《初等模型》PPT课件.ppt
第第二二章章 初等模型初等模型2.1 公平的席位分配公平的席位分配2.2 双双层层玻璃窗的功效玻璃窗的功效2.3 量量纲纲分析与无量分析与无量纲纲化化 公平的席位分配公平的席位分配系别系别 学生学生 比例比例 20席的分配席的分配 人数人数 （%）比例比例 结果结果 甲甲 103 51.5 乙乙 63 31.5 丙丙 34 17.0总和总和 200 100.0 20.0 2021席的分配席的分配 比例比例 结果结果10.815 6.615 3.570 21.000 21问问题题三个系学生共三个系学生共200名（甲系名（甲系100，乙系，乙系60，丙系，丙系40），代表），代表会议共会议共20席，按比例分配，三个系分别为席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。席。现因学生转系，现因学生转系，三系人数为三系人数为103,63,34,问问20席如何分配。席如何分配。若增加为若增加为21席，又如何分配。席，又如何分配。比比例例加加惯惯例例对对丙丙系系公公平平吗吗系别系别 学生学生 比例比例 20席的分配席的分配 人数人数 （%）比例比例 结果结果 甲甲 103 51.5 10.3 乙乙 63 31.5 6.3 丙丙 34 17.0 3.4 总和总和 200 100.0 20.0 20系别系别 学生学生 比例比例 20席的分配席的分配 人数人数 （%）比例比例 结果结果 甲甲 103 51.5 10.3 10 乙乙 63 31.5 6.3 6 丙丙 34 17.0 3.4 4总和总和 200 100.0 20.0 2021席的分配席的分配 比例比例 结果结果10.815 11 6.615 7 3.570 321.000 21“公平公平”分配方法分配方法衡量公平分配的数量指标衡量公平分配的数量指标 人数人数 席位席位 A方方 p1 n1B方方 p2 n2当当p1/n1=p2/n2 时，分配公平时，分配公平 p1/n1 p2/n2 对对A的绝对不公平度的绝对不公平度p1=150,n1=10,p1/n1=15p2=100,n2=10,p2/n2=10p1=1050,n1=10,p1/n1=105p2=1000,n2=10,p2/n2=100p1/n1 p2/n2=5但后者但后者对对A的不公平的不公平程度已大大降低程度已大大降低!虽虽二者的二者的绝对绝对不公平度相同不公平度相同若若 p1/n1 p2/n2，对，对 不公平不公平A p1/n1 p2/n2=5公平分配方案公平分配方案应应使使 rA,rB 尽量小尽量小设设A,B已分别有已分别有n1,n2 席，若增加席，若增加1席，问应分给席，问应分给A,还是还是B不妨设分配开始时不妨设分配开始时 p1/n1 p2/n2，即对，即对A不公平不公平 对对A的相对不公平度的相对不公平度将将绝对绝对度量改度量改为为相相对对度量度量类似地定义类似地定义 rB(n1,n2)将一次性的席位分配转化为动态的席位分配将一次性的席位分配转化为动态的席位分配,即即“公平公平”分配方法分配方法若若 p1/n1 p2/n2，定义，定义1）若）若 p1/(n1+1)p2/n2，则这席应给则这席应给 A2）若）若 p1/(n1+1)p2/(n2+1)，应计算应计算rB(n1+1,n2)应计算应计算rA(n1,n2+1)若若rB(n1+1,n2)p2/n2 问：问：p1/n1rA(n1,n2+1),则这席应给则这席应给 B当当 rB(n1+1,n2)rA(n1,n2+1),该席给该席给ArA,rB的定义的定义该席给该席给A否则否则,该席给该席给B 定义定义该席给该席给Q值较大的一方值较大的一方推广到推广到m方方分配席位分配席位该该席席给给Q值值最大的一方最大的一方Q 值值方法方法计算，三系用三系用Q值方法重新分配值方法重新分配 21个席位个席位按人数比例的整数部分已将按人数比例的整数部分已将19席分配完毕席分配完毕甲系：甲系：p1=103,n1=10乙系：乙系：p2=63,n2=6丙系：丙系：p3=34,n3=3用用Q值方法分配值方法分配第第20席和第席和第21席席第第20席席第第21席席同上同上Q3最大，第最大，第21席给丙系席给丙系甲系甲系11席，乙系席，乙系6席，丙系席，丙系4席席Q值值方法方法分配分配结结果果公平公平吗吗？Q1最大，第最大，第20席给甲系席给甲系进进一步的一步的讨论讨论Q值方法比值方法比“比例加惯例比例加惯例”方法更公平吗？方法更公平吗？席位分配的理想化准席位分配的理想化准则则已知已知:m方人数分别为方人数分别为 p1,p2,pm,记总人数为记总人数为 P=p1+p2+pm,待分配的总席位为待分配的总席位为N。设理想情况下设理想情况下m方分配的席位分别为方分配的席位分别为n1,n2,nm(自然应有自然应有n1+n2+nm=N)，记记qi=Npi/P,i=1,2,m,ni 应是应是 N和和 p1,pm 的函数，即的函数，即ni=ni(N,p1,pm)若若qi 均为整数，显然应均为整数，显然应 ni=qi qi=Npi/P不全不全为为整数整数时时，ni 应满应满足的准足的准则则：记记 qi=floor(qi)向向 qi方向取整；方向取整；qi+=ceil(qi)向向 qi方向取整方向取整.1)qi ni qi+(i=1,2,m),2)ni(N,p1,pm)ni(N+1,p1,pm)(i=1,2,m)即即ni 必取必取qi,qi+之一之一即当总席位增加时，即当总席位增加时，ni不应减少不应减少“比例加比例加惯惯例例”方法方法满满足足 1），但不），但不满满足足 2）Q值值方法方法满满足足 2）,但不但不满满足足 1）。令人令人遗遗憾！憾！2d墙墙室室内内 T1室室外外 T2dd墙墙l室室内内 T1室室外外 T2问问题题双层玻璃窗与同样多材料的单层双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失玻璃窗相比，减少多少热量损失假假设设热量传播只有传导，没有对流热量传播只有传导，没有对流T1,T2不变，热传导过程处于稳态不变，热传导过程处于稳态材料均匀，热传导系数为常数材料均匀，热传导系数为常数建建模模热传导热传导定律定律Q1Q2Q 单位时间单位面积传导的热量单位时间单位面积传导的热量 T温差温差,d材料厚度材料厚度,k热传导系数热传导系数 双双层层玻璃窗的功效玻璃窗的功效dd墙墙l室室内内 T1室室外外 T2Q1TaTb记双层玻璃窗传导的热量记双层玻璃窗传导的热量Q1Ta内层玻璃的外侧温度内层玻璃的外侧温度Tb外层玻璃的内侧温度外层玻璃的内侧温度k1玻璃的热传导系数玻璃的热传导系数k2空气的热传导系数空气的热传导系数建模建模记单层玻璃窗传导的热量记单层玻璃窗传导的热量Q22d墙墙室室内内 T1室室外外 T2Q2双层与单层窗传导的热量之比双层与单层窗传导的热量之比k1=4 10-3 8 10-3,k2 10-4,k1/k2=16 32对对Q1比比Q2的减少量的减少量作最保守的估计，作最保守的估计，取取k1/k2=16建模建模hQ1/Q24200.060.030.026模型模型应应用用取取 h=l/d=4,则则 Q1/Q2即双层玻璃窗与同样多材即双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，可料的单层玻璃窗相比，可减少减少97%的热量损失。的热量损失。结结果分析果分析Q1/Q2所以如此小，是由于所以如此小，是由于层间层间空气极低的空气极低的热传热传导导系数系数 k2,而而这这要求空气非常干燥、不流通。要求空气非常干燥、不流通。房间通过天花板、墙壁房间通过天花板、墙壁 损失的热量更多。损失的热量更多。双层窗的功效不会如此之大双层窗的功效不会如此之大 量量纲纲分析与无量分析与无量纲纲化化物物理理量量的的量量纲纲长度长度 l 的量纲记的量纲记 L=l质量质量 m的量纲记的量纲记 M=m时间时间 t 的量纲记的量纲记 T=t动力学中动力学中基本量纲基本量纲 L,M,T速度速度 v 的量纲的量纲 v=LT-1导出量纲导出量纲加速度加速度 a 的量纲的量纲 a=LT-2力力 f 的量纲的量纲 f=LMT-2引力常数引力常数 k 的量纲的量纲 k对无量纲量对无量纲量，=1(=L0M0T0)2.9.1 量量纲齐纲齐次原次原则则=fl2m-2=L3M-1T-2量量纲齐纲齐次原次原则则等式两端的量等式两端的量纲纲一致一致量纲分析量纲分析利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系例：单摆运动例：单摆运动lmgm求摆动周期求摆动周期 t 的表达式的表达式设物理量设物理量 t,m,l,g 之间有关系式之间有关系式 1,2,3 为待定系数，为待定系数，为无量纲量为无量纲量(1)的量纲表达式的量纲表达式对比对比对对 x,y,z的两组测量值的两组测量值x1,y1,z1 和和x2,y2,z2，p1=f(x1,y1,z1),p2=f(x2,y2,z2)为为什么假什么假设这设这种形式种形式设设p=f(x,y,z)x,y,z的量纲单的量纲单位缩小位缩小a,b,c倍倍p=f(x,y,z)的形式为的形式为单摆运动中单摆运动中 t,m,l,g 的一般表达式的一般表达式y1y4 为待定常数为待定常数,为无量纲量为无量纲量设设 f(q1,q2,qm)=0 ys=(ys1,ys2,ysm)T,s=1,2,m-rF(1,2,m-r)=0 与与 f(q1,q2,qm)=0 等价等价,F未定未定Pi定理定理(Buckingham)是与量纲单位无关的物理定律，是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2,Xn 是基本量是基本量纲纲,n m,q1,q2,qm 的量纲可表为的量纲可表为量纲矩阵记作量纲矩阵记作线性齐次方程组线性齐次方程组有有 m-r 个基本解，记作个基本解，记作为为m-r 个相互独立的无量纲量个相互独立的无量纲量,且且则则g=LT-2,l=L,=L-3M,v=LT-1,s=L2,f=LMT-2量量纲纲分析示例：分析示例：波浪波浪对对航船的阻力航船的阻力航船阻力航船阻力 f航船速度航船速度v,船体尺寸船体尺寸l,浸没面积浸没面积 s,海水密度海水密度,重力加速度重力加速度g。m=6,n=3Ay=0 有有m-r=3个基本解个基本解rank A=3rank A=rAy=0 有有m-r个基本解个基本解ys=(ys1,ys2,ysm)T s=1,2,m-rm-r 个无量纲量个无量纲量 F(1,2,3)=0与与(g,l,v,s,f)=0 等价等价为得到阻力为得到阻力 f 的显式表达式的显式表达式F=0 未定未定F(1,2,m-r)=0 与与 f(q1,q2,qm)=0 等价等价量量纲纲分析法的分析法的评评注注 物理量的物理量的选选取取 基本量基本量纲纲的的选选取取 基本解的构造基本解的构造 结结果的局限性果的局限性 ()=0中包括哪些物理量是至关重要的中包括哪些物理量是至关重要的基本量纲个数基本量纲个数n;选哪些基本量纲选哪些基本量纲有目的地构造有目的地构造 Ay=0 的基本解的基本解 方法的普适性方法的普适性函数函数F和无量纲量未定和无量纲量未定不需要特定的专业知识不需要特定的专业知识2.9.2 量量纲纲分析在物理模分析在物理模拟拟中的中的应应用用 例例:航船阻力的物理模拟航船阻力的物理模拟通通过过航船模型确定原型船所受阻力航船模型确定原型船所受阻力 模型船的参数模型船的参数(均已知均已知)可得原可得原型船所型船所受阻力受阻力已知模已知模型船所型船所受阻力受阻力 原型船的参数原型船的参数(f1未知，其他已知未知，其他已知)注意：二者的注意：二者的 相同相同 按一定尺寸比例造模型船，按一定尺寸比例造模型船，量测量测 f，可算出，可算出 f1 物理模拟物理模拟2.9.3 无量无量纲纲化化例：火箭发射例：火箭发射m1m2xrv0g星球表面竖直发射。初速星球表面竖直发射。初速v,星球半星球半径径r,表面重力加速度表面重力加速度g研究火箭高度研究火箭高度 x 随时间随时间 t 的变化规律的变化规律t=0 时时 x=0,火箭质量火箭质量m1,星球质量星球质量m2牛顿第二定律，万有引力定律牛顿第二定律，万有引力定律3个独立参数个独立参数用无量用无量纲纲化方法减少独立参数个数化方法减少独立参数个数x=L,t=T,r=L,v=LT-1,g=LT-2变量变量 x,t 和独立参数和独立参数 r,v,g 的量纲的量纲用用参数参数r,v,g的组合的组合,分别分别构造与构造与x,t具有相同具有相同量纲量纲的的xc,tc（特征尺度）（特征尺度）无量纲变量无量纲变量如利用新变量利用新变量将被简化将被简化令令 xc,tc的不同构造的不同构造1）令的不同简化结果的不同简化结果 为无量纲量为无量纲量3）令 为无量纲量为无量纲量2）令 为无量纲量为无量纲量1）2）3）的共同点的共同点只含只含1个参数个参数无量纲量无量纲量 解解重要差别重要差别考察无量纲量考察无量纲量在在1）2）3）中能否忽略以）中能否忽略以 为因子的项？为因子的项？1)忽略忽略 项项无解无解不能忽略不能忽略 项项2)3)忽略忽略 项项不能忽略不能忽略 项项忽略忽略 项项火箭发射过程火箭发射过程中引力中引力m1g不变不变 即即 x+r r原原问问题题可以忽略可以忽略 项项是原问题是原问题的近似解的近似解为什么为什么3)能忽略能忽略 项，得到原问题近似解，而项，得到原问题近似解，而1)2)不能不能?1）令）令2）令）令3）令）令火箭到达最高点时间为火箭到达最高点时间为v/g,高度为高度为v2/2g,大体上具有单位尺度大体上具有单位尺度项可以忽略项可以忽略项不能忽略项不能忽略林家林家翘翘：自然科学中确定性：自然科学中确定性问题问题的的应应用数学用数学
