2022年黑龙江高考文科数学真题及答案.pdf

历年考试真题2023 年整理 20222022 年年黑龙江黑龙江高考文科数学真题及答案高考文科数学真题及答案 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的中，只有一项是符合题目要求的.1.集合，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据集合的交集运算即可解出【详解】因为，所以 故选：A.2.设，其中为实数，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出【详解】因为R，所以，解得：故选：A.3.已知向量，则（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】【分析】先求得，然后求得.【详解】因为，所以.故选：D 4.分别统计了甲、乙两位同学 16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如下茎叶图：历年考试真题2023 年整理 则下列结论中错误的是（）A.甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为 7.4 B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于 8 C.甲同学周课外体育运动时长大于 8 的概率的估计值大于 0.4 D.乙同学周课外体育运动时长大于 8 的概率的估计值大于 0.6【答案】C【解析】【分析】结合茎叶图、中位数、平均数、古典概型等知识确定正确答案.【详解】对于 A选项，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为，A 选项结论正确.对于 B选项，乙同学课外体育运动时长的样本平均数为：，B选项结论正确.对于 C选项，甲同学周课外体育运动时长大于的概率的估计值，C选项结论错误.对于 D选项，乙同学周课外体育运动时长大于的概率的估计值，D选项结论正确.故选：C 5.若 x，y满足约束条件则的最大值是（）A.B.4 C.8 D.12【答案】C【解析】历年考试真题2023 年整理 【分析】作出可行域，数形结合即可得解.【详解】由题意作出可行域，如图阴影部分所示，转化目标函数为，上下平移直线，可得当直线过点时，直线截距最小，z 最大，所以.故选：C.6.设 F为抛物线的焦点，点 A 在 C上，点，若，则（）A.2 B.C.3 D.【答案】B【解析】【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案.【详解】由题意得，则，即点到准线的距离为 2，所以点的横坐标为，不妨设点在轴上方，代入得，所以.故选：B 7.执行下边的程序框图，输出的（）历年考试真题2023 年整理 A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】根据框图循环计算即可.【详解】执行第一次循环，；执行第二次循环，；执行第三次循环，此时输出.故选：B 8.如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（）历年考试真题2023 年整理 A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.【详解】设，则，故排除 B;设，当时，所以，故排除 C;设，则，故排除 D.故选：A.9.在正方体中，E，F 分别为的中点，则（）A.平面平面 B.平面平面 C.平面平面 D.平面平面【答案】A【解析】【分析】证明平面，即可判断 A；如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，分别求出平面，的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断 BCD.【详解】解：在正方体中，且平面，历年考试真题2023 年整理 又平面，所以，因为分别为的中点，所以，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面，故 A正确；如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，则，则，设平面的法向量为，则有，可取，同理可得平面的法向量为，平面的法向量为，平面的法向量为，则，所以平面与平面不垂直，故 B 错误；因为与不平行，所以平面与平面不平行，故 C 错误；因为与不平行，所以平面与平面不平行，故 D 错误，故选：A.历年考试真题2023 年整理 10.已知等比数列的前 3项和为 168，则（）A.14 B.12 C.6 D.3【答案】D【解析】【分析】设等比数列的公比为，易得，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.【详解】解：设等比数列的公比为，若，则，与题意矛盾，所以，则，解得，所以.故选：D.11.函数在区间的最小值、最大值分别为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】历年考试真题2023 年整理 【分析】利用导数求得的单调区间，从而判断出在区间上的最小值和最大值.【详解】，所以在区间和上，即单调递增；在区间上，即单调递减，又，所以在区间上的最小值为，最大值为.故选：D 12.已知球 O的半径为 1，四棱锥的顶点为 O，底面的四个顶点均在球 O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先证明当四棱锥顶点 O到底面 ABCD 所在小圆距离一定时，底面 ABCD 面积最大值为，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值.【详解】设该四棱锥底面为四边形 ABCD，四边形 ABCD 所在小圆半径为 r，设四边形 ABCD对角线夹角为，则（当且仅当四边形 ABCD 为正方形时等号成立）即当四棱锥的顶点 O到底面 ABCD所在小圆距离一定时，底面 ABCD面积最大值为 又 则 当且仅当即时等号成立，故选：C 历年考试真题2023 年整理 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13.记为等差数列的前 n项和若，则公差_【答案】2【解析】【分析】转化条件为，即可得解.【详解】由可得，化简得，即，解得.故答案为：2.14.从甲、乙等 5名同学中随机选 3 名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为_【答案】#0.3【解析】【分析】根据古典概型计算即可【详解】从 5名同学中随机选 3 名的方法数为 甲、乙都入选的方法数为，所以甲、乙都入选的概率 故答案为：15.过四点中的三点的一个圆的方程为_【答案】或或或；【解析】【分析】设圆的方程为，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；【详解】解：依题意设圆的方程为，若过，则，解得，所以圆的方程为，即；历年考试真题2023 年整理 若过，则，解得，所以圆的方程为，即；若过，则，解得，所以圆的方程为，即；若过，则，解得，所以圆的方程为，即；故答案为：或或或；16.若是奇函数，则_，_【答案】.；.【解析】【分析】根据奇函数的定义即可求出【详解】因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称 由可得，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，即 历年考试真题2023 年整理 ，在定义域内满足，符合题意 故答案为：；三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为题为必考题，每个试题考生都必须作答必考题，每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.17.记的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c已知（1）若，求 C；（2）证明：【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意可得，再结合三角形内角和定理即可解出；（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出【小问 1 详解】由，可得，而，所以，即有，而，显然，所以，而，所以【小问 2 详解】由可得，再由正弦定理可得，然后根据余弦定理可知，化简得：，故原等式成立 历年考试真题2023 年整理 18.如图，四面体中，E为 AC的中点 （1）证明：平面平面 ACD；（2）设，点 F 在 BD 上，当的面积最小时，求三棱锥的体积【答案】（1）证明详见解析 （2）【解析】【分析】（1）通过证明平面来证得平面平面.（2）首先判断出三角形的面积最小时点的位置，然后求得到平面的距离，从而求得三棱锥的体积.【小问 1 详解】由于，是的中点，所以.由于，所以，所以，故，由于，平面，所以平面，由于平面，所以平面平面.【小问 2 详解】依题意，三角形是等边三角形，所以，由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以.，所以，由于，平面，所以平面.历年考试真题2023 年整理 由于，所以，由于，所以，所以，所以，由于，所以当最短时，三角形的面积最小值.过作，垂足为，在中，解得，所以，所以 过作，垂足为，则，所以平面，且，所以,所以.19.某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了 10 棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据：样本号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 历年考试真题2023 年整理 根部横截面积 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积量 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9 并计算得（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到 0.01）；（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值 附：相关系数【答案】（1）；（2）（3）【解析】【分析】（1）计算出样本的一棵根部横截面积的平均值及一棵材积量平均值，即可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）代入题给相关系数公式去计算即可求得样本的相关系数值；（3）依据树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，列方程即可求得该林区这种树木的总材积量的估计值 小问 1 详解】样本中 10 棵这种树木的根部横截面积的平均值 样本中 10 棵这种树木的材积量的平均值 据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为，平均一棵的材积量为 小问 2 详解】历年考试真题2023 年整理 则【小问 3 详解】设该林区这种树木的总材积量的估计值为，又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，可得，解之得 则该林区这种树木的总材积量估计为 20.已知函数（1）当时，求的最大值；（2）若恰有一个零点，求 a的取值范围【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由导数确定函数的单调性，即可得解；（2）求导得，按照、及结合导数讨论函数的单调性，求得函数的极值，即可得解.【小问 1 详解】当时，则，当时，单调递增；当时，单调递减；所以；【小问 2 详解】，则，历年考试真题2023 年整理 当时，所以当时，单调递增；当时，单调递减；所以，此时函数无零点，不合题意；当时，在上，单调递增；在上，单调递减；又，当 x趋近正无穷大时，趋近于正无穷大，所以仅在有唯一零点，符合题意；当时，所以单调递增，又，所以有唯一零点，符合题意；当时，在上，单调递增；在上，单调递减；此时，又，当 n趋近正无穷大时，趋近负无穷，所以在有一个零点，在无零点，所以有唯一零点，符合题意；综上，a的取值范围为.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数的单调性与极值的问题.21.已知椭圆 E 的中心为坐标原点，对称轴为 x轴、y轴，且过两点（1）求 E 的方程；（2）设过点的直线交 E于 M，N两点，过 M 且平行于 x 轴的直线与线段 AB交于点 T，点 H满足证明：直线 HN 过定点 历年考试真题2023 年整理 【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；（2）设出直线方程，与椭圆 C 的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解.【小问 1 详解】解：设椭圆 E 的方程为，过，则，解得，所以椭圆 E的方程为：.【小问 2 详解】，所以，若过点的直线斜率不存在，直线.代入，可得，代入 AB 方程，可得，由得到.求得 HN方程：，过点.若过点的直线斜率存在，设.联立得，可得，且 历年考试真题2023 年整理 联立可得 可求得此时，将，代入整理得，将代入，得 显然成立，综上，可得直线 HN过定点【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中选定一题作答，并用题中选定一题作答，并用 2B 铅笔铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑按所涂题号进行评分，不涂、多在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分所答第一题评分.选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22.在直角坐标系中，曲线 C 的参数方程为，（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为 （1）写出 l的直角坐标方程；（2）若 l与 C 有公共点，求 m 的取值范围【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标互化公式处理即可；（2）联立 l与 C的方程，采用换元法处理，根据新设 a的取值范围求解 m的范围即可.【小问 1 详解】因为 l：，所以，又因为，所以化简为，历年考试真题2023 年整理 整理得 l的直角坐标方程：【小问 2 详解】联立 l与 C 的方程，即将，代入 中，可得，所以，化简为，要使 l 与 C 有公共点，则有解，令，则，令，对称轴为，开口向上，所以，所以 m的取值范围为.选修选修 45：不等式选讲：不等式选讲 23.已知 a，b，c都是正数，且，证明：（1）；（2）；【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用三元均值不等式即可证明；（2）利用基本不等式及不等式的性质证明即可【小问 1 详解】证明：因为，则，所以，历年考试真题2023 年整理 即，所以，当且仅当，即时取等号【小问 2 详解】证明：因为，所以，所以，当且仅当时取等号