方程的根与函数零点(共10页).docx

精选优质文档-倾情为你奉上基于教学评一致性的高中数学概念课的设计与实施研究 以“方程的根与函数的零点”为例摘要：概念课是高中数学基本课型之一。概念是数学学习的基础，对概念的理解程度决定了学生思维的宽度和深度，也决定了学生在知识的应用层次能达到的高度。结合具体课例的设计和实施过程，本文对高中数学概念课的设计和实施过程中需注意的问题进行了初步的总结和探讨。关键词：课程标准，数学思想，评价任务2017年10月30日到11月1日，我参加了学校“教学质量月”的磨课活动。活动结束时不禁发出感慨：上一节课不容易，上好一节课更不容易，上好一节概念课尤其不容易。整个过程，经历的是一次次思路调整的阵痛，收获的是满满的经验和一份更加坚定的信念：数学课，就应该知识是主题，能力为目的。 设计思路 一节课的设计肯定要符合课程标准的要求和学生的实际情况。一节课的设计从课程标准的分解开始，方程的根与函数的零点课程标准要求如下：“结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的关系。”从课程标准要求可以看出，行为条件是：结合二次函数图象，告诉了这节课怎么学，行为表现是：判断方程根的存在性及根的个数，了解函数零点与方程根的关系。告诉了这节课学什么。深入思考，课程标准不仅告诉了本节课的行为条件和行为表现，同时也在提示我们，本节课我们在知识学习的同时还要注重函数与方程、数形结合和化归转化思想等数学思想的渗透和应用，进而对学生在数学抽象、逻辑推理、直观想象等学科素养能力的培养。所以本节课的设计突出明暗两条线，明线是函数零点的概念和零点存在性定理等基本知识的学习，暗线是函数与方程、数形结合和化归转化思想等数学思想的渗透和应用。学生在初中学习过一次函数、二次函数、反比例函数的知识，对基本的函数和方程已经比较熟悉，能求出对应方程的根，但是对函数与方程的联系认识不全面，更没有上升到一般的函数与方程关系的层次。同时，高一的学生普遍在应用层面上有能力欠缺，在细节的把握上和定理的辨析上会出现困难。学习时更需要结合一些简单的初等函数图象让学生对函数与方程的关系及零点存在性定理有较为全面的认识。结合课程标准的要求和学生实际情况，本节课的学习目标设计如下：目标1：结合给定的函数图象，能准确说出方程的实数根和函数图象的关系，归纳函数零点的概念，并能利用概念准确求出函数的零点。目标2： 结合具体函数图象，能探究并归纳出函数的零点存在性定理。目标3：能利用函数零点存在性定理，解决函数零点存在区间和零点个数问题。重点：1.函数的零点、对应方程的根和函数图象与x轴交点的关系。2.探究、归纳函数零点存在性定理，并利用函数零点存在性定理解决零点存在区间和零点个数问题。难点：对函数零点存在性定理探究、归纳。教学设计的一些想法：一、以问题驱动学生的学习。知识的学习和应用以问题串的形式来体现，每组问题对应一个目标，同时也是该目标达成的评价任务。以问题一的设计为例。问题一：作出函数，y=x2-2x-3，y=x2-2x+3，的图象，完成下表方 程x2-2x-3=0x2-2x+3=0函 数y=x2-2x-3y=x2-2x+3图 象方程的实数根函数的图象与x轴的交点观察图象,方程的根和对应函数的图象有何关系？结论推广到一般方程与对应函数又会有什么结论？练习：求函数的零点问题一的设计思路：1、不仅仅局限于课标要求的二次函数图象，扩大为学生学习过的多种函数形式，体现了数与形的结合，为后面结论推广到一般方程与对应函数的关系和问题二对函数零点存在性定理的探究奠定充分的实例基础。2、练习的设计，有四个目的：（1）及时评价，检验学生对函数零点、对应方程的根和函数图象与x轴交点的关系的掌握程度。（2）方法的明确和小结：利用解方程或者利用函数图象求函数的零点。（3）根据学生作答情况，可以随时对定义域调整，二次检测，加深概念的理解。例如函数定义域变形为。（4）为后面问题二中函数零点存在性定理的辨析做铺垫。二、对教材内容进行重组、变形、提炼。以问题二为例。问题二：方程是否有解，如果有解，有几个解？思考、判断：1、如果函数y=f(x)在闭区间a,b满足，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点。（ ） 2、如果函数y=f(x)在闭区间a,b上的图像是连续不断的一条曲线，并且那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点。（ ） 3、如果函数y=f(x)在闭区间a,b上的图像是连续不断的一条曲线，并且有那么函数y=f(x)在区间(a,b)内只有一个零点。（ ） 4、如果函数y=f(x)在闭区间a,b上的图像是连续不断的一条曲线， 并且函数y=f(x) 是区间(a,b)上的单调函数,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有唯一一个零点。( ) 问题二的设计思路：1、学习卷的使用体现了先学后教的教学理念，学生在课前已经对本节课的知识有了一个大致的了解，很容易忽略概念的产生、发展过程而只注重知识的应用，恰恰概念的产生、发展过程培养了学生的思维能力，决定了学生今后会达到什么高度。课堂引入阶段先抛出问题二“方程是否有解，如果有解，有几个解？”让学生有陌生感、新鲜感，能造成学生的认知冲突，此时问题的解决，又能让学生收获学习的成就感，提升学生学习兴趣。2、“例1：的零点个数”改编为“方程是否有解，如果有解，有几个解？”，实质是对前面学习的函数与方程关系的延伸和再应用，引导学生在现有知识能力条件下“找出路”。方程解决不了，就可以往函数图象上考虑，潜移默化下灌输了转化化归思想的应用，通过观察函数零点所在区间端点函数值乘积的特点，引出函数零点存在性定理，也为后续函数零点存在性定理的辨析提供了实例。3、方程可以更方便的变形为，即形式，为后续函数零点问题转化为和的交点问题做好铺垫。4、受限于学生的能力，本节课是通过一组命题的真假判定对定理进行辨析，随着学生能力的提升，问题可以设计的更加开放。可以有针对性、有层次的对定理的条件和结论改变并加以辨析，加深学生对函数零点存在性定理的理解，更有助于目标三的达成。三、评价任务的设计要承前启后，既是对本节课知识和能力的检测，又能为后续知识的学习做好铺垫。以问题三和课后作业的设计为例。问题三：函数f(x)=lnx-2x2+3的零点一定位于下列哪个区间？（ ）A.(4,5) B.(1,2) C.(3,4) D.(5,6)三、检测与反馈（课后完成）1.下列方程在（0，1）内存在实数解的是（ ）A.x2+x-3=0 B. C. D.2.已知函数f(x)是定义域为的奇函数，且f(x)在上有一个零点，则f(x)的零点个数为（ ）A.3 B.2 C.1 D.不确定变式：已知函数f(x)是定义域为的奇函数，且f(x)在上有2个零点，则方程f(x)=0的根个数为_,方程f(x)=0的各根之和为_3.若函数y=2mx+4在-2,1上存在零点，则实数m的范围是_4.若函数有零点，则实数的取值范围是 5.下列说法正确的有_：对于函数f(x)x2mxn，若f(a)0，f(b)0，则函数f(x)在区间(a，b)内一定没有零点函数f(x)2xx2有两个零点 若奇函数、偶函数有零点，则其零点之和为0.当a1时，函数f(x)|x22x|a有三个零点。拓展题：思考：你能否设计一个方案，将问题二中函数零点所在的区间进一步缩小？并估计函数的零点。评价任务的设计思路：1、评价任务要与目标对应，例如，问题三对应目标三；检测反馈部分1,3,4,5对应目标二，目标三；检测反馈部分2,4,5对应目标一。2、评价任务要注重知识的融合和延伸，例如检测反馈部分2及其变式3.评价任务要能为后续的学习做铺垫，例如拓展题中的思考，就是为下节课二分法的学习提供了引例。 课后反思方程的根与函数的零点课后的几点思考：1、学习卷使用中，如何让学生保持学习的“新鲜感”不仅仅只关注知识的应用，这是我们共同关注的问题。这需要我们在学习卷设计中“推陈出新”，需要我们在设计环节反复琢磨、认真推敲。这不是一个人的战争，更多的要发挥我们团体的力量，要充分用好集体备课这个利器。2、一堂课要站在一定的高度来设计，不能只站在一节课的角度去理解，要从一个章节甚至整个学科层面来进行考虑。要做到承前启后，让学生在过程中体会到知识之间的联系和变化，一节课，学生不应该仅仅只学到了知识，更要无形中改变和培养学生的学科思维方式，提升学生的思维能力。 3、不仅要关注课的设计，更要关注课堂上学生的学。学生是学习的主体，我们的最终目的是让学生学会、会学。“问、学、论、用”的灵智课堂要求，也是为了打造良好的课堂生态，把课堂交给学生，让学生动起来，让学生多说说、多做做，充分暴露学生在学习过程中的出现的问题，同时要对学生暴露和产生的新问题真解决、解决透，才会在树立学生知识结构和今后知识的应用过程中不留隐患。 评课部分毛伟东老师的评课:本节课教学设计思路清晰,重点突出,主题鲜明,设计精巧。通过本节课的学习学生不仅知识得以发展,而且思维能力得以提升。具体表现为以下几方面：1.问学论用在本节课中体现的淋漓尽致。（问）：创设情境方程有解吗？（学）围绕问题展开思考，通过具体的实例归纳零点的概念；（论）通过判断题辨析零点的概念；（用）例题求函数的零点；（再问）：再创设情境方程有解吗？回归课前问题解决，不为创设而创设。（再学）归纳零点的存在性定理；（再论论）通过判断题辨析零点的存在性定理；（再用）例题利用定理判断零点的位置；2.知识与思维和谐生长。一明一暗两个线索相互胶着，明线是知识线，暗线是思维线。开篇一问：方程有解吗？这一问定调此部“电影”为悬疑片，一个似非新，而又的确新的问题勾起学生无限的幻想与困惑，很有带入感。一个新问题逼学生不得不思考，整节课围绕这个问题展开，归纳、辨析、应用，课堂充满了思维的气氛。3.教学设计精巧。敢于打破教材顺序，把例题改编并且前置，以此创设情境，围点打援（点即为开篇问题），生成问题解决问题，遇到问题解决问题，有想法有战术。4.各个环节以问题为载体创设活动，问题有老师预设，有针对学生提出，有学生自主生成，充分激发学生的“好奇心”，学生展开讨论，气氛活跃。5.让学生自由发言，生成很多意想不到的问题。出乎意料，反映出了学生的思维活跃，自由发言反映出了学生的自信，自由发言展现出了学生思维的进程；出乎意料，衬托出老师的讲解精妙。很多的出乎意料构成一道亮丽的风景线。6.数学思想镶嵌在整个教学之中，函数方程、数形结合、化归转化等数学思想老师讲的突出、自然又无形。学生不知不觉学会了用数学思想解决问题的意识。另外建议： 1.课堂小结时老师能展示本节课的结构图，学生能从整体上把握所学内容；2.对于零点概念的强调变成耳熟能详朗朗上口的语句：零点非点便于学生理解记忆；3. 练习一再加两个变式，改变x的取值范围，加深学生对零点求法的理解，形成解决一类问题的类感。纵观本节课，老师严谨开放，学生思维灵动。学生不仅学会了知识，而且学会了解决问题的方法，甚至学到了遇到问题设计解决问题的策略与路径。刘进老师的评课:首先看学习卷的设计,学习目标分为三个,即:归纳出函数零点的概念,探究函数零点存在性定理,利用函数零点存在性定理解决零点所在区间和零点个数的问题,符合课标要求。评价任务由三个问题和一组辨析组成,紧紧围绕着学习目标指定的。从课程内容上来看,本节课体现出函数与方程思想和数形结合思想,始终在揭示函数与方程之间的内在联系,同时本节的零点存在性定理也为下节课学习用二分法求方程的近似解打下基础。在观课之前,我又认真的查看了崔教授课堂观察框架的四个维度和20个视角,四个维度,即学生学习:关注学生怎么学?学得怎样?是否有效?教师教学:关注教师怎么教?教的怎样?是否有效?课程性质:教和学内容是什么?学科特点和本质?课堂文化:关注课堂整体感受,关注师生互动,对话与交流.在观课过程中,这些方面都得到了体现,我都深有感触,20个视角中,有一个视角是看教师如何处理教材的,是否有增、删、合或调整。董老师对教材有两处调整，把课本中的例1调在最前面，作为一个问题情境带领学生走进课堂，此问题是利用函数思想解决方程根的个数问题，即点明了本节课的学习目标，同时从学生的认知冲突中，引发学生的好奇心，求知欲，接着通过教师引导，推动问题进一步的探究，教学设计中以学生熟悉的一次函数、二次函数、反比例函数图像及相应方程为平台，观察方程与函数形式上的联系，顺利推广至f(x)=0的实根与相应函数的关系，归纳出函数零点的定义，达成目标一。此处对教材有一调整，课本上用三个二次函数的图像及相应方程根的个数为引例，而董老师增加了一个一次函数和一个反比例函数，个人觉得对目标达成无必要。课堂中还使用了由特殊到一般的数学思想，恰当使用多媒体展示学生作答情况，帮助学生直观形象的理解问题，了解知识的形成过程，但在做例1的函数图像时，个人觉得使用多媒体动画演示作图过程更为生动清晰。 课堂中还不断渗透化归于转化的数学思想，比如：方程有根等价于函数图像与x轴有交点等等，采用了“启发-探究-讨论”的教学模式，精心设计每一个问题，给学生充分的思考、创造、表现的机会，有利于突出重点，突破难点，最终归纳出零点存在性定理，达成目标二。 从教师的呈示上来看，董老师语言可谓经过千锤百炼，准备非常充分，所抛出的问题串，即能启发学生思考，同时又紧紧围绕学习目标环环相扣，层层推进，我所观察的样本学生始终在认真听讲，积极讨论，一些学生不停的举手发言，激动心情溢于言表，看到课堂上的这种生态，我想到了崔允漷教授的一句话：“教的有效，学的愉快，考的满意”，或者至少做到了前两点吧。参考文献1 洛林·W.安德森等. 布鲁姆教学目标分类学（修订版）外语教学与研究出版社.20092 普通高中数学课程标准（实验）.人民教育出版社.20033 高中数学课例点评.陕西师范大学出版社.20084 杨向东、崔允漷.课堂评价：促进学生的学习和发展.华东师范大学出版社.2012 作者：郑州市第五中学 董研 毛伟东 刘进 联系电话：专心-专注-专业