能提高学生的满意程度.2:问题分析 由于知识相对缺乏在解此题过程中，我们采用了合理而用大胆的假设，利用多种转化方式，将原来复杂的问题即求解过程简单清晰化，具体如下： 在解问题（1）时，我们把教室开放还是关闭着两种情况转化为一个函数，即0-1分布。 在解问题（2）时，我们把一个双变量最优化问题转化为两个单变量最优化文进行求解。先找出满意区再找出最省电的一套开放教室来满足目标函数：在解问题（3）时，我们把问题（3）分解为问题（1）和问题（2）的综合。这种解决方案不但快速有效的解决问题，而且具有普遍性，可运用到很多相关问题中。（1） 该问题是一个单变量最优化问题，力求在这45种规格的教室中选出一套最省电的开放方案，只要解得的最小值且满足条件：即可得出一套最佳方案。（2）该问是一个双变量最优化问题，题目要求从9个自习区选出教室供10各宿舍区的同学上自习，但要同时兼顾两个目标，而同学上自习的满意度仅与他们的宿舍区到自习区的距离有关。也即是说尽量挑选出的教室的总电功率是接近最小的且距离也是要接近最短的，我们使用的方法是将此双变量最优化问题转化为两个单变量最优化文进行求解。通过权重值建立一个满意函数，因较偏重省电，因此的权重值:；的权重值：。通过一系列的已知条件和约束条件得到既较省电又满意度较高的满意区。再建立一个函数求出在已选出的满意区里最省电的一套开放教室方案，即可求解问题（2）。（3）该题是一个综合的问题，相对问题（1）和问题（2）而言较难，但我们可以把该问题进行一个分解：先假设在所有区内都搭建一个新教室，然后建立一个函数使得每个新自习区较省电且座位也挺多，利用相关条件即可得出搭建的9个教室的规格；再利用问题（2）中所引入的满足函数，即，而这次我较注重满意度，引入权重值，的权重值：；的权重值：，求的最终解。3：模型的假设和符号的说明模型的假设（1） 开放的教室灯全部打开。（2） 同学是否上自习相互独立，互不影响。（3） 同学上自习时一个人占一个座位。（4） 同学上自习过程中不能换教室。（5） 每个同学上自习的时间都为7:0010:00.，且在这个时间段内使用灯。（6） 所有灯管完好无损，正常工作。（7） 所有座位完好无损。（8） 某个自习区到某个自习区内任一教室距离相同。（9） 假设学校在这段时间内学生人数固定不变。（10） 同学上自习的满意程度只与他们到自习室的距离有关。（11） 搭建的新教室不影响同学满意度。符号的使用及其说明假设变量： 教师号，=1,2,45。第个教室的座位数（个）。第个教室允许人数（个）。第个教室的灯管数（个）。第个教室的每个灯管功率（瓦）。第个教室的所有灯管的功率（瓦）。学生宿舍区号，=1,2,10。学生自习区号，=1,2,9。第个自习区的总电功率。第个宿舍区到第个自习区的距离。第个自习区的总座位数。满意区开放教室的总功率。满意区的教室号。满意自习区教室的开放情况。满意去自习室的座位数。开放的满意区自习室所允许的人数。上自习同学的满意程度。搭建教室的总座位数（个）。第个自习区的教室号，m=1,2，5。平时上自习的人数（个）。临近考试上自习人数（个）。临近考试所有开放教室的允许人数。第个自习区内第m个自习室的座位数。第个自习区内第m个自习室的开放情况。教室的开放情况。搭建后第个自习区的总功率。第个自习区第个自习室的功率。所有开放自习室的总功率（瓦）。变量间的关系说明问题（1）的变量关系目标：求的最小值。问题（2）的变量关系自习区的功率归一化公式：的权重值:第个宿舍区到第个自习区的距离归一化公式：的权重值：满意函数目标：求的最小值问题（3）的变量关系：第个自习区的总功率的归一化公式：的权重值：第个宿舍区到第个自习区的距离归一化公式：的权重值：满意函数4：模型建立与求解由附录1中表格以及问题的相关变量关系可建立如下标准的目标函数： =又由题中相关信息得到约束条件：即且 即 而运用01归一化又可得：即我们选用MATLAB软件解决此问题，运行程序如下>>P=42*40,42*40,48*50,50*48,36*45,36*45,36*48,36*45,36*40,36*45,27*40, 75*45, 48*48, 50*50, 42*40,42*40,48*50,50*48,36*45,36*45,36*48,36*45,36*40,36*45,27*40,75*45, 48*48, 50*50, 48*48,50*50,36*40,36*45,27*40,75*45,48*48,50*50,48*48,48*48, 50*50, 48*48, 50*50,48*48,48*48,25*50,45*48;C=64,88,193,193,128,120,120,120,110,120,64,247,190,210,70, 85, 192, 195, 128, 120,120,120,110,160,70,256,190,210,190,205,110,160,70, 256, 190, 210, 190,190,210,200,150,150,180,70,120;M=-0.9*C; m =0.9*C;N=0.8*C;X=N; M; m ;b=5320;-5320;5600;A, fval =bintprog(P, X ,b);Obtimization teminated由该程序得出结果：；而 且 74396即最佳的教室管理方式是：关闭1、2、7、8、10、15、25、33、44、45这10个教室，开放剩下的这35个教室，而且这种的管理方式相对而言是最省电的一种方案，且最小的总电功率为74396。如果要做调整，会发现得到的总电功率是大于这个最小功率的，比如关闭教室8而开放教室9，得到的总功率为74777，因此上述方案是一个相对省电而言的最佳方案。由于该题是一个双变量最优化问题，我们将分两步转化为单变量最优化问题来解答。第一步 先找出既节约用电且同学上自习的满意度相对较高的自习区，后面称为满意区。由题意可知，吧45个教室按教室号平均分成9个自习区，则可得个自习区内的总座位数和总电功率。得到如下表：表各自习区所对应的总功率与总电功率教室区号总座位数（个）66659078172058010517861000670总电功率（瓦）9780820810939972074881298398191191210518再由各区的电功率的归一化公式（归一化：九个自习区各区电功率占总的教室的电功率的比重，且九个比重之和等于1）把各区的总功率有量纲化为无量纲得到表：表各自习区所对应的总功率无量纲化教室区号电功率0.1070.090.120.1060.0820.1420.1070.130.115又由题目中已给出的十个宿舍区分别到九个自习区的距离，得下表表，表 各宿舍区到各自习区的距离355305658380419565414488326695533469506434473390532604512556384452613572484527618324541320466422650306607688696616475499386557428684591465598407476673573385636552354383543552448530481318311425305454573337314545543306307376535323447553587577334482477441361570580591491522再由各个宿舍区到各个自习区的距离归一化公式（归一化：第i个宿舍区到各个自习区的距离占这个宿舍区到这九个自习区的距离之和的比重，且比重之和等于1）把第i 个宿舍区到各个自习区的距离无量纲化得到如下表；表 各个宿舍区到各个自习区的距离无量纲化0.0910.0780.1680.0970.1070.1450.1060.1250.0830.150.1150.1010.1090.0940.1020.0840.1150.130.1090.1180.0810.0960.130.1210.1030.1120.1310.0750.1250.0740.1080.0980.150.0710.140.1590.1410.1250.0960.1010.0780.1130.0870.1390.120.0980.1250.0850.10.1410.120.0810.1330.1160.090.0980.1390.1410.1140.1350.1230.0810.0790.1120.080.1190.1510.0890.0830.1430.1430.080.0760.0930.1320.080.1110.1370.1450.1430.0830.1070.1060.0980.080.1260.1280.1310.1090.116在这里我们引入满意函数，因为与均为无量纲，我们假设学校在管理教室开放情况时，更注意的是节约用电，接着才是提高学生的满意度。由式中变量关系得： 其中 ； ；由表和表得到表表：各宿舍区的同学到各自习室的满意度0.101 0.085 0.139 0.103 0.092 0.143 0.107 0.128 0.102 0.124 0.100 0.112 0.107 0.087 0.126 0.098 0.124 0.121 0.108 0.101 0.104 0.102 0.101 0.134 0.106 0.123 0.121 0.094 0.104 0.101 0.107 0.088 0.145 0.093 0.134 0.133 0.094 0.104 0.110 0.104 0.081 0.130 0.099 0.134 0.117 0.103 0.104 0.106 0.104 0.106 0.133 0.097 0.132 0.115 0.100 0.093 0.127 0.120 0.095 0.139 0.114 0.111 0.101 0.109 0.086 0.120 0.124 0.085 0.118 0.122 0.135 0.101 0.095 0.091 0.125 0.096 0.093 0.140 0.123 0.135 0.102 0.107 0.096 0.111 0.096 0.100 0.137 0.117 0.122 0.115 由表观察可得出如下关系：又由可知：f越大，和越大，即节约用电越少且距离越远；f越小，和越小，即节约用电越多且距离越近。而我们在此的目标是求得一种管理教室开放方案，使得： 因此，我们先可以就满意度而言，关闭；又因为总座位较少，故都关闭。及我们所选的满意区是： ，第二步 在上述满意区内选出最省电的一套开放教室方案 这又回到问题（1）的解答方案，即在满意度较高的7个自习区内35个教室中选出开放够用的教室且最省电的一套关闭方案。我们建立的目标函数是： =1680+1680+1250+2160其中 约束条件：(1) 即(2) 即 我们选用MATLAB软件解决此问题，运行程序如下:>>Q=42*40,42*40,48*50,50*48,36*45,36*45,36*48,36*45,36*40,36*45,27*40, 75*45, 48*48, 50*50, 42*40,42*40,48*50,50*48,36*45,36*45, 36*40,36*45,27*40, 75*45,48*48,50*50,48*48,48*48, 50*50, 48*48, 50*50,48*48,48*48,25*50,45*48;C=64,88,193,193,128,120,120,120,110,120,64,247,190,210,70, 85, 192, 195, 128, 120, 110,160,70, 256, 190, 210, 190,190,210,200,150,150,180,70,120;M=-0.9*C; m =0.9*C;N=0.8*C;X=N; M; m ;b=5320;-5320;5600;B, fval =bintprog(P, X ,b);Obtimization teminated由该程序得出结果：;即最佳的教室管理方式是：关闭1、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30这11个教室，开放剩下的这34个教室，而且这种的管理方式相对而言是最省电的一种方案，且最小的总电功率为69216。如果要做调整，会发现得到的总电功率总是大于这个最小功率的，比如关闭教室44而开放教室1，得到的总功率为69646，因此上述方案是一个相对省电而言的最佳方案且同时达到那两个目标：（3）在解该问题时，我们分为两步来求解。第一步：先假设在所有区内都搭建一个新教室，然后建立一个函数使得每个新自习区较省电且座位也挺多，利用相关条件即可得出搭建的9个教室的规格。由题意我们建立目标函数： 其中 即 j=1,2，,9;求的尽量小，尽量大9种规格的教室。新建教室的总座位数：第个自习区的总功率的归一化公式：第个宿舍区到第个自习区的距离归一化公式：在该小题中比较看重同学的满意度因此：的权重值：的权重值：故满意函数5：模型的评价模型优点：引入0-1分布，新颖而有效的解决了自习室的开放与关闭问题。引入“满意区”概念。对问题所给的数据进行了大量的仔细分析和全面统计。 建立的模型比较可靠，结果能用事实很好的解释。模型缺点：假设过于理想化。在权重值赋值时，存在人为因素，会有偏差。附录表中提供的数据与现实不完全相符。 6：模型的应用该模型不仅应用在学校，而且还在其他的优化系统中有着很广泛的应用，由于线性规划的问题涉及的因素很多，因此我们建立约束条件来满足所有的因素。因此我们在解答线性规划的优化问题时，首先建立目标函数，其次依据所有的因素建立目标函数的约束条件，最后借助数学软件来求解，得到我们满意的方案。因此，对于生活中的实际问题，我们依据模型中的方法，我们可以为决策者提供一定经验，让决策者采用更合理的方案，对决策者有一定的指导意义。参考文献【1】 郭林，最优化方法及其应用，北京：高等教育出版社，2007。【2】 赵红梅，MATLAB7基础与提高，北京，电子工业出版社，2005。【3】 董臻圃，数学建模方法与实践，北京，国防工业出版社，2006附录1：表1 教室相关数据教室座位数灯管数开关数一个开关控制的灯管数灯管的功率/每只1644231440w2884231440w31934841250w419350510 48w512836218 45w612036218 45w7120364948w81203631245w91103631240w10120364945w1164273940w122477551545w131904831648w142105051050w15704231440w16854231440w171924841250w1819550510 48w1912836218 45w2012036218 45w21120364948w221203631245w231103631240w24160364945w2570273940w262567551545w271904831648w282105051050w291904831648w302055051050w311103631240w32160364945w3370273940w342567551545w351904831648w362105051050w371904831648w381904831648w392105051050w402004831648w411505051050w421504831648w431804831648w4470255550w451204531548w附录2：表2 学生区(标号为A)到自习区(标号为B)的距离(单位:米) B1B2B3B4B5B6B7B8B9A1355305658380419565414488326A2695533469506434473390532604A3512556384452613572484527618A4324541320466422650306607688A5696616475499386557428684591A6465598407476673573385636552A7354383543552448530481318311A8425305454573337314545543306A9307376535323447553587577334A10482477441361570580591491522专心-专注-专业