吉林省长春市第二中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题.docx

高二年级上学期第三次学程考试数学科试卷命题人：孙华一、单选题（本大题共8小题，共40.0分在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 如图，直线的斜率分别为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】直接由斜率的定义判断大小即可.【详解】由斜率的定义知，.故选：D.2. 在等比数列中,，,则等于A. B. C. D. 或【答案】D【解析】【详解】为等比数列，又为两个不等实根，或故选D3. 直线被圆截得的弦长为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由圆的方程可求得圆心和半径，利用垂径定理可求得结果.【详解】由圆的方程知其圆心为，半径；圆心到直线的距离，所求弦长为.故选：B.【点睛】方法点睛：圆的弦长的求法：（1）几何法，设圆的半径为，弦心距为，弦长为，则；（2）代数法，设直线与圆相交于，联立直线与圆的方程，消去得到一个关于的一元二次方程，从而可求出，根据弦长公式，即可得出结果.4. 有位男生，位女生和位老师站在一起照相，要求老师必须站中间，与老师相邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】先排与老师相邻的: ,再排剩下的： ,所以共有 种排法种数，选D.点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题间接法.5. 若双曲线（k为非零常数）的离心率是，则双曲线的虚轴长是（ ）A. 6B. 8C. 12D. 16【答案】B【解析】【分析】根据题意得到，进而根据离心率求出k，而后得到b,最后求出答案.【详解】由题意，则，双曲线的离心率，所以，即虚轴长为8.故选：B.6. 设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ）A. 2B. C. 3D. 【答案】B【解析】【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案.【详解】由题意得，则，即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，不妨设点在轴上方，代入得，所以.故选：B7. 的二项展开式中的常数项为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用二项式的通项公式即可得出【详解】解：二项式的展开式的通项公式为，令，解得：，二项式的展开式中的常数项为.故选：A【点睛】本题考查了二项式的通项公式的应用，属于基础题8. 若等差数列与等差数列的前n项和分别为和，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的性质和求和公式，得到，即可求解.【详解】由等差数列的性质和求和公式，可得故选：C.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分在每小题有多项符合题目要求）9. 若方程所表示的曲线为C，则下面四个说法中错误的是（ ）A. 若，则C为椭圆B. 若C为椭圆，且焦点在y轴上，则C. 曲线C可能是圆D. 若C为双曲线，则【答案】AD【解析】【分析】根据题意依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：对于A选项，当时，曲线为C表示圆，故不正确；对于B选项，当曲线C为焦点在轴上的椭圆时，则，解得，故正确；对于C选项，当时，曲线为C表示圆的方程，故正确；对于D选项，当曲线C为双曲线时，则，解得或，故错误；综上，错误的是AD.故选：AD.【点睛】本题考查椭圆，双曲线的方程，考查运算能力，是基础题.10. 已知是椭圆：上一点，是其左右焦点，则下列选项中正确的是（ ）A. 椭圆焦距为2B. 椭圆的离心率C. D. 的面积的最大值是4【答案】BCD【解析】【分析】根据椭圆的性质同、定义计算出焦距、离心率、焦点三角形面积并判断各选项【详解】由椭圆方程得，所以，焦点为，A错；离心率为，B正确；，C正确；当短轴端点时，的面积的最大，最大值为，D正确故选：BCD11. 若，则（ ）A. 展开式中所有的二项式系数之和为B. 展开式中二项式系数最大的项为第1012项C. D. 【答案】ABC【解析】【分析】利用二项式系数的性质可以判定AB;利用赋值法可以判定CD.【详解】展开式中所有项的二项式系数和为,故A正确；展开式中第1012项的二项式系数为，是所有项的二项式系数中的最大值，故B正确；在二项式展开式中，令可得，故C正确；令可得,故D错误.故选：ABC12. 设数列的前项和为，若存在实数，使得对任意，都有，则称数列为“数列”.则以下结论正确的是（ ）A. 若是等差数列，且，公差，则数列是“数列”B. 若是等比数列，且公比满足，则数列是“数列”C. 若，则数列是“数列”D. 若，则数列是“数列【答案】BC【解析】【分析】写出等差数列的前项和结合“数列”的定义判断A；写出等比数列的前项和结合“数列”的定义判断B；利用裂项相消法求和判断C；当无限增大时，也无限增大判断D【详解】在A中，若是等差数列，且，公差，则，当无限增大时，也无限增大，所以数列不是“数列”，故A错误.在B中，因为是等比数列，且公比满足，所以，所以数列是“数列”，故B正确.在C中，因为，所以.所以数列是“数列”，故C正确.在D中，因为，所以，当无限增大时，也无限增大，所以数列不是“数列”，故D错误.故选：BC.【点睛】方法点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 有名男演员和名女演员，演出的出场顺序要求名女演员之间恰有名男演员，则不同的出场顺序共_种【答案】36【解析】【分析】本道题目是一个排列问题，先将2名女生和1名男生捆绑，然后排列，在作为一个整体参与全排，即可【详解】采用捆绑法，将2名女演员和1名男演员捆绑有，然后在全排，有， 共有36种方法【点睛】本道题目考查的是排列问题，可以采取捆绑法进行解答14. 若直线：与直线：平行，则直线与之间距离为_【答案】【解析】【分析】先根据直线与平行求出参数，再由两平行直线间的距离公式可得答案.【详解】直线与平行，解得，直线：，直线：，直线与之间的距离故答案为：15. ，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得 _【答案】2020【解析】【分析】先证得，利用倒序相加法求得表达式的值.【详解】解：由题意可知，令S=则S=两式相加得，故填：【点睛】本题考查借助倒序相加求函数值的和，属于中档题，解题关键是找到的规律16. 在平面上给定相异两点A，B，设P点在同一平面上且满足，当且时，P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆，现有双曲线（，），A，B为双曲线的左、右顶点，C，D为双曲线的虚轴端点，动点P满足，面积的最大值为，面积的最小值为4，则双曲线的离心率为_.【答案】【解析】【分析】根据为双曲线的左、右顶点可设,由两点间距离公式并化简可得动点的轨迹方程.由为双曲线的左、右顶点可知当位于圆的最高点时的面积最大,根据面积最大值求得.当位于圆的最左端时的面积最小,结合最小面积可求得,即可求得双曲线的离心率.【详解】设,依题意,得,即,两边平方化简得,则圆心为,半径,当位于圆的最高点时的面积最大,最大面积为,解得；当位于圆的最左端时的面积最小,最小面积为,解得,故双曲线的离心率为.故答案为: 【点睛】本题考查了两点间距离公式的应用,轨迹方程的求法,圆与双曲线的综合应用,双曲线离心率的求法,属于中档题.四、解答题（本大题共5小题，共70.0分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知展开式的二项式系数之和为（1）求；（2）若展开式中常数项为，求的值；【答案】（1）8 （2）【解析】【分析】（1）根据二项式系数之和为，可得值；（2）根据二项式通项得到，从而得到，即可得到答案.【小问1详解】展开式的二项式系数之和为，解得【小问2详解】的通项公式：令，解得，则解得18. 已知等差数列的前项和为，（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据公式可求得（2）结合（1）得，再根据裂项相消法求数列的和【小问1详解】解：因为，当时，当时，又也适合上式 所以【小问2详解】解：由（1）知所以，所以，19. 如图所示，长方形中，点是边的中点，将沿翻折到，连结，得到图的四棱锥（1）求四棱锥的体积的最大值；（2）若棱的中点为，求的长；（3）设的大小为，若，求平面和平面夹角的余弦值【答案】（1） （2） （3）【解析】【分析】（1）作出辅助线，得到当平面平面时，点到平面的距离最大，四棱锥的体积取得最大值，求出，从而得到体积最大值；（2）作出辅助线，证明出四边形为平行四边形，从而得到即可得所求值；（3）作出辅助线，得到为的平面角，即，建立空间直角坐标系，求解平面和平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式得即可.【小问1详解】解：取的中点，连接，因为，则，当平面平面时，点到平面的距离最大，四棱锥的体积取得最大值，此时平面，且，底面为梯形，面积为，则四棱锥的体积最大值为；【小问2详解】解：取中点，连接，则因为为中点，所以为的中位线，所以且，因为为的中点，四边形为矩形，所以且，所以且，故四边形为平行四边形，所以；【小问3详解】连接，过作于点，由题意得平面，因为，所以，所以为的平面角，即，所以，过点作平面，以为坐标原点，分别以，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则,0,，,1,，,2,，,2,，设平面的法向量为，又，则，令，则，设平面的法向量为,，又因为，则，令，可得：，设两平面夹角为，则所以平面和平面夹角余弦值为.20. 已知点在抛物线上，且点的纵坐标为1，点到抛物线焦点的距离为2（1）求抛物线的方程；（2）若抛物线的准线与轴的交点为，过抛物线焦点的直线与抛物线交于，且，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由抛物线定义，点到抛物线焦点的距离为2，故，可得解（2）可转化为，代入坐标可得，即，可得解【详解】（1）设，由抛物线定义，点到抛物线焦点的距离为2故 故抛物线的方程为：；（2）抛物线的焦点为，准线方程为，；设，直线的方程为，代入抛物线方程可得，由，可得，又，即，把代入得，则.【点睛】本题考查了直线和抛物线综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题21. 已知数列满足，设.（1）证明：为等差数列；（2）求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据等差数列的定义，证明为常数，即可得到答案；（2）求出数列的通项公式，再利用错位相减法求和；【详解】（1），为等差数列；（2），得：，22. 已知椭圆：，为左焦点，为上顶点，为右顶点，若，抛物线的顶点在坐标原点，焦点为.（1）求的标准方程；（2）是否存在过点的直线，与和的交点分别是，和，使得？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在，或.【解析】【分析】（1）由可得，进而求得，即可得答案；（2）由题可知的方程为，假设存在符合题意的直线，设该直线为，利用韦达定理、面积关系，即可得答案；【详解】（1）因为所以，由右顶点得，所以的标准方程为.（2）存在，由题可知的方程为，假设存在符合题意的直线，设该直线为，联立得，则联立得，所以若，则，解得，所以符合题意的直线为或.【点睛】本题考查椭圆的标准方程、椭圆中的定直线，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意韦达定理的运用.