傅里叶变换与系统的频域分析.pptx

第四章第四章 傅里叶变换和系统的频域分析傅里叶变换和系统的频域分析 法国数学家、物理学家。1768年3月21日生于欧塞尔，1830年5月16日卒于巴黎。1807年向巴黎科学院呈交热的传播论文，推导出著名的热传导方程，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。1822年在代表作热的分析理论中解决了热在非均匀加热的固体中分布传播问题，成为分析学在物理中应用的最早例证之一，对1919世纪数学和理论物理学的发展产生深远影响。傅里叶分析等理论均由此创始。（傅里叶级数（即三角级数）、傅里叶积分、傅里叶变换，这些统称为傅里叶分析。）其他贡献有：最早使用定积分符号，改进了代数方程符号法则的证法和实根个数的判别法等。傅里叶简介傅里叶简介第1页/共137页4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数一、矢量正交与正交分解一、矢量正交与正交分解 时域分析的要点是，以冲激函数为基本信号，任意输入信号可分解为一系列冲激函数；而yf(t)=h(t)*f(t)。本章将以正弦信号和虚指数信号e jt为基本信号，任意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指数信号之和。这里用于系统分析的独立变量是频率。故称为频域分析。矢量Vx=(vx1,vx2,vx3)与Vy=(vy1,vy2,vy3)正交的定义：其内积为0。即第2页/共137页4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数由两两正交的矢量组成的矢量集合-称为正交矢量集。如三维空间中，以矢量vx=（2，0，0）、vy=（0，2，0）、vz=（0，0，2)所组成的集合就是一个正交矢量集。例如对于一个三维空间的矢量A=(2，5，8)，可以用一个三维正交矢量集 vx，vy，vz分量的线性组合表示。即 A=vx+2.5 vy+4 vz 矢量空间正交分解的概念可推广到信号空间：在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。第3页/共137页4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数第4页/共137页4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数二、信号正交与正交函数集二、信号正交与正交函数集1.定义：定义：定义在(t1，t2)区间的两个函数 1(t)和 2(t),若满足(两函数的内积为0)则称 1(t)和 2(t)在区间(t1，t2)内正交正交。2.正交函数集：正交函数集：若n个函数 1(t)，2(t)，n(t)构成一个函数集，当这些函数在区间(t1，t2)内满足 则称此函数集为在区间(t1，t2)上的正交函数集正交函数集。第5页/共137页4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数3.完备正交函数集：完备正交函数集：如果在正交函数集 1(t)，2(t)，n(t)之外，不存在任何函数 (t)(0）满足 则称此函数集为完备正交函数集完备正交函数集。例如：三角函数集1，cos(nt)，sin(nt)，n=1,2,和虚指数函数集ejnt，n=0，1，2，是两组典型的在区间(t0，t0+T)(T=2/)上的完备正交函数集。(i=1，2，n)第6页/共137页4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数三、信号的正交分解三、信号的正交分解 设有n个函数 1(t)，2(t)，n(t)在区间(t1，t2)构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这n个正交函数的线性组合来近似，可表示为 f(t)C1 1+C2 2+Cn n 问题：如何选择各系数Cj使f(t)与近似函数之间误差在区间(t1，t2)内为最小。通常使误差的方均值(称为均方误差均方误差)最小。均方误差为：第7页/共137页4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数为使上式最小（系数Cj变化时），有 展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不为0，写为：即：所以系数第8页/共137页4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数代入，得最小均方误差 在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即n越大，则均方误差越小。当n时（为完备正交函数集），均方误差为零。此时有 上式称为(Parseval)帕斯瓦尔方程（公式）帕斯瓦尔方程（公式），表明：在区间(t1,t2)，f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总和。函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和第9页/共137页4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数4.2 4.2 周期信号的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数一、傅里叶级数的三角形式一、傅里叶级数的三角形式 设周期信号f(t)，其周期为T，角频率=2/T，当满足狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级数 称为f(t)的傅里叶级数。系数an,bn称为傅里叶系数。可见，an 是n的偶函数，bn是n的奇函数。第10页/共137页4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数式中，A0=a0 上式表明：周期信号可分解为直流和许多余弦分量。其中，A0/2为直流分量；A1cos(t+1)称为基波或一次谐波，它的角频率与原周期信号相同；A2cos(2 t+2)称为二次谐波，它的频率是基波的2倍；一般而言，Ancos(n t+n)称为n次谐波。可见An是n的偶函数，n是n的奇函数。an=Ancos n，bn=Ansin n，n=1,2,将上式同频率项合并，可写为第11页/共137页4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数例1：将图示方波信号f(t)展开为傅里叶级数。解：考虑到=2/T，可得：第12页/共137页4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数信号的傅里叶级数展开式为：第13页/共137页4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数第14页/共137页4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数第15页/共137页4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数第16页/共137页4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数第17页/共137页4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数二、波形的对称性与谐波特性二、波形的对称性与谐波特性1.f(t)为偶函数为偶函数对称纵坐标对称纵坐标bn=0，展开为余弦级数。2.f(t)为奇函数为奇函数对称于原点对称于原点an=0，展开为正弦级数。实际上，任意函数f(t)都可分解为奇函数和偶函数两部分，即 f(t)=fod(t)+fev(t)由于f(-t)=fod(-t)+fev(-t)=-fod(t)+fev(t)所以 第18页/共137页4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数3.f(t)为奇谐函数为奇谐函数f(t)=f(tT/2)此时，其傅里叶级数中只含奇次谐波分量，而不含偶次谐波分量即：a0=a2=b2=b4=0 4.f(t)为偶谐函数为偶谐函数f(t)=f(tT/2)此时，其傅里叶级数中只含偶次谐波分量，而不含奇次谐波分量即 a1=a3=b1=b3=0 第19页/共137页4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数三、傅里叶级数的指数形式三、傅里叶级数的指数形式 三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用指数形式的傅里叶级数。可从三角形式推出：利用 cosx=(ejx+ejx)/2 上式中第三项的n用n代换，A n=An，n=n，则上式写为 第20页/共137页4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数令A0=A0 e j 0 e j0 t，0=0 所以令复数称其为复傅里叶系数，简称傅里叶系数。第21页/共137页4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数 n=0,1,2，表明：任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指数信号之和。Fn 是频率为n 的分量的系数，F0=A0/2为直流分量。第22页/共137页4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数例2：求如图所示周期信号的指数型傅里叶级数。解：第23页/共137页4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数指数型傅里叶级数为：第24页/共137页4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱4.3 4.3 周期信号的频谱及特点周期信号的频谱及特点一、信号频谱的概念一、信号频谱的概念 从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变化的关系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信号的频谱图。周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系，即 将An和 n的关系分别画在以为横轴的平面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相位频谱图。因为n0，所以称这种频谱为单边谱。也可画|Fn|和 n的关系，称为双边谱。若Fn为实数，也可直接画Fn。第25页/共137页4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱例：周期信号 f(t)=试求该周期信号的基波周期T，基波角频率，画出它的单边频谱图，并求f(t)的平均功率。解解 首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即显然1是该信号的直流分量。的周期T1=8的周期T2=6所以f(t)的周期T=24，基波角频率=2/T=/12根据帕斯瓦尔等式，其功率为 P=第26页/共137页4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱是f(t)的/4/12=3次谐波分量；是f(t)的/3/12=4次谐波分量；画出f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如下图：第27页/共137页4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱二、周期信号频谱的特点二、周期信号频谱的特点举例：有一幅度为1，脉冲宽度为 的周期矩形脉冲，其周期为T，如图所示。求频谱。令Sa(x)=sin(x)/x(取样函数）第28页/共137页4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱,n=0,1，2，Fn为实数，可直接画成一个频谱图。设T=4画图。零点为所以，m为整数。特点：(1)周期信号的频谱具有谐波(离散)性。谱线位置是基频的整数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。第29页/共137页4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱谱线的结构与波形参数的关系：(a)T一定，变小，此时（谱线间隔）不变。两零点之间的谱线数目：1/=（2/）/(2/T)=T/增多。(b)一定，T增大，间隔 减小，频谱变密。幅度减小。如果周期T无限增长（这时就成为非周期信号），那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱离散频谱就过渡到非周期信号的连续频谱连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小。第30页/共137页4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数三、周期信号的功率三、周期信号的功率Parseval等式等式含义：直流和n次谐波分量在1 电阻上消耗的平均功 率之和。周期信号一般是功率信号，其平均功率为表明：对于周期信号，在时域中求得的信号功率与在 频域中求得的信号功率相等。第31页/共137页4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换4.4 4.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱傅里叶变换傅里叶变换一、傅里叶变换一、傅里叶变换 非周期信号f(t)可看成是周期T时的周期信号。前已指出当周期T趋近于无穷大时，谱线间隔 趋近于无穷小，从而信号的频谱变为连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之间仍有差别。为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概念。令(单位频率上的频谱）称F(j)为频谱密度函数。第32页/共137页4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换考虑到：T，无穷小，记为d；n （由离散量变为连续量），而同时，于是，傅里叶变换式傅里叶变换式“-”傅里叶反变换式傅里叶反变换式“+”F(j)称为f(t)的傅里叶变换或频谱密度函数，简称频谱。f(t)称为F(j)的傅里叶反变换或原函数。根据傅里叶级数第33页/共137页4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换也可简记为 F(j)=F F f(t)f(t)=F F 1F(j)或 f(t)F(j)F(j)一般是复函数，写为 F(j)=|F(j)|e j ()=R()+jX()说明：(1)前面推导并未遵循严格的数学步骤。可证明，函数 f(t)的傅里叶变换存在的充分条件:(2)用下列关系还可方便计算一些积分第34页/共137页4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换二、常用函数的傅里叶变换二、常用函数的傅里叶变换1.单边指数函数单边指数函数f(t)=e t(t)，02.双边指数函数双边指数函数f(t)=et ,0 第35页/共137页4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换3.门函数门函数(矩形脉冲矩形脉冲)4.冲激函数冲激函数(t)、(t)第36页/共137页4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换5.常数常数1有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如1，(t)等，但傅里叶变换却存在。直接用定义式不好求解。可构造一函数序列fn(t)逼近f(t)，即而fn(t)满足绝对可积条件，并且fn(t)的傅里叶变换所形成的序列Fn(j)是极限收敛的。则可定义f(t)的傅里叶变换F(j)为这样定义的傅里叶变换也称为广义傅里叶变换。第37页/共137页4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换构造 f(t)=e-t ，0 所以又因此，1212()另一种求法：(t)1(t)1代入反变换定义式，有将 t t，t-t-再根据傅里叶变换定义式，得第38页/共137页6.符号函数符号函数4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换7.阶跃函数阶跃函数(t)构造第39页/共137页4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换归纳记忆：1.F F 变换对变换对2.常用函数常用函数 F F 变换对：变换对：(t)(t)e-t(t)g(t)sgn(t)e|t|(t)1 12()第40页/共137页4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质一、线性一、线性(Linear Property)Proof:thenIf第41页/共137页4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example F(j)=?Ans:f(t)=f1(t)g2(t)f1(t)=1 2()g2(t)2Sa()F(j)=2()-2Sa()-第42页/共137页4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质二、奇偶性二、奇偶性(Parity)If f(t)is real,thenSo that(1)R()=R(),X()=X()|F(j)|=|F(j)|,()=()(2)If f(t)=f(-t),then X()=0,F(j)=R()If f(t)=-f(-t),then R()=0,F(j)=jX()第43页/共137页4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质三、对称性三、对称性(Symmetrical Property)If f(t)F(j)thenProof:（1）in(1)t，t then（2）in(2)-then F(jt)2f()endF(jt)2f()第44页/共137页4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example F(j)=?Ans:if =1,第45页/共137页4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质四、尺度变换性质四、尺度变换性质(Scaling Transform Property)If f(t)F(j)then where“a”is a nonzero real constant.Proof:F F f(a t)=For a 0 ,F F f(a t)for a 0 ,F F f(a t)That is ,f(a t)Also,letting a=-1,f(-t)F(-j)第46页/共137页4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example f(t)=F(j)=?Ans:Using symmetry,using scaling property with a=-1,so that,第47页/共137页4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质五、时移性质五、时移性质(Time shifting Property)If f(t)F(j)thenwhere“t0”is real constant.Proof:F F f(t t0)第48页/共137页4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example F(j)=?f1(t)=g6(t-5),f2(t)=g2(t-5)g6(t-5)g2(t-5)F(j)=+Ans:f(t)=f1(t)+f2(t)第49页/共137页4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example Given that f(t)F(j),find f(at b)?Ans:f(t b)e-jb F(j)f(at b)orf(at)f(at b)=第50页/共137页4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质六、频移性质六、频移性质(Frequency Shifting Property)If f(t)F(j)thenProof:where“0”is real constant.F F e j0t f(t)=F j(-0)endFor example 1f(t)=ej3t F(j)=?Ans:1 2()ej3t 1 2(-3)第51页/共137页4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example 2f(t)=cos0t F(j)=?Ans:F(j)=(-0)+(+0)For example 3Given that f(t)F(j)The modulated signal f(t)cos0t?第52页/共137页4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质七、卷积定理七、卷积定理(Convolution Property)1、Convolution in time domain：If f1(t)F1(j)，f2(t)F2(j)Then f1(t)*f2(t)F1(j)F2(j)2、Convolution in frequency domain：If f1(t)F1(j)，f2(t)F2(j)Then f1(t)f2(t)F1(j)*F2(j)第53页/共137页4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质Proof:Using time shiftingSo that,第54页/共137页4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For exampleAns:Using symmetry,第55页/共137页4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质八、时域的微分和积分八、时域的微分和积分(Differentiation and Integration in time domain)If f(t)F(j)then Proof:f(n)(t)=(n)(t)*f(t)(j)n F(j)f(-1)(t)=(t)*f(t)第56页/共137页4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质f(t)=1/t2?For example 1Ans:第57页/共137页4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example 2 Given that f (t)F1(j)Prooff(t)F1(j)+f(-)+f()()ProofSoSummary:if f(n)(t)Fn(j)，and f(-)+f()=0 Then f(t)F(j)=Fn(j)/(j)n第58页/共137页4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example 3Determine f(t)F(j)Ans:f”(t)=(t+2)2 (t)+(t 2)F2(j)=F F f”(t)=e j2 2+e j2=2cos(2)2 F(j)=Notice:d(t)/dt=(t)1(t)1/(j)第59页/共137页4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质九、频域的微分和积分九、频域的微分和积分(Differentiation and Integration in frequency domain)If f(t)F(j)then (jt)n f(t)F(n)(j)whereFor example 1 Determine f(t)=t(t)F(j)=?Ans:第60页/共137页4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质Notice:t(t)=(t)*(t)Its wrong.Because ()()and(1/j)()is not defined.For example 2DetermineAns:第61页/共137页4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质十、相关定理十、相关定理(Correlation Theorem)Ifthen Proof:两个信号相关函数的傅里叶变换等于其中一个信号的傅里叶变换与另一信号傅里叶变换的共轭之乘积，这就是相关定理。对自相关函数：第62页/共137页4.6 4.6 能量谱和功率谱能量谱和功率谱4.6 4.6 能量谱和功率谱能量谱和功率谱一、能量谱一、能量谱1.信号能量的定义：时间（-,）区间上信号的能量。信号(电压或电流)f(t)在1电阻上的瞬时功率为|f(t)|2,在区间（-T,T）的能量为 如果信号能量有限，即0E，信号称为能量有限信号，简称能量信号。例如门函数，三角形脉冲，单边或双边指数衰减信号等。第63页/共137页证明:4.6 4.6 能量谱和功率谱能量谱和功率谱2.帕斯瓦尔方程（能量方程）：第64页/共137页4.6 4.6 能量谱和功率谱能量谱和功率谱 在频带df内信号的能量为E E()df，因而信号在整个频率区间（-,）的总能量为：上式与帕斯瓦尔公式进行比较可知，能量密度谱E E()为：3.能量密度谱E E()：(Energy-density Spectrum)为了表征能量在频域中的分布情况，可以借助于密度的概念，定义一个能量密度函数，简称为能量频谱或能量谱。能量频谱E E()定义为单位频率的信号能量。第65页/共137页例例1：计算信号的能量 解:4.6 4.6 能量谱和功率谱能量谱和功率谱由相关定理：信号的能量谱E E()与自相关函数R()是一对傅里叶变换 信号的能量谱E E()是的偶函数，它只取决于频谱函数的模量，而与相位无关。单位：Js。第66页/共137页4.6 4.6 能量谱和功率谱能量谱和功率谱二、功率谱二、功率谱 由信号能量和功率的定义可知，若信号能量E有限，则P=0；若信号功率P有限，则E=。1.信号功率：定义为时间（-,）区间上信号f(t)的 平均功率，用P表示。如果信号功率有限，即0P，信号称为功率有限信号，简称功率信号。如阶跃信号，周期信号等。如果f(t)为实函数，则第67页/共137页4.6 4.6 能量谱和功率谱能量谱和功率谱功率有限信号的能量趋于无穷大，即 从f(t)中截取|t|T/2的一段，得到一个截尾函数fT(t)，它可以表示为：如果T是有限值，则fT(t)的能量也是有限的。令fT(t)的能量ET可表示为：由于第68页/共137页4.6 4.6 能量谱和功率谱能量谱和功率谱f(t)的平均功率为：当T增加时，fT(t)的能量增加，|FT(j)|2也增加。当T时，fT(t)f(t)，此时|FT(j)|2/T可能趋于一极限。比较得：2.功率密度谱：类似于能量密度谱，定义功率密度谱 函数P P ()为单位频率的信号功率。从而平均功率：第69页/共137页4.6 4.6 能量谱和功率谱能量谱和功率谱 信号的功率谱P P()是的偶函数，它只取决于频谱函数的模量，而与相位无关。单位：Ws。自相关函数：3.功率密度谱与自相关函数的关系：若f1(t)和f2(t)是功率有限信号，此时相关函数的定义为：第70页/共137页4.6 4.6 能量谱和功率谱能量谱和功率谱两边取傅里叶变换，得：比较前面推导：功率有限信号的功率谱函数P P()与自相关函数R()是一对傅里叶变换。第71页/共137页4.7 4.7 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换4.7 4.7 周期信号傅里叶变换周期信号傅里叶变换一、正、余弦的傅里叶变换一、正、余弦的傅里叶变换 12()由频移特性得 e j 0 t 2(0)e j 0 t 2(+0)cos(0t)=(e j 0 t+e j 0 t)/2 (0)+(+0)sin(0t)=(e j 0 t+e j 0 t)/(2j)j(+0)(0)第72页/共137页4.7 4.7 周期信号傅里叶变换周期信号傅里叶变换二、一般周期信号的傅里叶变换二、一般周期信号的傅里叶变换例1：周期为T的单位冲激周期函数 T(t)=解：(1)第73页/共137页4.7 4.7 周期信号傅里叶变换周期信号傅里叶变换例2：周期信号如图，求其傅里叶变换。解：周期信号f(t)也可看作一时限非周期信号f0(t)的周期拓展。即f(t)=T(t)*f0(t)F(j)=()F0(j)F(j)=本题 f0(t)=g2(t)(2)(2)式与上页(1)式比较，得这也给出求周期信号傅里叶级数的另一种方法。第74页/共137页4.7 4.7 复习：傅里叶变换复习：傅里叶变换归纳记忆：1.F F 变换对变换对2.常用函数常用函数 F F 变换对：变换对：(t)(t)e-t(t)g(t)sgn(t)e|t|(t)1 12()第75页/共137页4.8 LTI4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析4.8 LTI4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析 傅里叶分析是将任意信号分解为无穷多项不同频率的虚指数函数之和。对周期信号：对非周期信号：其基本信号为 ej t一、基本信号一、基本信号ej t作用于作用于LTI系统的响应系统的响应说明：频域分析中，信号的定义域为(，)，而t=总可认为系统的状态为0，因此本章的响应指零状态响应，常写为y(t)。第76页/共137页4.8 LTI4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析设LTI系统的冲激响应为h(t)，当激励是角频率的基本信号ej t时，其响应 而上式积分 正好是h(t)的傅里叶变换，记为H(j )，常称为系统的频率响应函数。所以：y(t)=H(j )ej tH(j )反映了响应y(t)的幅度和相位。y(t)=h(t)*ej t第77页/共137页4.8 LTI4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析二、一般信号二、一般信号f(t)作用于作用于LTI系统的响应系统的响应ej tH(j )ej tF(j )d ej tF(j )H(j )d ej t齐次性齐次性可加性可加性f(t)y(t)=F F 1F(j )H(j )Y(j )=F(j )H(j )第78页/共137页4.8 LTI4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析频率响应H(j)可定义为系统零状态响应的傅里叶变换Y(j)与激励f(t)的傅里叶变换F(j)之比，即 H(j)称为幅频特性（或幅频响应）；()称为相频特性（或相频响应）。H(j)是 的偶函数，()是 的奇函数。频域分析法步骤：傅里叶变换法傅里叶变换法第79页/共137页4.8 LTI4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析对周期信号还可用傅里叶级数分析法：周期信号若则可推导出第80页/共137页4.8 LTI4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析例：某LTI系统的 H(j)和()如图，若f(t)=2+4cos(5t)+4cos(10t)，求系统的响应。解法一：用傅里叶变换F(j)=4()+4(5)+(+5)+4(10)+(+10)Y(j)=F(j)H(j)=4()H(0)+4(5)H(j5 5)+(+5)H(-j5 5)+4(10)H(j1010)+(+10)H(-j1010)H(j)=H(j)e j()=4()+4-j0.5(5)+j0.5(+5)y(t)=F F-1Y(j)=2+2sin(5t)第81页/共137页4.8 LTI4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析解法二：用三角傅里叶级数分析法求解f(t)的基波角频率=5rad/sf(t)=2+4cos(t)+4cos(2t)H(0)=1，H(j)=0.5e-j0.5，H(j2)=0y(t)=2+40.5cos(t 0.5)=2+2sin(5t)第82页/共137页4.8 LTI4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析三、频率响应三、频率响应H(jH(j)的求法的求法1.H(j)=F F h(t)2.H(j)=Y(j)/F(j)(1)由微分方程求，对微分方程两边取傅里叶变换。(2)由电路直接求出。例1：某系统的微分方程为 y(t)+2y(t)=f(t)求f(t)=e-t(t)时的响应y(t)。解：微分方程两边取傅里叶变换j Y(j)+2Y(j)=F(j)第83页/共137页4.8 LTI4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析f(t)=e-t(t)Y(j)=H(j)F(j)y(t)=(e-t e-2t )(t)例2：如图电路，R=1，C=1F，以uC(t)为输出，求其h(t)。解：画电路频域模型h(t)=e-t(t)第84页/共137页4.8 LTI4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析四、无失真传输与滤波四、无失真传输与滤波系统对于信号的作用大体可分为两类：一类是信号的传输，一类是滤波。传输要求信号尽量不失真，而滤波则要求滤去或削弱不需要的成分，必然伴随着失真。1、无失真传输、无失真传输（1）定义：信号无失真传输是指系统的输出信号与输入信号相比，只有幅度的大小和出现时间的先后不同，而没有波形上的变化。即 输入信号为f(t)，经过无失真传输后，输出信号应为 y(t)=K f(ttd)其频谱关系为 Y(j)=Ke j tdF(j)第85页/共137页4.8 LTI4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析系统要实现无失真传输，对系统h(t)，H(j)的要求是：(a)对h(t)的要求：h(t)=K(t td)(b)对H(j)的要求：H(j)=Y(j)/F(j)=Ke-j td即 H(j)=K ,()=td 上述是信号无失真传输的理想条件。当传输有限带宽的信号是，只要在信号占有频带范围内，系统的幅频、相频特性满足以上条件即可。(2)无失真传输条件：第86页/共137页4.8 LTI4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析例：系统的幅频特性|H(j)|和相频特性如图(a)(b)所示，则下列信号通过该系统时，不产生失真的是(A)f(t)=cos(t)+cos(8t)(B)f(t)=sin(2t)+sin(4t)(C)f(t)=sin(2t)sin(4t)(D)f(t)=cos2(4t)第87页/共137页4.8 LTI4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析2、理想低通滤波器、理想低通滤波器 具有如图所示幅频、相频特性的系统称为理想低通滤波器。c称为截止角频率。理想低通滤波器的频率响应可写为：(1)冲激响应 h(t)=-1g 2 c()e)e-j-j t td d=可见，它实际上是不可实现的非因果系统(why?)。第88页/共137页4.8 LTI4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析(2)阶跃响应 g(t)=h(t)*(t)=经推导，可得称为正弦积分特点：有明显失真，只要 c，则必有振荡，其过冲比稳态值高约9%。这一由频率截断效应引起的振荡现象称为吉布斯现象。gmax=0.5+Si()/=1.0895第89页/共137页4.8 LTI4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析3、物理可实现系统的条件、物理可实现系统的条件 就时域特性而言，一个物理可实现的系统，其冲激响应在t0时必须为0，即 h(t)=0,t0 即 响应不应在激励作用之前出现。就频域特性来说，佩利（Paley)和维纳（Wiener)证明了物理可实现的幅频特性必须满足 并且称为佩利-维纳准则。（必要条件）从该准则可看出，对于物理可实现系统，其幅频特性可在某些孤立频率点上为0，但不能在某个有限频带内为0。第90页/共137页4.9 4.9 取样定理取样定理4.9 4.9 取样定理取样定理 取样定理论述了在一定条件下，一个连续信号完全可以用离散样本值表示。这些样本值包含了该连续信号的全部信息，利用这些样本值可以恢复原信号。可以说，取样定理在连续信号与离散信号之间架起了一座桥梁。为其互为转换提供了理论依据。一、信号的取样一、信号的取样 所谓“取样”就是利用取样脉冲序列s(t)从连续信号f(t)中“抽取”一系列离散样本值的过程。这样得到的离散信号称为取样信号取样信号。第91页/共137页4.9 4.9 取样定理取样定理如图一连续信号f(t)用取样脉冲序列s(t)(开关函数）进行取样，取样间隔为TS，fS=1/TS称为取样频率。得取样信号 fS(t)=f(t)s(t)取样信号fS(t)的频谱函数为 FS(j)=(1/2)F(j)*S(j)第92页/共137页4.9 4.9 取样定理取样定理冲激取样冲激取样 若s(t)是周期为Ts的冲激函数序列 Ts(t),则称为冲激取样。如果f(t)是带限信号带限信号 即f(t)的频谱只在区间（-m，m)为有限值，而其余区间为0。设f(t)F(j)，取样信号fS(t)的频谱函数 FS(j)=(1/2)F(j)*S s()S=2/TSs(t)=s(t)=Ts(t)S s()第93页/共137页4.9 4.9 取样定理取样定理=*=上面在画取样信号fS(t)的频谱时，设定S 22m,这时其频谱不发生混叠，因此能设法(如利用低通滤波器)，从FS(j)中取出F(j)，即从fS(t)中恢复原信号f(t)。否则将发生混叠，而无法恢复原信号。第94页/共137页4.9 4.9 取样定理取样定理二、时域取样定理二、时域取样定理当S 22m 时，将取样信号通过下面的低通滤波器其截止角频率C取m C S-m。即可恢复原信号。由于 fs(t)=f(t)s(t)=f(t)H(j)h(t)=为方便，选C=0.5=0.5S,则TsTsC/=1/=1 第95页/共137页4.9 4.9 取样定理取样定理所以根据f(t)=fS(t)*h(t)，有只要已知各取样值f(nTs),就出唯一地确定出原信号f(t)。时域取样定理时域取样定理：一个频谱在区间（-m，m)以外为0的带限信号f(t),可唯一地由其在均匀间隔Ts Ts2fm，或者说，取样间隔不能太大，必须Ts1/(2fm);否则将发生混叠。第96页/共137页 通常把最低允许的取样频率fs=2fm称为奈奎斯特（Nyquist)频率，把最大允许的取样间隔Ts=1/(2fm)称为奈奎斯特间隔。频域取样定理频域取样定理：根据时域与频域的对偶性，可推出频域取样定理。一个在时域区间（-tm,tm)以外为0的时限信号f(t)的频谱函数F(j)，可唯一地由其在均匀频率间隔fsfs1/(2tm)上的样值点F(jn s)确定。4.9 4.9 取样定理取样定理第97页/共137页例1 有限频带信号f1(t)的最高频率为m1(fm1)，f2(t)的最高频率为m2(fm2)，对下列信号进行时域抽样，试求使频谱不发生混叠的奈奎斯特频率fs与奈奎斯特间隔Ts。4.9 4.9 取样定理取样定理第98页/共137页4.9 4.9 取样定理取样定理解：所以，奈奎斯特频率为：奈奎斯特周期为：第99页/共137页4.9 4.9 取样定理取样定理所以，奈奎斯特频率为：奈奎斯特周期为：第100页/共137页4.9 4.9 取样定理取样定理所以，奈奎斯特频率为：奈奎斯特周期为：第101页/共137页4.9 4.9 取样定理取样定理所以，奈奎斯特频率为：奈奎斯特周期为：第102页/共137页4.9 4.9 取样定理取样定理所以，奈奎斯特频率为：奈奎斯特周期为：第103页/共137页例24.9 4.9 取样定理取样定理解：第104页/共137页4.9 4.9 取样定理取样定理由对称性可知：所以：此外：第105页/共137页4.9 4.9 取样定理取样定理所以：第106页/共137页4.10 4.10 序列的傅里叶分析序列的傅里叶分析4.10 4.10 序列的傅里叶分析序列的傅里叶分析一、周期序列的离散傅里叶级数（一、周期序列的离散傅里叶级数（DFS）具有周期性的离散时间信号可以表示为fN(k),其下标N表示其周期为N，即有 对于连续时间信号，周期信号fT(t)可以分解为一系列角频率为n(n=1