黑龙江省大庆市2023届高三第一次教学质量检测数学试题（解析版）.docx

大庆市2023届高三年级第一次教学质量检测数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合，集合，若，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用交集的运算求解.【详解】因为，集合，且，所以，故选：A2. 已知复数，则的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】化简复数，可得的虚部【详解】因为，所以复数的虚部为故选：C3. 已知，若，则（ ）A. B. 4C. 3D. 【答案】B【解析】【分析】由平面向量的坐标运算求解，【详解】因，所以，所以.故选：B 4. 我国西北某地区开展改造沙漠的巨大工程，该地区对近5年投入的沙漠治理经费x（亿元）和沙漠治理面积y（万亩）的相关数据统计如下表所示治理经费x/亿元34567治理面积y/万亩1012111220根据表中所给数据，得到y关于x的线性回归方程为，则（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】利用线性回归直线方程过定点，可得答案.【详解】因为，因回归方程过定点，将其代入，得，解得，故选：C5. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由对数的运算性质求解，【详解】因为，所以.则，所以.故选：B6. 已知不重合的直线，和不重合的平面，下列说法中正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D 【解析】【分析】由线线垂直得不到面面垂直，可判断A错；无法判断是否相交，故B错误；存在特殊情况，故C错误；由线面平行的性质和判定定理可判断D正确.【详解】对选项A，如图所示，满足命题条件，但不一定满足，故A错；对选项B，当，时，都满足，但推不出，故B错；对选项C，存在特殊情况，故C错误；对选项D，因为，所以，又，所以.故选：D7. 设x，则“”是“x，y中至少有一个大于1”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用反证法可以得到时x，y中至少有一个大于1，充分性成立，再举出反例，证明必要性不成立【详解】假设x，y均不大于1，即且，则，这与已知条件矛盾，故当时x，y中至少有一个大于1，故充分性成立；取，满足x，y中至少有一个大于1，但不成立，故必要性不成立，故“”是“x，y中至少有一个大于1”的充分不必要条件. 故选：A8. 设抛物线：焦点为，点在上，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意得出是抛物线通径的一半，再由勾股定理即可解决.【详解】由题意可知，所以.因为抛物线的通径长，所以轴，所以故选：D.9. 函数（，）的部分图象如图所示，将f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先根据函数图象得到，再根据平移变换求解即可. 【详解】由图知：，则，所以，则，即.因为，所以，即，.因为，得，所以.所以.故选：C10. 在三棱锥中，平面ABC，且，E，F分别为BC，PA的中点，则异面直线EF与PC所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】要求异面直线的夹角，利用线线平行进行转化，如图分别取AB，PB的中点M，G，连接FM，ME，GE，FG，则，所以或其补角为异面直线EF与PC所成的角，解三角形即可得解.【详解】如图所示，分别取AB，PB的中点M，G，连接FM，ME，GE，FG，则，所以（或其补角）为异面直线EF与PC所成的角 因为，所以，因为平面ABC，平面ABC ，平面ABC，平面ABC，所以，且在中，在中，由余弦定理得，所以异面直线EF与PC所成角的余弦值为故选：B11. 已知函数，的定义域均为，且，若的图象关于直线对称，则（ ）A. B. C. 0D. 2【答案】A【解析】【分析】依题意可得，再由可得，即可得到为偶函数，再由得到，即可得到的周期为，再根据所给条件计算可得.【详解】因为的图象关于直线对称，所以，所以，因为，所以，所以为偶函数 因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以的周期为，所以因为，所以，故故选：A12. 设，分别是椭圆的左、右焦点，点P，Q在椭圆C上，若，且，则椭圆C的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用数量积知识得，然后利用第一定义及勾股定理得到a、c关系，即可求出离心率【详解】由，得，则点P是以为直径的圆与椭圆C的交点，不妨设和点P在第一象限，如图连接，令，则，因为，所以，即，得，又，所以，将代入，得故选：A 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 函数的图象在点处的切线方程为_【答案】【解析】【分析】先求导，再由导数的几何意义和点斜式即可求解【详解】因为，所以因为，所以所求切线方程为，即.故答案为：14. 已知直线与圆相离，则整数的一个取值可以是_【答案】或或（注意：只需从中写一个作答即可）【解析】【分析】利用直线与圆的位置关系列出不等式组，解出整数的范围【详解】因为圆的圆心为，所以圆心到直线的距离，因为圆的方程可化简为，即半径为，所以，所以，故整数的取值可能是故答案为：或或（注意：只需从中写一个作答即可）15. 一个口袋里有大小相同的白球个，黑球个，现从中随机一次性取出个球，若取出的两个球都是白球的概率为，则黑球的个数为_【答案】5【解析】【分析】根据古典概型的概率公式及组合数公式得到方程，解得即可.【详解】由题意得，所以，解得或（舍去），即黑球的个数为 故答案为：16. 已知的展开式中第4项与第5项的二项式系数之比是，则_，展开式的常数项为_（用数字作答）【答案】 . 9 . 【解析】【分析】空1：根据二项式系数的性质得，解出即可；空2：由题化简得其展开式的通项为，令，解出值，代回即可得到其常数项.【详解】由题意得，即，解得展开式的通项为令，解得，故展开式中的常数项为故答案为：9；.三、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 设是公差不为0的等差数列，是，的等比中项.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）设的公差为，由题意可得，求出，即可求出的通项公式；（2）由裂项相消法求和即可得出答案 【小问1详解】设的公差为，因为，是，的等比中项，所以，所以.因为，所以，故.【小问2详解】因为，所以.18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求角A；（2）若，D为BC边的中点，求a的值.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由两角和的正弦公式化简求解，（2）由平面向量数量积的运算律与余弦定理求解，【小问1详解】由题意得，所以，所以.因为，所以.因为，所以.【小问2详解】由，可得.因为，所以，解得. 因为，所以.19. 如图，在长方体中，底面是边长为2的正方形，分别是，的中点.（1）证明：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）取的中点，连接，由三角形中位线定理结合已知条件可得四边形是平行四边形，则，再由线面平行的判定定理可证得结论；（2）以为坐标原点，的方向分别为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解.【小问1详解】证明：取的中点，连接，分别是，的中点， ，底面是矩形，是的中点，四边形是平行四边形，平面，平面，平面.【小问2详解】解：以为坐标原点，的方向分别为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，令，得.取平面的一个法向量.设平面与平面的夹角为，由图可知为锐角， 则故平面与平面夹角的余弦值为.20. 盐水选种是古代劳动人民的智慧结晶，其原理是借助盐水估测种子的密度，进而判断其优良.现对一批某品种种子的密度（单位：）进行测定，认为密度不小于的种子为优种，小于的为良种.自然情况下，优种和良种的萌发率分别为和.（1）若将这批种子的密度测定结果整理成频率分布直方图，如图所示，据图估计这批种子密度的平均值；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（2）在（1）的条件下，用频率估计概率，从这批种子（总数远大于2）中选取2粒在自然情况下种植，设萌发的种子数为，求随机变量的分布列和数学期望（各种子的萌发互相独立）；（3）若该品种种子的密度，任取该品种种子20000粒，估计其中优种的数目.附：假设随机变量，则.【答案】（1）1.24 （2）分布列见解析，期望1.44； （3）粒.【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图直接计算平均值即可；（2）求出一粒种子发芽的概率，问题转化为二项分布求解分布列与期望；（3）根据正态分布的对称性，利用参考数据直接求指定区间的概率即可得解.【小问1详解】种子密度的平均值为： （）【小问2详解】由频率分布直方图知优种占比为，任选一粒种子萌发的概率，因为为这批种子总数远大于2，所以，所以布列为：0期望.【小问3详解】因为该品种种子的密度，所以，即，所以20000粒种子中约有优种（粒）即估计其中优种的数目为粒.21. 已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点到渐近线的距离为2.（1）求双曲线的标准方程；（2）设为双曲线的右顶点，直线与双曲线交于不同于的，两点，若以为直径的圆经过点且于，证明：存在定点，使得为定值.【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】【分析】（1）由已知可设，双曲线的标准方程为，根据条件列出a，c关系式，解出代入方程即可；（2）对直线的斜率能否为0进行讨论.斜率不为0时，设的方程为，联立直线与椭圆的方程，有垂直关系时，在圆锥曲线中常用向量法，化简得到m，k的关系式；斜率不存在时，写出直线方程，验证即可.【小问1详解】设双曲线的标准方程为，焦点为，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，所以.因为焦点到渐近线的距离为2，所以，从而，故双曲线的标准方程为【小问2详解】证明：设，.当直线的斜率存在时，设的方程为，联立方程组化简得，则，即，且因为， 所以，化简得所以或，且均满足.当时，直线的方程为，直线过定点，与已知矛盾；当时，直线的方程为，过定点当直线的斜率不存在时，由对称性，不妨设DE方程为：y=x-1，联立方程组，得得，此时直线过定点因为，所以点在以为直径的圆上，为该圆的圆心,为该圆的半径，故存在定点，使得为定值【点睛】圆锥曲线中的定值问题通常是通过设参数或取“特殊值”来确定定值是多少.因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定值显现.22. 已知函数的两个不同极值点分别为，（）.（1）求实数的取值范围；（2）证明：（为自然对数的底数）.【答案】（1） （2）证明见解析【解析】【分析】（1）把函数有两个不同极值点，转化为有两个不同的实数根，令，结合其导数分析值域情况，从而得到实数的取值范围； （2）由题意可知，是方程的两个根，从而有，变形可得：，令，则，再利用分析法即可证明.【小问1详解】解：因有两个不同极值点，所以有两个不同的根，令，则.令，得；令得.所以在上单调递增，在上单调递减，所以.因为当时，所以.【小问2详解】证明：由（1）可知，且，是方程的两个根，即，所以，所以，所以.令，则，要证，即证，即证，即证. 令，则，所以在上单调递增.因为，所以，所以成立，故成立.