2023年新高考数学名校地市选填压轴题好题汇编（十）（解析版）.pdf

2023年新高考数学名校地市选填压轴题好题汇编（十）一、单选题1.（2021 湖南师大附中高三阶段练习）祖原理也称祖氏原理，是我国数学家祖唯提出的一个求积的著名命题：“基势既同，则积不容异，“幕”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的立体，如在等高处截面积相等，则体积相等.满足Y/s 1 6的点*,），）组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为匕，由曲线f-y 2=6,y =x,y =4围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为匕，则匕、匕满足以下哪个关 系 式（）12A.V,=-V2 B.V,=-V2 C.乂 =2匕 D.匕=匕【答案】B【分析】作出曲线在第一想象内的图象进行分析：当双曲线方程为：x2-/=2,高度为人 时，双曲线与渐近线旋转一周所形成的图形是圆环，计算可得圆环的面积5 =万/为 定值，进而由由祖晒原理知等轴双曲线与渐近线绕y轴旋转一周所形成的几何体体积匕，与底面半径为。，高为2 a的圆柱体体积一致，而满足工 +/41 6的点（x,y）组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体为球体，体积为K ,通过分析计算可得乂 ，匕=%,进而可得乂=：匕，从而得解.【详解】如图可知：当双曲线方程为：x2-y2=a2,高度为时，双曲线与渐近线旋转一周所形成的图形是圆环，其中小圆环的半径/即是3所以小圆面积为：5,=7t h2,而大圆半径R可以由：尺2 _力2=/求出，即：我 二 行77,所以大圆的面积为：S=n R）=%（五2 +所以圆环的面积为：S =S2-St=a2,为定值,所以山祖唯原理知等轴双曲线与渐近线绕y轴旋转一周所形成的几何体体积匕,与底面半径为。，高为2a的圆柱体体 积 七 一致,4 2 2而球体体积匕=rra1-2a-=V ,2 2所以匕=%,=-Vf t=-V2.故选：B.2.（2021湖南师大附中高三阶段练习）在平面四边形ABC中，已知AABC的面积是ACD的面积的3倍.若存在正实数%丁使 得 近=1-3通+1 而 成立，则之十，的 值 为（）y）x yA.10B.9C.8 D.7【答案】A【分析】连接B O,设AC与8。交于点。，过点B作BELAC于点E,过点。作。尸，AC与点F,由面积比得3DF =B E,再利用A。,C三点共线可得出x,y的关系，从而可求解.【详解】如图，连接8 0，设AC与8。交于点。，过点B作BE_LAC于点E,过点。作AC与点尸.若A4CB的面积是 A D C的面积的3位，则3DF =B E.根据相似三角形的性质可知，3丽=丽，所以3（D A +4 O）=OA +A B ,所以 AO、A 8 +AD设 而=2 而=（福+甘 而.因 为*=（_ 3 1 通而，所以（1 =31一 3 ，所以。+，=1 0.I y j U J x y故选：A.3.（2 0 2 1 山西太原高二阶段练习）己知抛物线y 2=2 p x（p 0）上一点（2,m）到焦点的距离为3,准线为/,若/与双曲线C：J=l（a 0,b 0）的两条渐近线所围成的三角形面积为拒，则双曲线C的离心率为（）A.3 B.7 6 C.y/3 D.渔2【答案】C【分析】先由已知结合抛物线的定义求出。=2,从而可得抛物线的准线方程，则可求出准线/与两条渐近线的交点分别为人（-1,勺,8（-1,-4,然后由题意可得S v=g|4B|J =2 =正，进而可求出双曲线的离心率 a）a）2 a【详解】依题意，抛物线V=2 p x（p 0）准线=由抛物线定义知2-（一=3,解得。=2,则准线/：x =l,双曲线C的两条渐近线为y =x,于 是 得 准 线/与 两 条 渐 近 线 的 交 点 分 别 为 原 点为 O,则 AOB 面积 5A Ofl=y|A B|-l =|=/2,双曲线C的半焦距为c,离心率为e,则有e 2=1=l+斗=3,解得e =x/La a 故选：C4.（20 2卜湖南 沅江市第一中学高三阶段练习）若不等式四-111+11120 恒成立,则。的取值范围是（）A.：,+8）B.I，+o o C.|+8）D.e,+o o）【答案】A【分析】依题意可得el n a+v+l n +x.l n A-+A-=e n,+In x 恒成立，构造函数g(x)=e +x,利用导数说明函数的单调性,则原不等式等价Tg(l n a+x).g(hw)恒成立，即In a.In x-x 恒成立，设(x)=h u-x,利用导数说明函数的单调性与最大值，即可求出参数。的取值范围.【详解】解：不等式a e*-l n x+l n a.0 恒成立，即e+l n 4 +x.】r i r+x =e h+l a r 恒成立.构造函数g(x)=e*+x,可得g (x)=e*+l 0,所以g(x)在定义域上单调递增，则不等式a e，-l n x +In a.0 恒成立等价于g(na+x).g(hi r)恒成立，即In a +x.l o r 恒成立，进而转化为hi a.l n x-x 恒成立，设力(x)=l n x-x,可得=J,当O v%v l 时,(x)O,(x)单调递增；当 1 时,“(x)正|明.球的半径|M N|4x g =沙的秣知V 4加N 4-1 1 4岳.球的体积丫=丁 =7*3.存=亍.故选：B.6.（20 21广东广州高三阶段练习）已知直线4：尔 丫-3机+1=0与直线 x+”一3 m 1=0相交于点P,线 段 是 圆C：（x+l+（y +l=4的一条动弦，且|阴=2技 则 陷+网 的 最 小 值 为（）A.4&B.4 72-2C.2 0-1 D.40-1【答案】B【分析】由已知得到4,4，4过定点（3,1）,4过定点（1，3），从而得到点尸轨迹为圆己-2）2+（y -2）2=2,设圆心为M,半径为弓，取A8的中点。，连接8,求得。=1,设圆C的半径为4,求得|而|的最小值，再由|向+丽|=2|而|得答案.【详解】解:圆C半径 =2,圆心C（1,1）,直线4 :田一）,一3加+1 =0与4 :x+m y-3m-=0垂直,又4过定点尸（3,1）,4过定点6（1，3）,点轨迹是以尸。为直径的圆，方程为（x-2 +（y-2）2=2,圆心M（2,2）,半径“=也,取A B的中点O,连接CD,由|A B|=2 6,则=pll|PA+PB|=|PD+DA+PD+DB|=2|PD|,|P D|=CM-r2=3y/2-l-y/2=2-j2-l,.,I丽+而I的最小值为4 0-2.故选：B.7.（20 21广东广州高三阶段练习）已知三棱锥P-A B C的顶点都在球。的球面上，AABC是边长为2的等边三角形，球。的 表 面 积 为 则 三 棱 锥 尸-A B C的体积的最大值为（）A.2石 B.毡 C,谑 D.递3 3 9【答案】B【分析】先求出球的半径，再由几何关系结合勾股定理得出点P到平面A B C的距离，最后由体积公式得出三棱锥P-MC的体积的最大值.【详解】设球的半径为R，则三灯=4%齐,/?=要使得三棱锥P-A B C的体积的最大，需尸在过AABC中心的垂直于平面A B C的线上设点。到平面A B C的距离为h，a A B C 中心到点A的距离为d =友3Q A o此时（；1-/?）2+/=/?2,即力 _ 2 呜=0,解得/?=（或=2即三棱锥尸-A B C 的体积的最大值为L x（k 2x 2x s i n 6（）o x 2=2 3（2）3故选：B8.（20 21 广东汕头高三期末）已知函数，*）=/+/+（”_ 3）犬+1 在区间（0,1）上有最小值，则实数。的取值范围是（）A.（-e,2）B.（-e,l-e）C.（1,2）D.（-o o,l-e）【答案】A【分析】f（x）在（0,1）上 递增，根据 x）在（0,1）上一有最小值，可知f（x）有极小值点，也即最小值点，由此列不等式来求得。的取值范围.【详解】./（X）=/+3x?+（。-3）在区间（0,1）上单调递增，由题意只需1 7（0）0 f a-20V/川 -e a 2,/（1）0 e+a 0这时存在ae（0,D,使得存x）在区间（0,%）上单调递减,在区间1 ,1）上单调递增，即函数在在区间（0,1）上有极小值也即是最小值.所以。的取值范围是（-e,2）.故选：A9.（20 21 广东高三阶段练习）已知函数，。）=4 而（5 +9）（。0,0 夕乃）为偶函数，在（）,（）单调递减，且在该区间上没有零点，则。的取值范围为（）飞c ，3 一 3 5 1 （、3A,2 B.1,C.D.0,_ 2 J L 2j|_ 2 2j I 2.【答案】D【分析】根据题意先求出夕并将函数化简，进而根据函数在0,5）单调递减，且在该区间上没有零点，列出关于。的不等式，最后解得答案.【详解】因为函数为偶函数，且 在 单 调 递 减，所以e=g +公(Z w Z),而0 0),函 数 在 0,彳 单调递减，且在该区间上没有零点，所以O 0),f =l +i 0,即函数在(0,+8)上单调递增，易得feR,于是问题等价于函数g(f)=e -2af 在 R 上有两个零点，g(t)=e -2a,若“V 0,则g (f)(),函数g(f)在 R上单调递增，至多有1 个零点，不合题意，舍去；若a 0,则x e(Y o,l n 2a)H,g,(r)0,g 单调递增.因为函数g(。在 R上有两个零点，所以g(/)m in =g(ln 2a)=2a(l-ln 2a)a ,而 g(0)=l 0,限定f l ,记/(f)=e T,O(t)=e T 0,即0 0 在(1,m)上单调递增,于是/2 2(p(t)=ez-r (l)=e-l O=ez r,则，2 时,-=ef ,止 匕 时 g(r)-2a t =(t-8a),因为所以8 a 4 e l,于是r 8 a时，g(，)0.综上：当。|时，有两个交点，。的最小整数值为2.故选：C.【点睛】本题有一定难度，0 时，用到了 e r (需证明)，进而得到e?,这种处理方法非常普遍，注意归纳总结.s in ,O ijt 211.(2021广东华南师大附中模拟预测)已知函数 x)=2_ _ _ _ _ _ _ _，若函数g(x)=/(x)-履-1-J-x?+6 x 8,2 x,4恰有三个零点，则实数4 的取值范围为()3 1 +y 2=i相切，且切点位于第三象限时以及直线y =H+l过点(4,0)时，对应的左值，数形结合可得出实数左的取值范围.【详解】解：当2Vx /-?+6 x-8(2 =依+1 过定点尸(0，1),当直线y =H+l过点4 4,0)时，则 以+1=0,可得斤=一；当直线y =H+l与圆(-3)2 +丁=1 相切，且切点位于第三象限时，k0.13攵 +11 i 3此时i=，解得女=一丁.lk2+43 1山图象可知，当时，直线y=+i 与曲线y=/(x)的图象有三个不同交点.4 4因此，实数左取值范围是.I 4 4故选：B.【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数，同时也考查了直线与圆的位置关系以及正弦型函数图象的应用，考查数形结合思想的应用，属于难题.12.(2021广东执信中学高三期中)已知函数若3=lo g/=c,则A.f a)f b)f c)B.f(h)f(c)f(a)C./()/(c)/(ft)D.【答案】C【分析】由题，先求得函数x)在3)上单调递增，再由3=log36=c 判断出a c0可知f(x)在(a,+x)上单调递增：作出产c 与 =3*,y=log,x,y=x 的图象，3=log,h =c,可得 acb,故 f(a)f(c)/2 +1 6-B.1 6V 2-2 2C.1 6/2+8-D.1 6-72+1 6【答案】A【分析】根据正八边形分割成8个全等的等腰三角形，顶角 为 弛 =4 5,设等腰三角形的腰长为。，8得。的值，求得三角形的面积S,进而求得每块八卦田的面积.【详解】由图可知，正八边形分割成8个全等的等腰三角形，顶角 为 弛=4 5,8设等腰三角形的腰长为。，a 8-=-L由正弦定理可得.1 35 s i n 4 5，解得a =8&s i n，-,s m-y-2所以三角形的面积为S =；(8 /2 s i n 蜉T -s i n 4 5。=32&xI二与 陷 =&+),则每块八卦田的面积为1 6(0 +1)-：万x 2=1 6 夜+1 6-g(m2).8 2故选：A.1 4.(2 0 2 1 山东滕州市第一中学新校高三阶段练习)已知事，%2,七(当 0,构造函数g(x)=e-2x2+X =e+知 0,利用导数即可求解.【详解】解：显然f(0)=0,即工 2=0,设/(%)=。，则/(-%)=-%(/*+1)+?(/%-1)=-x0(l +e 0)+w(l -eX a)=-e f(xo)=O所以W =-占 0,所以g($)=e -2+*3，X 3 0,因为g a)=-e f+l 0 恒成立,所以y =g(w)在(o，y)上单调递增，所以 g(w)g(o)=i,故选：A.15.(2021 山东滕州市第一中学新校高三阶段练习)众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图如图是放在平面直角坐标系中的“太极图.整个图形是一个圆形/+丁=4.其中黑色阴影区域在y 轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题：-23当a=-5时，直线y =o x+为与白色部分有公共点；黑色阴影部分(包括黑白交界处)中一点(x,y),则x+y 的最大值为近+i：若点P(0,l),M N 为圆x2+y 2=4 过点尸的直径，线段A 8是圆V+y 2=4 所有过点尸的弦中最短的弦，则(布7-丽)丽的值为12.其中所有正确结论的序号是()A.B.C.D.【答案】C【分析】计算直线与圆的位置关系以及数形结合可判断的正误；利用点到直线的距离公式以及数形结合可判断的正误；求出点A、8、M、N 的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可判断的正误.【详解】对于：当。=-13 时，直线的方程为=一131 3,即3 x+2y +6 =0,圆心(0,0)到直线3 x+2y+6 =0 的距离为=8叵 1，V 32+22 13如图所示，故错误;对于，黑色阴影部分小圆的方程为V+(y-l =1,设z=x+y,如下图所示:当直线Z=X+y 与圆V+(y 1)2=1 相切时，Z取得最大值,且圆V+(y-l)2=l 的圆心坐标为Q 1),半径为1,可 得 号=1，解得Z=1 0，由图可知，z 0,故z 的最大值为&+1，故正确；对于，山于M N是圆V+V=4中过点P(0,D的直径，则M、N为圆f +V=4与y 轴的两个交点，可设 M(0,2)、N(0,-2),如图所示，当A B,y 轴时，|A B|取最小值,则宜线A8的方程为y =i,可设点A(-百，1),B(石，1),所 以 说=(百，1),前=(-6,-3),A B =(2 /3 ,0),所 以 丽-丽=(2 6,4),所以（丽？-丽）.通=12,故正确；故选：C.16.（2021 广东高三阶段练习）已知异面直线“、b 所成的角为6 0 1 其 公 垂 线 段 的 长 度 为 2,长度为4的线段PQ的两端点分别在直线。、6 上运动，则 尸。中点的轨迹为（）（注：公垂线段指与异面直线垂直且相交的线段）A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线【答案】C【分析】不妨设M w a,N eh,设线段MN的中点为。，过点。分别作直线a 7/a,作直线加 。，以点。为坐标原点，直线、所成角的角平分线所在直线作无轴，直 线 所 在 直 线 为 z轴建立空间直角坐标系，设点。（瓦可得出3（/机）2+0+机）2 =1 2,设线段PQ 的中点为E（x,y,z）,利用中点坐标公式和相关点法可求得点E的轨迹方程，即可得解.【详解】不妨设M e a,N eb,设线段MV的中点为。，过点。分别作直线a/a,作直线6 6,以点。为坐标原点，直线、所成角的角平分线所在直线作x 轴，直线MN所在直线为z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则 M（0,0,1）、N（0,0,l）,设点尸e（x/3m,m,l）,PQ=/（i _ m）2+（/+日）+4=4,可得3（，一?）+（f+?）=12,A 一2yiq-f设线段P。的中点为E（x,%z）,贝 1 y=亍，可得，z=0所以，3（f-m）2+（f+机）=12y?12,即、+y2=l.因此，线段PQ的中点的轨迹为椭圆.m+t=j=百m-t=2y,z=0故选：C.17.（2021 广东高三阶段练习）记数列 叫的前“项和为S“，q=2,a+1-tze 1,3,5）,S,=1 0 0,则/可以等于()A.8 B.9 C.11 D.12【答案】A【分析】分别讨论。用-%为 1,3,5 的情况，根据等差数列前项和公式即可求解.【详解】若4向一/=1 时，/=2+(-l)x l=+l,(2+1)(+3)S,=-=-,“2 2令&=1 0 0,则 坟 型=100=2 +3左-200=0,方程不存在正整数解；2。+1 =3 时，an=2+(n-l)x 3 =3/t-l,/I(3H 1 +2)(3/t+l)Sn=-=-,“2 2令 品=100,贝 1|1 1 1 =100=3/+一 200=0=(3&+25)仕-8)=0 0%=8或 =-,，人8 满足题意；当4+i=5时，q,=2+(“-l)x 5 =5-3,(2+5 -3)n(5n-l)二.S.t=,”2 2令1=1()0,则M S iLo o-Z-y o o s 方程不存在正整数解；2/能取8.故选：A .1 8.(2 0 2 1 广东华南师大附中高三阶段练习)设函数，(力=6/.，-3 公+为(e为自然对数的底数)，当xe R 时/(x)之()恒成立，则实数。的最大值为()A.eB.2eC.4 eD.6e【答案】D【分析】当xe R 时/X x).O 恒成立，可得”(3 2),6/好，分类讨论，再分参，构造函数，利用导数求出函数最值,即可求出.【详解】解：彼*-a x+a e 为自然对数的底数)，当xe R 时/(戏.0 恒成立，a(3x-2)6x2rk,2 A v2%1当3x 2 0 时，即时，o,3 3x-2,、6X2V 2设g(x)=7 xG 3x-2 J,、,(2xex+x2e)(3x-2)-3x2ex/xe 3x2+x-4)/J 3x+4)(x-l)g(x)=6x-=6x -r-=6xe T-,(3x-2)2(3x-2)2(3尤-2产令g，(x)=O,解得x =l,2.当1)时，g，(x)0,函数g(x)单调递增，g(x),“R=g(1)=6e,/.a,6e,2 G x-V当3x 2 0 时，即x 一时，”_ 土，3 3x-2由 g x)=6x e?(3x+4)(x”(3x-2)24令g(x)=。，解得x =O 或%=一1，4当=尤 0,函数g(x)单调性递增，4 2当或0 x 0恒成立,综上所述的取值范围为 0,6e ,故最大值为6e,故选：D.二、多选题2 21 9.（2021 全国高二单元测试）设用，心同时为椭圆G：+*=1（8 0）与双曲线2 2：-=1（4 0,仇0）的左右焦点，设椭圆G与双曲线C?在第一象限内交于点M，椭圆G与双曲线C?的离心率分别为4,02，。为坐标原点，若（）A.|耳国=2|图，贝l J 4 +4-血e e2B.忻 闾=2|凶，则 二+下=2e e2c.用 用=呻 阳，则%的 取 值 范 围 是（I，I）D.忻用|=4|咋|,则 的 取 值 范 围 是（|,2）【答案】B D【分析】先设|町|=八|叫=，焦距为2的根据椭圆与双曲线的定义，求出帆=。+4,”=”-；当忸周=2|M O|,得N 历 出=9 0。，进而可判断B正确，A错：当国闾=4|M用 时，得到推出空2=务，利用换元法，结合函数单调性，即可判断D正确，C错.【详解】如图，M Ft=m,M F2=n,焦距为2 c,山椭圆定义可得m+=2a ,由双曲线定义可得，=,解得m =a +ax,=a 4 ,当忻闾=2|M O|时，贝 I 耳 酩=90，所以加2+“2=4/,E R a2+a-=2c2,由离心率的公式可得4+3 =2,故B正确.q 4.1 1 1 1 1当忻6|=4|昨|时，可得=g c,即。一 4二彳以可得-=-,2 2 C 4 z由 可得，1,可得，:，即 l e,2,则 的2=，q e2 2 2+e2可设2+.=3 /，所以直四棱柱ABC。-A E G R 为正方体，结合正方体的结构特征可知A_1平面4 8。，选项D 正确.故选：BD【点睛】本题主要考查离散曲率，考查考生的创新能力、逻辑思维能力、运算求解能力、空间想象能力.试题结合新定义离散曲率命制立体几何试题，角度新颖，要求考生充分理解离散曲率的定义，结合立体几何的结构特征求解，体现了数学探素、理性思维学科素养.21.(2021福建省龙岩第一中学高一阶段练习)设函数 x)=2sin(5 +9)-l(0 0,0 4 e q)的最小正周期为4 万,且“X）在 0,5 句 内恰有3个零点，则（）A.f（x）的图象可能关于直线x =看 对 称B.8的取值范围是0,1 u5 乃71C.5 万 T T/（X）在 上 不 可 能 是 单 调 函 数9的取值范围是0，J uOD.71 H【答案】A D【分析】根据周期求出0 =g,结合。的范围及x w 0,5 可，得 到 与 4夕+苧 4 3），把e +日 看 做一个整体，研究y =s i n X-；在 0,3 句的零点，结合/（x）的零点个数，最终列出关于。的不等式组，求得。的取值范围，然后由三角函数的性质判断选项.【详解】因为7 =改O）=4 T,所以 0 =5.由 f(x)=0,m -x+(p =.22当工 0,5 句时，+夕 夕,夕+5 7 1T，又所以 4*+43万.因为y =s in x-g,在 0,3句 上的零点为和 普孚，学，且/（X）在 0,5 句 内恰有3 个零点,O O所以7 113万，5 乃17兀-6 9 +0,b 0）的左、右焦点，点 P 在双曲线右支上，则下列结论正确的有（)A.若归。=|尸闾，则双曲线的离心率e N 2B.若VP OE是面积为石的正三角形，则从=2 后C.若右为双曲线的右顶点，尸=轴,则怩阕=后月D.若射线用P与双曲线的一条渐近线交于点0,则|Q用-|Q司 2【答案】A B【分析】对选项A,由题意列式得之。，即可求得e 2 2；时选项B,利用等边三角形的性质求解得c=2,a =6-1,即可得从=2 6；对选项c,可得E 4|=C-“MP|=J,即可判断后4 B怩4 对选项D,举出反例即可判断.【详解】由题意，对于选项A,因为1Po l =|闾，所以06的中垂线x=|与双曲线有交点，即有|z a,解得e 22,故选项A正确:对于选项B,因为|尸闾=|。闾=|。耳|=c=2,解得|P周=2百，所 以 忸 用 T 尸 闻=1,所以=c2-a?=2 6，故选项B正确；对于选项C,山题意可 得 怩 闵=。-”,怩4=显然不等，故选项C错误；对于选项D,若P为右顶点时，则。为坐标原点，此时怛周一依闾|=0 o,使得g（x）在5,%+0）上有且仅有2个零点D.存在”-丝，使得g（x）在 工 与 上 单 调 递 减【答案】B D【分析】化简函数7 1(xQS s in Qx+e),根据任意x e R,/(x)/(),得到看是函数/的最小值点，可判定A不TT正确；由函数f(x)的最小正周期为7=万，得 到 为 函 数/(X)的最大值点，可判定B正确；由区间(xo,xo+)/(x)/(x0),即%是函数/(x)的最小值点,所以函数/(X)关于X =X 0对称，所以/(X +X o)=f(-X +X o)H/(X-X o),所以A不正确：由函数f(x)=5s i n(2x+e)的最小正周期为7=g =7，所以跖+为函数 2 的最大值点，所以/(x)4/(%+,所以 B 正确；因为/(修)0,月是函数/(x)的最小值点，可得/(%+?)=0,所以在区间(%,与+?)上 可 0,使得g(x)在(%,%+。)上有且仅有2 个零点，所以C错误；取。=-(，则在(%-卷,%-7)内，单调递减且 x)0,所以g(x)=2/(x)单调递减，所以D 正确.故选：B D.【点睛】解答三角函数的图象与性质的基本方法；1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为了=4$指(以+夕)的形式；2、熟练应用三角函数的图象廿性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质(如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等)，进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.24.(2021 重庆南开中学高三阶段练习)已知图1 中，正方形EFG”的边长为2夜，/、B、C、。是各边的中点，分别沿着AB、B C、CD,Z M把AABE、ABCG、C D”、向上折起，使得每个三角形所在的平面都与平面A8C垂直，再顺次连接EF6”,得到一个如图2 所示的多面体，则（)H图1图2A.平面AEF_L平面CG”B.直线A F与直线CG所成的角为60。C.多面体ABCD-EFG/的 体 积 为 丝 注3D.直线CG与平面AEF所成角的正切值为近【答案】BD【分析】建立空间直角坐标系，结合向量法、割补法对选项进行分析，由此确定正确选项.【详解】取 8、的中点。、M,连接。及、O M,如图，：/、B、C、。是正方形瓦GH各边的中点，W O C H =D H ,为C的中点，/.OHA.CD,平面CEWJ平面A 5 C D,平面C“n 平面A B 8 =C,QHu平面CO”,/.OH J 平 面 ABC。，四边形A8CD是边长为2 的正方形，,：O.M 分别为8、AB的中点，则 OC AW 且OC=8 M,且NOC8=90。，所以四边形OCB例为矩形，所以以点。为坐标原点，O M、O C、O H 所在直线分别为X、八 z 轴建立空间直角坐标系，则 A(2,-1,0)、3(2,1,0)、C(0,l,0)Q(0,1,0)、E(l,-1,1)、F(2,0,l)、(0,0,1).选项A,设平面用 的 一 个法向量为正=(x，x，z j,通=(-1,0,1),通=(0,1,1),m -AE=-%+Z=0m -AF=y +Z=0，取 4 =1,则 X =1,%=T ,则记=(1,-1,1).设平面 C G H 的一个法向量为 A =(马,%,z?),而=(1,0,l),函 =(0,-1,1),由1n-CG=x,+z,=0 _ _ _ _._ ，取Z?=-1,可得X?=l,必=-l,则 =(1,T-1).n C H =-y2+z2=0w n=l2+(-l)2-l x l =1 0,所以，平面AE F与平面C G不垂直，故A错误；选项 B,A F =(0,1,1),C G =(1,0,1),c os A F,C G =.直线 A尸与 C G 所成的角为60。，故 B 正确；选项C,以AB CO为底面，以|0H|为高将几何体A B C D E F G”补成长方体ABCD-ABCa,则E、尸、G、分别为AR、4旦、B、G R的中点,因为 A 8 =2,O =1,长方体 A8CO-AM G Q 的体积为V =2?x l =4 ,匕=QSA A EF-A A|=q X g Xx 1 =a ,因此，多面体 A 8 C O-ET7G/的体积为ABCD-EFGH=V-4%Y E F=4 -4X：=，故 C 错误；选项D,c os(函，扃=CG =2 渔,设直线CG与平面4砂 所 成角为。，则/C G tn V 2XV 3 3s in 0=,c os 0=V l-s in2 0=,所以，t a n0=Sn=41,故 D 止:确.3 3 c os。故选：B D25.（2021 湖南沅江市第一中学高三阶段练习）在棱长为2 的正方体山C Q i中，E 是棱。的中点，厂在侧面C D 9G 上运动，且满足囱F平面4 2 E.以下命题正确的有（）BCA.点尸的轨迹长度为应B.直 线 与 直 线 8 c 所成角可能为45C.平面小8E 与平面CDDxCy所成锐二面角的正切值为2aD.过点E,F,力的平面截正方体所得的截面面积最大为2 c【答案】ACD【分析】取 CG和G R 的 中 点 分 别 为,即 可 证 明 平 面 平 面 A B E,从而得到点月在线段M N I：,即可判断 A；由4 C J/B C,则N C F 即为异面直线所成的角，再利用锐角三角函数计算即可判断B；找出二面角的平面角，利用锐角三角函数计算即可判断C；当F 为G E与M N的交点时过点E,F,A 的平面截正方体所得的截面面积最大，求出最大截面面积，即可判断D：【详解】解：对于A：取CG 和 CQ 的中点分别为M M ,连接与则M N/CDl/BAl,BlN/AtE,BlN nMN =N,BAlry AlE=At,4 N,何Nu 平面 AN,B A，AE u 平面 4 B E ,所以平面gM N平面A8E,因为尸在侧面CDQ G 上运动，且满足与尸平面A8E,所以点尸在线段M NH.故点尸运动的轨迹长度为：MN =；C D、=近,故选项A正确；对于8：因为4 G/B C.所以BF 与宜线Bg所 成 角 即 为 与 直 线 BC所成角，则 即 为 异 面 宜 线所成的角，在中，t a n/GB/=若，因为正方体的棱长为2,在放 6 耳尸中，t a n/C e F=5 =G F,若所成的角为4 5。，则C7 =2,而C最大为RM =G N=1,矛盾，所以所成角不可能为4 5 ,故选项B不正确；对于C因为面片M N 面A8E,所以平面A3 E 与平血.。百所锐二面角，即为平面B M N与平面C D D 所成锐二面角，因为面耳M N 0 面C D D G=MN,B1M =B、N =4,C、M=C、N =1,当尸为线段 M N 的中点，可得&F L M N,q F L MN ,所以N 8/G 即为二面角的平面角，且C、F =；MN =与,Bi=2,士,t a n/BF Q=蛆=2=2亚=十，所以 C,F V 2，故选项C正确；T对于D：当 为G E 与M N的交点时过点旦2 A的平面截正方体所得的截面面积最大，取 B 4的中点产，CtE/AP,ClE=AP,则截面 A P G E 为菱形，A C =2&P E =2 0 ,其面积为-AC,-P=-X2V3X2/2=2V6故选项 D 正确，2 2故选：ACD.26.（2021 湖南雅礼中学高三阶段练习）高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数为：设x e R,用 另表示不超过x 的最大整数，则旷=区称为高斯函数，例如-2.1=-3,2.1=2.己知函数/(司=丽才+卜皿目，函 数 g(x)=f (初|，则()1 1A.函数g(x)的值域是0,1,2 B.函数g(x)是周期函数C.函数g(x)的图象关于x 对称 D.方程，g(x)=x N 有一个实数根【答案】AD【分析】先研究函数x)的奇偶性，作出函数f(x)的图象，作出函数g(x)的图象判断选项ABC的正确性，再分类讨论 判 断 方 程 g(x)=x 的根的个数得解.【详解】由题得函数“X)=sin凶+|sin可的定义域为R,/(-x)=s i n+卜 in(-x)|=sin|x|+|sinx|=f(x),所以函数/(x)为偶函数，当 0 x%时、/(x)=sin x+sin x=2snx；当乃 BB,进而判断；对于B选项，由题知，在AA B B，中，BB =3,s i n/A 8*=85,4 9 8 =12 0,进而结合正弦定理解三角形判断；对于C选项，不妨设14AB=2A B =Z A Af=x9进而由余弦定理得4 4,=x =避二1,所以人夕=苴IsU=避二二 再计算比值2 2 2即可判断;对于 D 选项,由题知 SAABB、=2 sA W C,，进而 S&J B C=3 s A g p,+S&e B.c 1 1 7 s w c,.【详解】解：对于A选项，根据题意，图2,它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形A 8 C 拼成的一个大等边三角形A8C,故=所以这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形，故A选项正确;对于B选项，由题知，在“B B，中,c piBB =3,s i n/A 8 8 =,ZAB B=20 所以14s i n N 8 A B，=s i n(6 0 -N A B B)=当所以由正弦定理得_ B B _s i n/B A B，ABs i n ZA B S解得A 3 =5,因为BBr=AA =3f所以A5 =2,故B选项正确;对于C选项，不妨设A 3 =24=2,A4=x,所以在 A B B中，由余弦定理得|A 用+怛8-2 M 8 忸8 c os ZA 8,8,代入数据得A A，=x =,所以AB=AA+AB=1 +J =J-,BB=AA=J-,所 以 组=总，故 C 选项错误；2 2 2 BB V5-1对于 D 选项，若 A 是 A B 的中点，则 班.=；8 B -A B s i nl 2 0 0 =g C i A B s i n6 0 =2 sAz t所以S&ABC=3s 八/孙+S A,B.C.=7 s“，夕 仁，故 D选项正确.故选：A B D2 8.(2 0 2 1广东茂名高三阶段练习)已知函数f(x)=|丝+l nx.,若 x)的图象存在两条相互垂直的切线.则。的值可以是()A.-6 B.5 C.4 D.3【答案】A B【分析】由题可得/7+尹：，利用基本不等式可知:(到=工+尹：*+2,由条件可知/(占)/5)=1，即可判断.【详解】:函 数 X)=三 爱+l nx,定义域为(0,+8),.,f(x)=x+i.+2,当且仅当=工时，取等号，2 x 2 x要使)(力 的图象存在两条相互垂直的切线,则 叫,吃 0,”),/(与)/伍)=-1,所以7(x)=x+J的值必有一正一负，当。=-3时，/(x)=x+l|,不合题意，当a =T时，r(%)=x+1 0,不合题意，当 a =-5时，/,(x)=x+-|,则中O,”)，/(4)/(&)=T，例如马，刍 w(0,+),r(x J =M +i =p/，(X2)=X2+-i =4,故 4 的值可以是 5,当a =-6 时，/(x)=x+1-3,则%,w(O,4 w),/,(x1)/,(x,)=-l,例 如 办(0,+：),/(x J =X|+:-3 =-；,/()=尤2+-3=4,故a 的值可以是-6.所以“的值可以是-5或-6.故选：A B.2 9.(2 0 2 1广东广州 高三阶段练习)对于函数=；*3+；/+6+4,孰.6 11,下列说法正确的是()A.存在c,1 使得函数/(x)的图像关于原点对称B./(x)是单调函数的充要条件是c N；C.若王，X?为函数“X)的两个极值点，则x：+x；：OD.若c=d=-2,则过点尸(3,0)作曲线y =/(x)的切线有且仅有2条【答案】B C【分析】对 A,可证函数不为奇函数；对 B,求 得:(x)=Y+x +c,要使/(X)是单调函数，则 =l-4 e V0,可求c 的范围；要使函数有两极值点，则A0,结合指数性质和韦达定理可求引+后 范围；对 D,可判断-1,2 为函数的两个极值点，画出大致图象，可判断有三条切线.【详解】若存在。，“使得函数f(x)的图象关于原点对称，则函数为奇函数，f(-x)=x3+x2-c x+d,则/(x)+/(-x)=x2+2 r f,对于任意的x,并不满足 x)+-x)=O,故函数不为奇函数，A错；由/(Mjv+jr+cx+d得/(x)=/+x +c,要使/(x)是单调函数，必满足 =l-4 c V0,解得c N；,故B正确；若函数有两极值点，必满足(),即c2(1)1 =故x：+x；w，C 正确；若c=d=-2,则F(x)=；x 3+；f 2 x 2,f x)=x2+x-2t 画出函数大致图象，如图：三条虚线代表三条相切的切线，故 D 错误.故选：BC30.（2021广东广州高三阶段练习）已知正方体A B C D