冲刺2019高考数学二轮复习核心考点特色突破专题22与基本不等式有关的应用题含解析.doc

专题22 与基本不等式有关的应用题【自主热身，归纳总结】1、某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则的值是 .【答案】 30【解析】 总费用240，当且仅当，即时等号成立.即时取得故当米时，有最大值，的最大值为立方米2、用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器（如图），设容器的高为米，盖子边长为米设容器的容积为V立方米，则当为_时，V最大【解析】 设为正四棱锥的斜高由已知解得，进而得，因为，所以等式当且仅当， 3、某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左、右内墙保留3 m宽的通道，如图设矩形温室的室内长为x(m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(m2)(1) 求S关于x的函数关系式；(2) 求S的最大值【解析】 (1) 由题设得S(x8)2x916，x(8,450)(6分)(2) 因为8<x<450，所以2x2 240，(8分)当且仅当x60时等号成立(10分)从而S676.(12分)答：当矩形温室的室内长为60 m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 m2.(14分)4、如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为2400m2的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路(图中阴影部分)，道路的宽度均为2m.怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大？并求出其最大面积 在利用基本不等式求函数的最值时，一定要注意验证基本不等式成立的三个条件，即一正二定三相等如果等号成立的条件不具备，就应该研究函数的单调性来求函数的最值5、某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)示意图如图所示，垂直放置的标杆BC的高度h4 m，仰角ABE，ADE.(1) 该小组已测得一组，的值，tan1.24，tan1.20，请据此算出H的值；(2) 该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使与之差较大，可以提高测量精确度若电视塔的实际高度为125 m，试问d为多少时，最大？【解析】 (1) 由AB，BD，AD及ABBDAD，得，解得H124.因此算出的电视塔的高度H是124 m.(2) (1) 由题知dAB，则tan.由ABADBD，得tan，所以tan()，当且仅当d55时取等号又0<<，所以当d55时，tan()的值最大因为0<<<，所以当d55时，的值最大6、如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1 km.某炮位于坐标原点已知炮弹发射后的轨迹在方程ykx(1k2)x2(k>0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标(1) 求炮的最大射程；(2) 设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2 km，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由【解析】 (1)令y0，得kx(1k2)x20，由实际意义和题设条件知x>0，k>0，故x10，当且仅当k1时取等号所以炮的最大射程为10km.(2) 因为a>0，所以炮弹可击中目标等价于存在k>0，使3.2ka(1k2)a2成立，即关于k的方程a2k220aka2640有正根，所以判别式(20a)24a2(a264)0，解得a6，所以0<a6.所以当a不超过6km时，炮弹可击中目标【问题探究，变式训练】例1、 如图，一个铝合金窗分为上、下两栏，四周框架和中间隔栏的材料为铝合金，宽均为6cm，上栏和下栏的框内高度（不含铝合金部分）的比为，此铝合金窗占用的墙面面积为28800，设该铝合金窗的宽和高分别为，铝合金的透光部分的面积为.（1）试用表示；（2）若要使最大，则铝合金窗的宽和高分别为多少？【解析】（1） 又设上栏框内高度为h（cm），下栏框内高度为2h（cm）.则3h+18=b， 透光部分的面积 （2）当且仅当9a=8b时等号成立，此时代入式得，a=160，从而b=180，即当a=160，b=180时，S取得最小值. 答：铝合金窗的宽度为160，高为180时，可使透光部分的面积最大。【变式1】、 某市近郊有一块400 m×400 m正方形的荒地，准备在此荒地上建一个综合性休闲广场，需先建造一个总面积为3 000 m2的矩形场地(如图所示) 图中，阴影部分是宽度为2 m的通道，三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小矩形场地形状、大小相同），塑胶运动场地总面积为S m2（1）求S关于x的函数关系式，并给出定义域；（2）当x为何值时S取得最大值，并求最大值【变式2】、 【解析】：（1）在RtPAE中，由题意可知，AP=8，则所以 2分同理在RtPBF中，PB1，则， 所以 4分故PAE与PFB的面积之和为 5分=8， 当且仅当，即时，取“”， 故当AE=1km， BF=8km时，PAE与PFB的面积之和最小6分（2）在RtPAE中，由题意可知，则同理在RtPBF中，则令， 8分则， 10分令，得，记， 0极小值所以当时，函数取极小值，这个极小值就是函数的最小值，所以时，取得最小值， 12分此时，所以当AE为4km，且BF为2km时，PE+PF的值最小 14分【关联1】、在一张足够大的纸板上截取一个面积为3 600平方厘米的矩形纸板ABCD，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒(如图)设小正方形边长为x厘米，矩形纸板的两边AB，BC的长分别为a厘米和b厘米，其中ab.(1) 当a90时，求纸盒侧面积的最大值；(2) 试确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值思路分析 (1) 纸盒侧面积S(x)是关于x的函数，即求S(x)max.(2) 先猜想并证明ab时，底面积取最大，这样问题变为求体积关于x的函数的最大值【解析】(1) 当a90时，b40，纸盒的底面矩形的长为902x，宽为402x，周长为2608x.所以纸盒的侧面积S(x)(2608x)x8x2260x，其中x(0,20)，(3分)故S(x)maxS.答：当a90时，纸盒侧面积的最大值为平方厘米(6分)(2) 纸盒的体积V(a2x)(b2x)x，其中x，ab0，且ab3 600.(8分)因为(a2x)(b2x)ab2(ab)x4x2ab4x4x24(x260x900)，当且仅当ab60时取等号，所以V4(x360x2900x)，x(0,30)(10分)记f(x)4(x360x2900x)，x(0,30)，则f(x)12(x10)(x30)，令f(x)0，得x10，列表如下：x(0,10)10(10,30)f(x)0f(x)极大值由上表可知，f(x)的极大值是f(10)16 000，也是最大值(12分)答：当ab60，且x10时，纸盒的体积最大，最大值为16 000 立方厘米(14分)解后反思 因为a，所以第(2)题实际上是体积V关于两个变量b，x的最值问题先固定x，处理变量b，再处理x.另外，对于求f(x)的最大值，学习过不等式选讲的学生也可用下面的解法因为x(0,30)，所以f(x)4x(30x)22·2x(30x)(30x)2316 000，当且仅当x10时取等号【关联2】、某宾馆在装修时，为了美观，欲将客房的窗户设计成半径为1m的圆形，并用四根木条将圆分成如图所示的9个区域，其中四边形ABCD为中心在圆心的矩形，现计划将矩形ABCD区域设计为可推拉的窗口(1) 若窗口ABCD为正方形，且面积大于 m2(木条宽度忽略不计)，求四根木条总长的取值范围；(2) 若四根木条总长为6 m，求窗口ABCD面积的最大值 第(1)问，注意到四边形ABCD为正方形，所以四根木条的长度相等，以木条的长度x为自变量，将正方形的面积表示为x的函数，根据四边形ABCD的面积的要求，以及“四根木条将圆分成9个区域”来求出四根木条的总长度的取值范围；第(2)问，由于四根木条的总长为6m，所以AB，BC所在的木条的长度之和为3m，因此，可以选择AB所在的木条的长度为自变量a，求出四边形ABCD的面积的表达式，应用导数法来求出它的最大值；或者，选择双变量，即AB，BC所在的木条的长度为自变量a，b，建立四边形ABCD的面积的表达式，应用基本不等式来求它的最大值规范解答 (1) 设一根木条长为xm，则正方形的边长为2m.(2分)因为S四边形ABCD>，所以4x2>，即x<.(4分)又因为四根木条将圆分成9个区域，所以x>，所以4<4x<2.答：四根木条总长的取值范围为.(6分)列表如下：af(a)0f(a)极大值所以当a时，f(a)maxf，即Smax.答：窗口ABCD面积的最大值为 m2.(16分) 解法2 设AB所在的木条长为am，BC所在的木条长为bm.由条件知，2a2b6，即ab3.因为a，b(0,2)，所以b3a(0,2)，从而a，b(1,2)(8分)由于AB2，BC2，S矩形ABCD4··，(10分)因为·，(14分)当且仅当ab(1,2)时，S矩形ABCD.答：窗口ABCD面积的最大值为 m2.(16分) 第(1)问中，最容易出错的地方是忽略“四根木条将圆分成9个区域”这一条件，从而导致变量的取值范围出错 本题的本质是直线与圆的位置关系问题，第(1)问是由圆心到直线的距离的要求来求弦长的范围；而第(2)问是已知弦长的要求来求圆心到直线的距离的范围，弄清这一本质，问题就很容易求解【关联3】、一位创业青年租用了一块边长为1百米的正方形田地ABCD来养蜂、产蜜与售蜜，他在正方形的边BC，CD上分别取点E，F(不与正方形的顶点重合)，连结AE，EF，FA，使得EAF45°. 现拟将图中阴影部分规划为蜂源植物生长区，AEF部分规划为蜂巢区，CEF部分规划为蜂蜜交易区. 若蜂源植物生长区的投入约为2×105元/百米2，蜂巢区与蜂蜜交易区的投入约为105元/百米2，则这三个区域的总投入最少需要多少元？ 解法1设阴影部分面积为S，三个区域的总投入为T.则T2×105·S105·(1S)105·(S1)，从而只要求S的最小值即可(2分)设EAB(0°<<45°)，在ABE中，因为AB1，B90°，所以BEtan，则SABEAB·BEtan，(4分)又DAF45°，同理得SADFtan(45°)，(6分)所以Stantan(45°)tan，(8分)令xtan(0,1)，S (10分) (22)1，当且仅当x1，即x1时取等号(12分)从而三个区域的总投入T的最小值约为×105元(14分)(说明：这里S的最小值也可以用导数来求解：因为S，则由S0，得x1.当x(0，1)时，S<0，S递减；当x(1,1)时，S>0，S递增所以当x1时，S取得最小值1.解法2 设阴影部分面积为S，三个区域的总投入为T.则T2×105·S105·(1S)105·(S1)，从而只要求S的最小值即可(2分)如图，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系设直线AE的方程为ykx(0<k<1)，即ktanEAB，因为EAF45°，所以直线AF的斜率为tan(EAB45°)，从而直线AF方程为yx.(6分)在方程ykx中，令x1，得E(1，k)，所以SEABAB·BEk；在方程yx中，令y1，得F，所以SADFAD·DF·；从而S，k(0,1)(10分)以下同解法一(14分)解法3 设阴影部分面积为S，三个区域的总投入为T.则T2×105·S105·(1S)105·(S1)，从而只要求S的最小值即可(2分)设DAF，BAE(0°<，<45°)，则S(tantan)(4分)因为90°EAF45°，所以tan()1，(8分)所以tantan1tantan12，(10分)即2S1S2，解得S1，即S取得最小值为1，从而三个区域的总投入T的最小值约为×105元(14分)例2、某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量（单位：百千克）与肥料费用（单位：百元）满足如下关系：，且投入的肥料费用不超过5百元此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）百元已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克（即16百元/百千克），且市场需求始终供不应求记该棵水蜜桃树获得的利润为（单位：百元）（1）求利润函数的函数关系式，并写出定义域；（2）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？法二：，由得，故当时，在上单调递增；当时，在上单调递减；故答：当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4300元【变式1】、 某公司生产的某批产品的销售量P万件(生产量与销售量相等)与促销费用x万元满足P(其中0xa，a为正常数)已知生产该批产品还需投入成本6万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为元/件(1) 将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；(2) 当促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？【解析】 (1) 由题意知，yPx6.(3分)将P代入化简得y19x(0xa)(5分)(2) y2222310，当且仅当x2，即x2时，上式取等号(8分)所以当a2时，促销费用投入2万元时，厂家的利润最大；(9分)由y19x，得y，当x<2时，y>0，此时函数y在0,2上单调递增，所以当a<2时，函数y在0，a上单调递增，(11分)所以当xa时，函数有最大值即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大(12分)综上，当a2时，促销费用投入2万元，厂家的利润最大；当a<2时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大(14分) 【变式2】、 某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售Q（万件）与广告费x（万元）之间的函数关系为Q（x0）已知生产此产品的年固定投入为4.5万元，每生产1万件此产品仍需再投入32万元，且能全部销售完若每件销售价定为：“平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的25%”之和 （1） 试将年利润W（万元）表示为年广告费x（万元）的函数； （2） 当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？ 【解析】（1）由题意可得，产品的生产成本为（32Q4.5）万元， 每件销售价为×150%×25%年销售收入为(×150%×25%)·Q(32Q)x年利润W(32Q)x(32Q)x(32Q)x16Qx16·x，(x0) （2）令x1t（t1），则W16·(t1)643t673()t1，24，即W55，当且仅当，即t8时，W有最大值55，此时x7 即当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为55万元【变式3】、 过去的2013年，我国多地区遭遇了雾霾天气，引起口罩热销某品牌口罩原来每只成本为6元，售价为8元，月销售5万只(1) 据市场调查，若售价每提高0.5元，月销售量将相应减少0.2万只，要使月总利润不低于原来的月总利润(月总利润月销售总收入月总成本)，该口罩每只售价最多为多少元？(2) 为提高月总利润，厂家决定下月进行营销策略改革，计划每只售价x(x9)元，并投入(x9)万元作为营销策略改革费用据市场调查，每只售价每提高0.5元，月销售量将相应减少万只，则当每只售价x为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润【解析】 (1) 设每只售价为x元，则月销售量为万只由已知得(x6)(86)×5，(3分)所以x2x0，即2x253x2960.(4分)解得8x.(5分)即每只售价最多为18.5元(6分)(2) 下月的月总利润y·(x6)(x9)(9分) x x .(10分)因为x9，所以2，(12分)当且仅当，即x10，等号成立，所以ymin14.(13分)答：当x10时，下月的月总利润最大，且最大利润为14万元(14分)【变式4】、 某工厂有100名工人接受了生产1000台某产品的总任务，每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成，每个工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置设加工甲型装置的工人有x人，他们加工完甲型装置所需时间为t1小时，其余工人加工完乙型装置所需时间为t2小时设f(x)t1t2.(1) 求f(x)的【解析】式，并写出其定义域； (2) 当x等于多少时，f(x)取得最小值？ 本题分为两个阶段：建模和解模，建模阶段就是用自变量x表示时间t1，t2.解模阶段就是根据(2) 解法1(基本不等式) f(x)1 000()10x(100x)1010(10分)因为1x99，xN*，所以0，0，所以26，(12分)当且仅当，即当x75时取等号(13分)答：当x75时，f(x)取得最小值(14分)解法2(导数) f(x)，令f(x)0得，x75，xN*(10分)当x(0，75)时，f(x)<0；当x(75，100)时，f(x)>0，(13分)故当x75时，f(x)取得最小值(14分) 本题要注意定义域的书写，人只能是正整数个，即xN*.一般地，求解函数【解析】式时，必须给出定义域，否则高考阅卷时会扣分，即便在后面列表中有范围，也没有用16