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定积分的应用习题微微 元元 法法理理 论论 依依 据据名名称称释释译译所所求求量量的的特特点点解解 题题 步步 骤骤定积分应用中的常用公式定积分应用中的常用公式一、主要内容一、主要内容极坐标情形极坐标情形(2)体积体积xyo平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积(3)平面曲线的弧长平面曲线的弧长弧长弧长A曲线弧为曲线弧为弧长弧长B曲线弧为曲线弧为C曲线弧为曲线弧为弧长弧长(4)旋转体的侧面积旋转体的侧面积xyo(5)细棒的质量细棒的质量(6)转动惯量转动惯量(7)变力所作的功变力所作的功(8)水压力水压力(9)引力引力(10)函数的平均值函数的平均值(11)均方根均方根二、典型例题二、典型例题例例1 1解解由对称性由对称性,有有由对称性由对称性,有有由对称性由对称性,有有例例2 2解解如图所示建立坐标系如图所示建立坐标系.于是对半圆上任一点于是对半圆上任一点,有有故所求速度为故所求速度为故将满池水全部提升到池沿高度所需功为故将满池水全部提升到池沿高度所需功为例3:如图,平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角,计算这平面截圆柱体所得立体的体积.解:取x为积分变量,变化区间为R,R,在R,R 上任取一点x,过x作垂直于x轴的平面截立体,截面的面积 RRoxyyx解:oyxba例例5 5 用用铁锤铁锤把把钉钉子子钉钉入木板，入木板，设设木板木板对铁钉对铁钉的的阻力与阻力与铁钉进铁钉进入木板的深度成正比，入木板的深度成正比，铁锤铁锤在第在第一次一次锤击时锤击时将将铁钉击铁钉击入入1厘米，若每次厘米，若每次锤击锤击所作所作的功相等，的功相等，问问第第 次次锤击时锤击时又将又将铁钉击铁钉击入多少？入多少？设设 次次击击入的入的总总深度深度为为 厘米厘米次次锤击锤击所作的所作的总总功功为为设木板对铁钉的阻力为设木板对铁钉的阻力为第一次锤击时所作的功为第一次锤击时所作的功为解解次次击击入的入的总总深度深度为为第第 次次击击入的深度入的深度为为依题意知，每次锤击所作的功相等依题意知，每次锤击所作的功相等例例 6 6 有一有一长长度度为为 l、线线密度密度为为 r r 的均匀的均匀细细棒，棒，在其中垂在其中垂线线上距棒上距棒 a 单单位位处处有一有一质质量量为为 m 的的质质点点 M，计计算算该该棒棒对质对质点点 M 的引力的引力 小段的质量为小段的质量为将典型小段近似看成质点将典型小段近似看成质点建立坐标系如图建立坐标系如图解解小段与小段与质质点的距离点的距离为为由对称性知，引力在铅直方向分力为由对称性知，引力在铅直方向分力为水平方向的分力元素水平方向的分力元素引力引力例例7 7解解如图建立坐标系如图建立坐标系,此闸门一侧受到静水压力为此闸门一侧受到静水压力为取坐标系如图取坐标系如图解解底圆方程为底圆方程为截面面积截面面积立体体积立体体积结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！34