MATLAB求解微分方程实验.ppt
1MATLAB求解微分方程实验 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望2实验目的实验目的实验内容实验内容MATLAB2、学会用、学会用Matlab求微分方程的数值解求微分方程的数值解.实验软件实验软件1、学会用、学会用Matlab求简单微分方程的解析解求简单微分方程的解析解.1 1、求简单微分方程的解析解求简单微分方程的解析解.2、求微分方程的数值解、求微分方程的数值解.3微分方程的解析解微分方程的解析解 求微分方程(组)的解析解命令:dsolve(方程方程1,方程方程2,方程方程n,初始条件初始条件,自变量自变量)注意:y Dy,y D2y 自变量名可以省略,默认变量名t。例1输入:y=dsolve(Dy=1+y2)y1=dsolve(Dy=1+y2,y(0)=1,x)输出:y=tan(t-C1)(通解)y1=tan(x+1/4*pi)(特解)MATLAB软件求解5例2 常系数的二阶微分方程y=dsolve(D2y-2*Dy-3*y=0,x)y=dsolve(D2y-2*Dy-3*y=0,y(0)=1,Dy(0)=0,x)输入:y=C1*exp(-x)+C2*exp(3*x)y=3/4*exp(-x)+1/4*exp(3*x)结果:6x=dsolve(D2x-(1-x2)*Dx+x=0,x(0)=3,Dx(0)=0)例3 非常系数的二阶微分方程无解析表达式!7x=dsolve(Dx)2+x2=1,x(0)=0)例4 非线性微分方程x=sin(t)-sin(t)若欲求解的某个数值解,如何求解?t=pi/2;eval(x)MATLAB软件求解8输入:x,y=dsolve(Dx=3*x+4*y,Dy=-4*x+3*y)x,y=dsolve(Dx=3*x+4*y,Dy=-4*x+3*y,x(0)=0,y(0)=1)例5输出:x=-exp(3*t)*(C1*cos(4*t)-C2*sin(4*t)y=exp(3*t)*(C1*sin(4*t)+C2*cos(4*t)x=exp(3*t)*sin(4*t)y=exp(3*t)*cos(4*t)MATLAB软件求解9解解 输入命令:x,y,z=dsolve(Dx=2*x-3*y+3*z,.Dy=4*x-5*y+3*z,.Dz=4*x-4*y+2*z,t);x=simple(x)%将x简化 y=simple(y)z=simple(z)结 果 为:x=C3*exp(2*t)+exp(-t)*C1 y=C2*exp(-2*t)+C3*exp(2*t)+exp(-t)*C1 z=C2*exp(-2*t)+C3*exp(2*t)10微分方程的数值解微分方程的数值解(一)常微分方程数值解的定义(一)常微分方程数值解的定义 在生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂且大多得不出一般解。而在实际上对初值问题,一般是要求得到解在若干个点上满足规定精确度的近似值,或者得到一个满足精确度要求的便于计算的表达式。因此,研究常微分方程的数值解法是十分必要的因此,研究常微分方程的数值解法是十分必要的。返 回11(二)建立数值解法的一些途径(二)建立数值解法的一些途径1、用差商代替导数、用差商代替导数 若步长h较小,则有故有公式:此即欧拉法欧拉法。122、使用数值积分、使用数值积分对方程y=f(x,y),两边由xi到xi+1积分,并利用梯形公式,有:实际应用时,与欧拉公式结合使用:此即改进的欧拉法改进的欧拉法。故有公式:133、使用泰勒公式、使用泰勒公式 以此方法为基础,有龙格龙格-库塔法库塔法、线性多步法线性多步法等方法。4、数值公式的精度、数值公式的精度 当一个数值公式的截断误差可表示为O(hk+1)时(k为正整数,h为步长),称它是一个k阶公式阶公式。k越大,则数值公式的精度越高。欧拉法是一阶公式,改进的欧拉法是二阶公式。龙格-库塔法有二阶公式和四阶公式。线性多步法有四阶阿达姆斯外插公式和内插公式。返 回14(三)用(三)用Matlab软件求常微分方程的数值解软件求常微分方程的数值解t,x=solver(f,ts,x0,options)ode45 ode23 ode113ode15sode23s由待解方程写成的m-文件名ts=t0,tf,t0、tf为自变量的初值和终值函数的初值ode23:组合的2/3阶龙格-库塔-芬尔格算法ode45:运用组合的4/5阶龙格-库塔-芬尔格算法自变量值函数值用于设定误差限(缺省时设定相对误差10-3,绝对误差10-6),命令为:options=odeset(reltol,rt,abstol,at),rt,at:分别为设定的相对误差和绝对误差.15 1、在解n个未知函数的方程组时,x0和x均为n维向量,m-文件中的待解方程组应以x的分量形式写成。2、使用Matlab软件求数值解时,高阶微分方程必须等价地变换成一阶微分方程组。注意注意:选择一组状态变量16注意1、建立、建立M文件函数文件函数 function xdot=fun(t,x,y)xdot=x2(t);x3(t);f(t,x1(t),x2(t),xn(t);2、数值计算、数值计算(执行以下命令)(执行以下命令)t,x t,x1 1,x,x2 2,x,xn n=ode45(=ode45(funfun,t,t0 0,t,tf f,xx1 1(0),x(0),x2 2(0),x(0),xn n(0)(0)17解解:令 y1=x,y2=y1=x1、建立m-文件vdp1000.m如下:function dy=vdp1000(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=1000*(1-y(1)2)*y(2)-y(1);2、取t0=0,tf=3000,输入命令:T,Y=ode15s(vdp1000,0 3000,2 0);plot(T,Y(:,1),-)3、结果如图18解解 1、建立m-文件rigid.m如下:function dy=rigid(t,y)dy=zeros(3,1);dy(1)=y(2)*y(3);dy(2)=-y(1)*y(3);dy(3)=-0.51*y(1)*y(2);2、取t0=0,tf=12,输入命令:T,Y=ode45(rigid,0 12,0 1 1);plot(T,Y(:,1),-,T,Y(:,2),*,T,Y(:,3),+)3、结果如图图中,y1的图形为实线,y2的图形为“*”线,y3的图形为“+”线.19例例9 Van der pol 方程方程:令令 y1=x(t),y2=x(t)该方程无解析解!20(1)编写M文件(文件名为 vdpol.m):function dy=vdpol(t,y);dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=(1-y(1)2)*y(2)-y(1);%或 dy=y(2);(1-y(1)2)*y(2)-y(1);(2)编写程序如下:(vdj.m)t,y=ode23(vdpol,0,20,3,0);y1=y(:,1);%原方程的解 y2=y(:,2);plot(t,y1,t,y2,-)%y1(t),y2(t)曲线图 pause,plot(y1,y2),grid%相轨迹图,即y2(y1)曲线21 蓝色曲线 y(1);(原方程解)红色曲线 y(2);计算结果2223例10 考虑Lorenz模型:其中参数=8/3,=10,=28解:1)编写M函数文件(lorenz.m);2)数值求解并画三维空间的相平面轨线;(ltest.m)241、lorenz.mfunction xdot=lorenz(t,x)xdot=-8/3,0,x(2);0,-10,10;-x(2),28,-1*x;2、ltest.mx0=0 0 0.1;t,x=ode45(lorenz,0,10,x0);plot(t,x(:,1),-,t,x(:,2),*,t,x(:,3),+)pauseplot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3),grid on25图中,x1的图形为实线(蓝),x2的图形为“*”线(绿),x3的图形为“+”线(红)。取t0,tf=0,10。计算结果如下图:计算结果如下图:26曲线呈震荡发散状三维图形的混沌状若自变量区间取0,20、0,40,计算结果如下:27观察结果:1、该曲线包含两个“圆盘”,每一个都是由螺线形轨道构成。某些轨道几乎是垂直地离开圆盘中一个而进入另一个。2、随着t的增加,x(t)先绕一个圆盘几圈,然后“跳”到另一个圆盘中。绕第二个圆盘几圈,又跳回原来的圆盘。并以这样的方式继续下去,在每个圆盘上绕的圈数是随机的。281)x0=0 0.1 0.1;t0,tf=0,30;解向量y2)x00=0.01 0.11 0.11;t0,tf=0,30;解向量x y x=(y1-x1,y2-x2,y3-x3)思考:该空间曲线与初始点x0的选择有关吗?