物理竞赛课件10：曲线运动的动力学解.ppt
曲线运动发生的条件曲线运动发生的条件合外力方向与速度方向不在一直线合外力方向与速度方向不在一直线FvFnFt切向力改变速度大小切向力改变速度大小法向力改变速度方向法向力改变速度方向 求解曲线运动的动力学方法求解曲线运动的动力学方法物体运动情况分析物体运动情况分析物体受力情况分析物体受力情况分析XY 如图所示，滑块如图所示，滑块A质量为质量为M，因绳子的牵引而沿水平，因绳子的牵引而沿水平导轨滑动，绳子的另一端缠在半径为导轨滑动，绳子的另一端缠在半径为r的鼓轮的鼓轮O上，鼓轮以等角速度上，鼓轮以等角速度转动不计导轨摩擦，求绳子的拉力转动不计导轨摩擦，求绳子的拉力FT与距离与距离x之间的关系之间的关系 专题专题10-例例1BxArO分析滑块A受力：AMgFNFTvvtvn重力重力Mg、导轨支持力导轨支持力FN，绳子拉力绳子拉力FT 分析滑块A运动：A沿导轨的运动可视做沿绳向绳与轮切点沿导轨的运动可视做沿绳向绳与轮切点B的平动及以切点的平动及以切点B为中心的转动的合成为中心的转动的合成 由牛顿第二定律:A实际运动沿水平实际运动沿水平 由几何关系由几何关系 BA 如如图图所所示示，套套管管A质质量量为为M，因因受受绳绳子子牵牵引引沿沿竖竖直直杆杆向向上上滑滑动动绳绳子子另另一一端端绕绕过过离离杆杆距距离离为为L的的滑滑轮轮B而而缠缠在在鼓鼓轮轮上上当当鼓鼓轮轮转转动动时时，其其边边缘缘上上各各点的速度大小为点的速度大小为v0求绳子拉力和距离求绳子拉力和距离x之间的关系之间的关系 XY分析滑块A受力：MgFNFT重力重力Mg、绳子拉力绳子拉力FT、导轨支持力导轨支持力FN分析滑块A运动：vAv0vt 滑块沿导轨向上的运动滑块沿导轨向上的运动速度速度vA可视作沿绳向滑轮可视作沿绳向滑轮B的法向速度的法向速度v0及以及以B为中心转动的切向速度为中心转动的切向速度vt的合成！的合成！xL由牛顿第二定律:A实际运动沿竖直，在水平方向满足实际运动沿竖直，在水平方向满足 如如图图所所示示，长长度度为为l的的不不可可伸伸长长的的线线系系在在竖竖直直轴轴的的顶顶端端，在在线线的的下下端端悬悬挂挂质质量量为为m的的一一重重物物再再在在这这重重物物上上系系同同样样长长度度的的另另一一根根线线，线线的的下下端端悬悬挂挂质质量量也也为为m的的另另一一个个重重物物轴轴以以恒恒定定角角速速度度转转动动试试证证明明第第一一根根线线与与竖竖直直线线所所成成角度小于第二根线与竖直线所成角度角度小于第二根线与竖直线所成角度 mgmg设第一根线上拉力为设第一根线上拉力为FT1，第二根线上拉力为，第二根线上拉力为FT2FT2FT1在竖直方向在水平方向 如如图图所所示示，小小物物块块质质量量为为m，在在半半径径为为r的的圆圆柱柱面面上上沿沿螺螺旋旋线线形形的的滑滑槽槽滑滑动动，运运动动的的切切向向加加速速度度大大小小为为at=gsin，式式中中为为螺螺旋旋线线的的切切线线与与水水平平面面的夹角，求：由于小物块沿槽滑下而使圆柱面绕其中心轴转动的力矩大小的夹角，求：由于小物块沿槽滑下而使圆柱面绕其中心轴转动的力矩大小 rABCD小物块切向加速度的水平分量为：gsin产生这个加速度的切向水平力大小：此力反作用力为圆柱面所受沿柱面且方此力反作用力为圆柱面所受沿柱面且方向水平之力，其对轴产生的力矩即为使向水平之力，其对轴产生的力矩即为使柱面绕中心轴转动的力矩：柱面绕中心轴转动的力矩：vv 如如图图所所示示，质质量量为为m，半半径径为为r的的圆圆木木搁搁在在两两个个高高度度相相同同的的支支架架上上，右支架固定不动，而左支架以速度右支架固定不动，而左支架以速度v从圆木下面向外滑求当两个支点距离从圆木下面向外滑求当两个支点距离 时时，圆圆木木对对固固定定支支架架的的压压力力FN（两两支支架架开开始始彼彼此此靠靠得得很很近近，圆圆木木与与支支架之间的摩擦不计）架之间的摩擦不计）BrOAr 由几何关系知由几何关系知分析圆木受力 mgFNAFNB重力重力mg、支架支架A、B支持力支持力FNA、FNB 分析圆木运动：圆木质心圆木质心O绕绕A点转动点转动v圆木与圆木与B接触接触,故接触点具有相同的法向速度故接触点具有相同的法向速度 O对对A点转动的线速度点转动的线速度 圆木的运动方程圆木的运动方程vOFN 否则圆木否则圆木已与固定支架脱离已与固定支架脱离 元贝驾考 元贝驾考2016科目一 科目四驾考宝典网 http:/驾考宝典2016科目一 科目四 如如图图所所示示，用用手手握握着着一一绳绳端端在在水水平平桌桌面面上上做做半半径径为为r的的匀匀速速圆圆周周运运动动，圆圆心心为为O，绳绳长长为为L，质质量量可可以以忽忽略略，绳绳的的另另一一端端系系着着一一个个质质量量为为m的的小小球球，恰恰好好也也沿沿着着一一个个以以O点点为为圆圆心心的的大大圆圆在在桌桌面面上上运运动动，小小球球和和桌桌面面之之间间有有摩摩擦擦，求：求：手对细绳做功的功率手对细绳做功的功率P；小球与桌面之间的动摩擦因数小球与桌面之间的动摩擦因数 VrLf小球圆运动的半径设为小球圆运动的半径设为RR分析小球受力 T绳拉力绳拉力T；桌面摩擦力；桌面摩擦力 f 小球圆周运动，在法向有小球圆周运动，在法向有手拉端速度 小球匀速圆周运动，在切向有小球匀速圆周运动，在切向有 有有两两个个相相同同的的单单摆摆，把把一一个个拴拴在在另另一一个个的的下下面面，使使它它们们各各在在一一个个水水平平面面内内做做匀匀速速圆圆周周运运动动，设设两两条条摆摆线线(长长)与与竖竖直直线线所所成成的的夹夹角角都都很很小小已已知知在在运运动动过过程程中中两两条条摆摆线线一一直直保保持持在在同同一一平平面面内内，求求此此平平面面转转动动的的角角速速度度，以以及及两两质点轨道半径之比质点轨道半径之比 两线两球在竖直面内的态势可以有左、右图示两种可能两线两球在竖直面内的态势可以有左、右图示两种可能RmgF1F2F1mgF2R分析各球受力及运动轨迹 rrmgmg在、小角度的条件下 等号两边相除得 由几何关系得 水平直径以上各点的临界速度水平直径以上各点的临界速度 在水平直径以上各点弹力方向是指在水平直径以上各点弹力方向是指向圆心的情况，例如系在绳端的小球，过向圆心的情况，例如系在绳端的小球，过山车山车线线绳绳vmgFT当当FT=0时，时，v 临界临界=v轨轨道道mgFN 在水平直径以上各点不脱离轨道在水平直径以上各点不脱离轨道因而可做完整的圆运动的条件是因而可做完整的圆运动的条件是 ：在水平直径以上各点弹力方向是在水平直径以上各点弹力方向是背离圆心的情况，例如车过拱形桥背离圆心的情况，例如车过拱形桥轨轨道道vmgFN当当FN=0时，时，v 临界临界=在水平直径以上各点在水平直径以上各点不脱离轨道的条件是不脱离轨道的条件是 ：机械能守恒机械能守恒最高点与最低点的弹力差最高点与最低点的弹力差能到达最高点的最低点速度能到达最高点的最低点速度恰能到达最高点，最低点加速度恰能到达最高点，最低点加速度v上上mgFN上上v下下 mgFN下下竖直面内的匀速圆周运动竖直面内的匀速圆周运动mgFNFfvmgFNvFf 如图所示，如图所示，一长为一长为a的细线系着一小球悬挂在的细线系着一小球悬挂在O点静点静止不动若使小球获得一个水平初速度止不动若使小球获得一个水平初速度 ，略去空气阻力，略去空气阻力，证明：小球的运动轨迹经过悬点证明：小球的运动轨迹经过悬点O 专题专题10-例例2小球运动轨迹会通过悬点小球运动轨迹会通过悬点O，是因，是因为线绳在水平直径上方与水平成某为线绳在水平直径上方与水平成某一角度一角度时，绳恰不再张紧，小球时，绳恰不再张紧，小球开始脱离圆轨道而做斜上抛运动开始脱离圆轨道而做斜上抛运动Ovv0yx0绳上张力为零时小球达临界速度该过程机械能守恒该过程机械能守恒:图示图示h小球做斜上抛运动设当小球做斜上抛运动设当y方向位移为方向位移为-h时历时时历时t,有有续解续解这段时间内小球完成的水平位移为这段时间内小球完成的水平位移为查阅查阅Oyx0 说明小球做斜抛运动过程中，说明小球做斜抛运动过程中，通过了坐标为通过了坐标为 的悬点的悬点O!图图中，中，A是一带有竖直立柱的木块，总质量为是一带有竖直立柱的木块，总质量为M，位于水平地，位于水平地面上面上B是一质量为是一质量为m的小球，通过一不可伸长的轻绳挂于立柱的顶端现拉动小的小球，通过一不可伸长的轻绳挂于立柱的顶端现拉动小球，使绳伸直并处于水平位置球，使绳伸直并处于水平位置.然后让小球从静止状态下摆如在小球与立柱发生然后让小球从静止状态下摆如在小球与立柱发生碰撞前，木块碰撞前，木块A始终未发生移动，则木块与地面之间的静摩擦因数至少为多大？始终未发生移动，则木块与地面之间的静摩擦因数至少为多大？专题专题10-例例3BAmgv分析小球B下摆时受力：L小球小球动力学方程动力学方程 小球小球机械能守恒机械能守恒 分析木块A受力：AMgFN木块木块静止须满足静止须满足 由基本不等式性质：FT 如图所示，有一个质量均匀的大球壳，正好静止在如图所示，有一个质量均匀的大球壳，正好静止在桌边上，球壳与桌子无摩擦，对球壳轻轻一推，使其滚下桌子，计桌边上，球壳与桌子无摩擦，对球壳轻轻一推，使其滚下桌子，计算球壳不再接触到桌子的瞬间，球壳中心的速率算球壳不再接触到桌子的瞬间，球壳中心的速率 专题专题10-例例4mgFNCO球壳静止时，与桌边接触的一点O为其支点，球壳二力平衡!轻推球壳，即给球壳一微扰，球壳的质心轻推球壳，即给球壳一微扰，球壳的质心C将以将以支点支点O为轴，以球半径为轴，以球半径R为半径在竖直面内从初速度为半径在竖直面内从初速度为零开始做圆周运动，其间重力势能减少，动能增加；为零开始做圆周运动，其间重力势能减少，动能增加；当球壳质心做圆运动所需向心力仅由重力来提供时，当球壳质心做圆运动所需向心力仅由重力来提供时，球与桌支持点间无挤压，即开始脱离桌子球与桌支持点间无挤压，即开始脱离桌子设球壳设球壳“不再接触桌子的瞬时不再接触桌子的瞬时”球心速度为球心速度为vmgv球壳动力学方程球壳动力学方程球壳机械能守恒球壳机械能守恒 EC质心对O的转动动能球壳对质心C的转动动能例例5xy用微元法计算球壳对质心的转动动能用微元法计算球壳对质心的转动动能ECC将球壳面分割成宽的一条条极细的环带第i条环带的质量第i条环带的速率整个球壳对过C而垂直于竖直面的轴的转动动能为返回返回 筑路工人为了提高工作效率，把从山上挖出来的土石，盛在一筑路工人为了提高工作效率，把从山上挖出来的土石，盛在一个箩筐里，沿一条钢索道滑至山下如索道形状为个箩筐里，沿一条钢索道滑至山下如索道形状为 的抛物线，且箩筐及的抛物线，且箩筐及它所盛的土石可以看作质量为它所盛的土石可以看作质量为m的质点，求箩筐自的质点，求箩筐自x=2a处自由滑至抛物线顶点时处自由滑至抛物线顶点时的速度，并求此时箩筐对钢索的压力的速度，并求此时箩筐对钢索的压力.专题专题10-例例5在以竖直向上方向为在以竖直向上方向为y轴正方向建轴正方向建立的坐标系中，钢索呈顶点为坐立的坐标系中，钢索呈顶点为坐标原点、开口向上的抛物线标原点、开口向上的抛物线0yxa2avvg由质点机械能守恒由质点机械能守恒 质点在抛物线顶点的动力学方程质点在抛物线顶点的动力学方程FNmg其中抛物线顶点的曲率半径由 如如图图所所示示，一一轻轻绳绳跨跨越越一一固固定定水水平平光光滑滑细细杆杆，其其两两端端各各系系一一小小球球，球球a置置于于地地面面，球球b从从水水平平位位置置由由静静止止向向下下摆摆动动，设设两两球球质质量量相相同同求求a球球恰恰要要离开地面时跨越细杆的两绳之间的夹角离开地面时跨越细杆的两绳之间的夹角 balL设设a球恰要离地时两绳夹角为球恰要离地时两绳夹角为，此时，此时a球球与地面无挤压与地面无挤压,绳上张力恰与绳上张力恰与a球重力相等球重力相等 mgmgFTFTb球机械能守恒球机械能守恒 b球动力学方程球动力学方程 如如图图所所示示，长长为为l的的轻轻杆杆上上端端有有一一个个质质量量为为m的的小小重重物物，杆杆用用铰铰链链固固接接在在A点点，并并处处于于竖竖直直位位置置，同同时时与与质质量量为为M的的物物体体互互相相接接触触由由于于微微小小扰扰动动使使系系统统发发生生运运动动试试问问质质量量之之比比 M/m为为多多少少情情况况下下，杆杆在在脱脱离离物物体体时时刻刻与与水水平平面面成角成角/6，这时物体的速度，这时物体的速度u为多少？为多少？MmlA小重物与物体恰要脱离时两者接小重物与物体恰要脱离时两者接触而无挤压触而无挤压,故物体的加速度为零故物体的加速度为零!小重物只受重力，小重物与物体水平速度相同 mgvu过程中系统机械能守恒过程中系统机械能守恒小重物小重物动力学方程动力学方程 如如图图所所示示，质质量量均均为为m的的两两个个小小球球固固定定在在长长度度为为l的的轻轻杆杆两两端端，直直立立在在相相互互垂垂直直的的光光滑滑墙墙壁壁和和地地板板交交界界处处突突然然发发生生微微小小的的扰扰动动使使杆杆无无初初速速倒倒下下，求当杆与竖直方向成角求当杆与竖直方向成角时，时，A球对墙的作用力球对墙的作用力 BA当当A球对墙恰无作用力时，球对墙恰无作用力时，杆与竖直所成临界角为杆与竖直所成临界角为 当杆与墙夹角 时A球对墙无作用力球对墙无作用力当杆与墙夹角 时mgvFN过程中过程中B球球机械能守恒机械能守恒此时此时B球球动力学方程动力学方程A球对墙的作用力题题14R 一质点在光滑的固定半球面上距球心高度为一质点在光滑的固定半球面上距球心高度为H的任意点的任意点P，在重力，在重力作用下由静止开始往下滑，从作用下由静止开始往下滑，从Q点离开球面，求点离开球面，求PQ两点的高度差两点的高度差h.设球半径为设球半径为R RPQHmgv由机械能守恒:Q点动力学方程为:由几何关系:若质点从球顶部无初速滑下，则可沿球面滑若质点从球顶部无初速滑下，则可沿球面滑下下R/3的高度，释放高度的高度，释放高度H越小，沿球面滑下越小，沿球面滑下的高度越短这是一个有趣又有用的模型的高度越短这是一个有趣又有用的模型 返回返回xOmyR 质质量量为为M、半半径径为为R的的光光滑滑匀匀质质半半球球，静静止止在在光光滑滑水水平平面面上上，在在球球顶顶有有一一质质量量为为m的的质质点点，由由静静止止沿沿球球面面下下滑滑，求求m离离开开M以以前前的的轨轨迹迹方方程程和和m绕球心绕球心O的角速度的角速度 先确定先确定m沿球面下滑的轨迹：沿球面下滑的轨迹：xMM在图示坐标系中，沿x 方向系统动量守恒 则m的坐标xy消去参数即得m在M上运动时的轨迹方程设对应于设对应于角角,m绕球心绕球心O的角速度为的角速度为,M速度为速度为VM则m的速度由x 方向系统动量守恒 续解续解由系统机械能守恒由系统机械能守恒查阅查阅ml相对做匀角速度转动的非相对做匀角速度转动的非惯性参考系静止的物体惯性参考系静止的物体小球受绳拉力小球受绳拉力而匀速转动而匀速转动小球受绳拉力小球受绳拉力而静止而静止?在相对于惯性参考系具在相对于惯性参考系具有向心加速度的参考系中所有向心加速度的参考系中所引入的使牛顿定律仍能适用引入的使牛顿定律仍能适用的力就是惯性离心力的力就是惯性离心力!牛顿运动定律仍可适用相对做匀角速度转动的非相对做匀角速度转动的非惯性参考系运动的物体惯性参考系运动的物体AOurFfFNFk科里奥利力是转动参考系中引入的假想的科里奥利力是转动参考系中引入的假想的惯性力，其大小等于引起科里奥利加速度惯性力，其大小等于引起科里奥利加速度的真实力，方向相反物体在转动平面上的真实力，方向相反物体在转动平面上沿任何方向运动时，都将受到一个与运动沿任何方向运动时，都将受到一个与运动方向垂直的科里奥利力方向垂直的科里奥利力:如如图图所所示示，一一对对绕绕固固定定水水平平轴轴O和和O同同步步转转动动的的凸凸轮轮，使使传传送送装装置置的的水水平平平平板板发发生生运运动动问问凸凸轮轮以以多多大大角角速速度度转转动动时时，放放在在平平板板上上的的零零件件开开始始移移动动？当当凸凸轮轮按按顺顺时时针针方方向向转转动动情情况况下下，零零件件将将往往什什么么方方向向移移动动？零零件件与与平平板板之之间的动摩擦因数为间的动摩擦因数为凸轮半径为凸轮半径为r O以具有加速度的以具有加速度的板为参考系，零板为参考系，零件处于平衡件处于平衡!分析零件受力：重力重力mg 板约束力板约束力（摩擦力与支持力合力）（摩擦力与支持力合力）及惯性力及惯性力mr2当静摩擦力达最大时，板约束力方当静摩擦力达最大时，板约束力方向与竖直成摩擦角向与竖直成摩擦角=tan-1，三力，三力应构成闭合三角形如示！应构成闭合三角形如示！mgmr 2rtan-1 零件开始滑动的临界值 续解续解abcd读题读题tan-1 mr 2r若凸轮顺时针转动、角速度大于若凸轮顺时针转动、角速度大于mgtan-1 矢量端点从a到b时，重力,约束力与惯性力不可能构成闭合三角形,且约束力水平分量向右!以大虚线圆矢径表示大于以大虚线圆矢径表示大于的惯性力，所受惯性力方向变的惯性力，所受惯性力方向变化如示化如示:零件向右滑零件向右滑矢量端点从c到d时，重力,约束力与惯性力也不可能构成闭合三角形,且约束力水平分量向左!零件向左滑零件向左滑O 如如图图所所示示，橡橡皮皮圈圈挂挂在在钉钉子子上上，这这时时它它的的长长度度为为2h然然后后使使橡橡皮皮圈圈在在水水平平面面上上旋旋转转起起来来，到到转转动动角角速速度度达达到到时时，它它的的长长度度也也为为2h求求橡橡皮皮圈圈转转动的角速度动的角速度 Rh 橡皮圈竖直悬挂时，橡皮橡皮圈竖直悬挂时，橡皮圈的张力从上到下线性变化圈的张力从上到下线性变化!TA最上端的张力最下端的张力平均张力水平面上水平面上橡皮圈水平旋转时，在圈上取一微元橡皮圈水平旋转时，在圈上取一微元B B两种情况下橡皮圈形变量相同
