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新高考数学一轮复习讲义：函数概念与基本初等函数 2.1函数的概念及其表示【考试要求)1.了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域.2 .在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用.【知识梳理】1 .函数的概念一般地，设 出6是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系 使对于集合4中的任意一个数x在集合6中都有唯一确定的 数f(x)和它对应，那么就称f：4-6为从集合A到集合6的一个函数，记作y=f(x),A2 .函数的定义域、值域(D在函数y=F(x),x w/中，x叫做自变量，x的取值范围/叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合/.(X)|x G/l 叫做函数的值域.(2)如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,我们就称这两个函数相等.3 .函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.4 .分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.(2)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集.【微思考】1 .直线x=a(a是常数)与函数y=F(x)的图象有多少个交点？提 示0个或1个.2 .函数定义中，非空数集4 6与函数的定义域、值域有什么关系？提示 函数的定义域即为集合力,值域为集合8的子集.【基础自测】题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“或“X”)(1)若 4=R,8=x|x 0 ,f：x 一尸|x|,其对应是从 到6的函数.(X)(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.(X)(3)尸、x 3+、2 x 是一个函数.(X)(4)函数y=f(x)的图象可以是一条封闭的曲线.(X)题组二教材改编2 .函数f(x)=寸 2 1+占 的 定 义 域 为答 案 0,2)U (2,+8)(2-1 0,解析依题意X-2 W 0解得x 2 0 且 x W 2,.原函数的定义域为 0,2)U (2,+8).2,启 1,3 .已知函数/(x),、，则/(2)=_ _ _ _ _ _ _ _.f x 1 ,x l,答 案 2解析 A 2)=/，(l)=2 =2.4 .函数F(x)=x：在区间4 上的值域为.答卜 案 9 3 F1 5 1解析 人力=一：在区间 2,4 上单调递增，又 A2)=5，H 4)=冬-3 1 5故/U)的 值 域 为 多 7.题 组 三 易错自纠5.下列图形中可以表示以Q x|0 W x W l 为定义域，4=y 为值域的函数的图象是()答 案 c解 析 A 选项中的值域不满足，B 选项中的定义域不满足，D选项不是函数的图象，由函数的定义可知选项C正确.6.已知f（F）=万+5一1,则/（才）=答 案x+x-lf x 2 0解 析 令t=m，则 后 0,x=/,，1（力=/+一 1 （1 2 0）,f x）=x+x 1,x N O.第 1 课时函数的概念及其表示题 型 一 函数的概念1 .下列各曲线表示的y与 x 之间的关系中，y不是x的函数的是（）D2 .（多选）下列各组函数相等的是（）A.f x）=x2 x l,g（s）=s?2 s 1y-iB.f（x）=x-l,（入）=石 了c x,C.f 5=g-,g（x）=1 /八x,X OD.F(x)=yj x,g(x)Xj-X答 案 A C3.已知集合 x|0WxW4,Q=y|0W j 1,则F)A.|B.一1 C.-1 D.1答 案 D解析 f 停-l)+l =f Q+l=c o s H+l=l，(4、(4 nA 2 n(F =c os -J=c os -=-12,命题点2 分段函数与方程、不等式问题2 x 0,例 3 (1)已知函数f(x)=,_ 若/(a)+f(l)=0,则实数a的值等于()A-+1,启 0.A.-3 B.1 C.1 D.3答 案 A解析 V A 1)=2,=2.，f(a)+2=0,：.f a)=2,当 a W O 时，F(a)=a+l =2,；.a=3,当 a 0时，/(a)=2 =2,方程无解,综上有a3.l o g2j r,x 2l,(2)己知函数/X x)h 1 ,A.(一8,2C.0,2则不等式/(x)综上有A x)的最小值为2镜 一 3.x+1,后 0,(1、(2)设函数f(x)=L 八 则满足f(x)+f x5 1的x 的取值范围是2 x0,2)答案+8)1 X-1解析 当 x时，2+2 2 1恒成立，5，当 时，2+x 即 2+x1 恒成立，当 后 0 时，%+1+A1+1 1,解得一:x W O,综上有X的取值范围是（一：，+8）.课时精练【基础保分练】1 .下列所给图象是函数图象的个数为（）答 案 B解析 图象关于x轴对称，才 0时，每一个x 对应2 个 人 图象中X。对应2 个 y,所以均不是函数图象；图象是函数图象.x W O,2.己知函数f（x）=L i _ 则 AH8）等于（）1 log2X,%0,1 1A.-1 B.一 C.D.2答 案 C解 析 f(8)=l 1 0 g z 8=l 3=2,.,.A A 8)=/X-2)=2-2+1=1.3.设函数f =则 f（x）的表达式为（）A.1 +%1x(1)C.1 X1+（正 一 1）2x.、口 羊（正 一 1）B.f g 1)答 案 C1 V 1 /解 析 令=5 则 x=M，:f(t)=1-tT+tf即 4）=市4 .如图，/勿是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形题是四分之一圆的扇形,点 P 在线段 四 上，PQ VAB,且 可 交 4。或交弧加于点Q,设 4 x（0 x 2）,图中阴影部分表示的平面图形/图（或W）的面积为八则函数y=f（x）的大致图象是（）答 案 A解析 观察可知阴影部分的面积y的变化情况为：（1）当 0（后 1 时，y随 x的增大而增大,而且增加的速度越来越快.（2）当 1 0,zA.-1 B.1 C.乎 D.2答 案 ACD解析 由题意知，若 a W O,则 2=；,解 得 片 一 1；11 -1若 a0,则|log 2 al=5,解得刘=2 2 或 3=2 2.即a=小 或女=*.故 选 ACD.6.（多选）具有性质：f（=/1（*）的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数满足“倒负”变换的函数的是（）A.y=x-xl-xC.y=ev答 案AD解 析 对 于A,fx)=x-x1 x对于B,/(才)=1 1 1百：则FB.尸 山 干广x,0 Kl,0,x=l,D.F(x)=I XJT=-AJT).满足题意;(：)=1 片f(x)，不满足；一/(x)=-e*丰f d，不满足;对于 D,(?=lfx=l,、一x,0 X l,则F g)=-f(x)满 足“倒负”变换，故选AD.7.己知/(才二适x,则f(2)=,答 案|lg 2I解析 令f=2,则x=2 1.,.A2)=lg 2?=1 lg 2.x-b,X I,8.己知函数/X x)=2-1,x2 l,若/(7 (D)=3,则 8=答 案3解 析.(T)=6T,.(6-1)=3,当 61 2 1 即 6 2 2 时，2W-1=3,解得方=3,当 61 1 即从2时，8 1 +6=3,解 得 6=2(舍)，综上有6=3.-2 JV-I-1 xl的实数a 的取值范围是2 ,众 0,答 案(一 2,0)U(0,+8)解 析 因 为 f(a)l,0 ufa2,O,解 得a0.X O,-a2-2 a+ll,解得一 2 水0.由知一2 a 0 或 a0.1 0 .已知函数 F(x)满足 f(：)+：/1(x)=2%(矛#0),则 F(2)=2田自7 9答 案 5彳解析 令 x=2,可得F 旬+%(2)=4,令*=一看 可得/1(2)2/(3)=-1，联立解得/1(-2)=3，f(/)=*3 x+5,x 0,1 1 .已知函数A x)的解析式为F(x)=(x+5,0 .求 f6)，f(十)/1(1)的值;(2)画出这个函数的图象；(3)求/(x)的最大值.3解(1)v-i,3 ,f 7；=2 X 7；+8 =5.1.f V+5=2 Al(兀 J JI JIV-l1 的部分.图中实线组成的图形就是函数/(X)的图象.(3)由函数图象可知，当 x=l 时，Ax)取最大值6.1 2.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离.在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)满足下列2关系：了=息+妙+(/，是常数)如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)的关系图.(1)求出y 关于/的函数解析式：(2)如果要求刹车距离不超过2 5.2 m,求行驶的最大速度.解(1)由题意及函数图象，+4 0 m+=8.4,得瑞+6 0M18.6,解得加=焉，=0,/X所 以 旷=旃+砺(*N),V X 令 丽+而 W 2 5.2,得一 72 W x0,则满足f(x+l)2 小2 K 0,解得K0,故 X 的取值范围是(-8,0).x +x,x 2 0,14 .已知函数F(x)=一3 x,XO,若 a Aa)-/(-a)0,则 实 数a的取值范围为答 案(一 8,-2)U (2,+8)解析 当 a=0 时，显然不成立.当 a 0 时，不等式a F(a)(-a)0 等价于a 一2 a 0,解得a 2.当水0时，不等式a /()/(一2)0等价于一8 2 2。0,解 得 a0,x2#0,解得0 x0,、+1WL解得一 lx0 或 0 xW3,所以函数的定义域为(-1,0)U(0,3.f 9%3.若函数f(x)的定义域为 0,8 ,则函数g(x)=7v的定义域为答 案 0,3)解 析 依 题 意 有，00,解得0水3,g(x)的定义域为0,3).思 维 升 华(1)根据具体的函数解析式求定义域的策略已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可.(2)求抽象函数的定义域的策略若已知函数F(x)的定义域为 a,b ,则复合函数F(g(x)的定义域由不等式a W g G b W b求出；若己知函数/(g(x)的定义域为 a,b,则/Xx)的定义域为g(x)在 x G a,6 上的值域.(3)求函数定义域应注意的问题不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化；定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“U”连接.题型二函数的值域例 1 求下列函数的值域：(l)y=x 2 x+3,x G 0,3)；(2)y 2 x+l%3 (3)尸 2 x 一山 一 1；(4)y=-x+i+#x1.解 (配方法)2 x+3=(x-lV+2,由 x Q 0,3),再结合函数的图象(如图所示)，可得函数的值域为 2,6)./八 皿皿、2 x+l 2 x 3 +7(2)(分离常数法)尸n=-=2X O X O_ ,7显然*3 2.x 3故函数的值域为(-8,2)U (2,+8).(3)(换元法)设1=W 一1,则x=r+1,且 C O,=2（+1）t=2（e-由 t 2 0,再结合函数的图象（如图所示），可得函数的值域为 1，+8）（4）函数的定义域为 1,+8）,.,y=1/x+l与 尸 山-1在 1,+8）上均为增函数，尸 N x+l+x-1在 1,+8）上为单调递增函数，工当x=l 时，%”尸小,即函数的值域为 4，+8）.思维升华求函数值域的一般方法（1）分离常数法；（2）配方法；（3）不等式法；（4）单调性法；（5）换元法；（6）数形结合法；（7）导数法.跟踪训练1 求下列函数的值域：2 -1 尸 2、+1；（2）y=log,x+7,1,2）；2/一 叶 2x 1（x l）.2”1 2解（1）方法*y-2 1 -2，V2r0,A2X+11,2 2 函数的值域为（1,1）.方 法 二 由 尸2一,得1 才=当v+1，又 2,0,v 1 0,即（y+1）（尸 1）0,i-y即一 1 .函数的值域为（-1,1）.（2）函数y=10gl X+*在 1,2）上单调递减，21 1 3当 x=l 时，y=,当 x=2 时，7=-1+彳=一彳.一 2/，,函数的值域为(一I,-12(3)令 力0,X=r+1,t+1 一1 +2 Z 2+1+2 2-1-什”2 2+1,2当且仅当片=7即 =镜 时 取 等 号，函数的值域为 2 m+1,+8).题型三定义域与值域的应用例 2(1)若函数f(x)的定义域为 域1WXW 2,则 a+Z?的值为.9答 案 一 5解析 函数F 3 的定义域是不等式/+数 x+6 2 0 的解集.不等式/+公+6 2 0 的解集为 x|lWxW2,fa0,即 a x-l O 在（2,+8）上恒成立，Ja 0,2 a 12 0,解得己斗（2）已知函数/（x）=；（x 1/+1 的定义域与值域都是 1,6（6 1）,则实数。=答 案 3解析/（*）=g（x l 尸+1,*右 1,用且 6 1,则/=1,A A）=1（A-I）2+I,（力在 1,:上为增函数,函数/（X）的值域为1,1 b-1 2+1.由已知得上61尸+1 =6,解 得 6=3 或 6=1（舍）.课时精练用 基础保分练1.函数y（x）=Ji o g 1（x-i）+i的定义域为（）A.（8,3 B.（1,+0）C.（1,3 D.3,+）答 案 C解 析 依 题 意 l o g i O D +l N O,2即 l o g （x -l）2-l,2卜 一1 W2,解 得 1 0 的解集为（-8,2）,则水0,2 勿+1=0,1/.ni=4.函 数 尸 1+xy 1 2x的值域为（)一8,A.B.一8,32C.(|,+83D-5,+8答 案 B_解 析 设 d 12kt,则x=2，所 以 尸 IT21）”+2,因 为-2 0,所以y w 1 所以函数p=l+x d 1 2x的值域为（一8,3一2 故选B.5.已知函数F（x）=12a x+3a,X I,In x,的值域为R,则实数a 的取值范围是（）A.(一8,-1 B.f 1,gC.-1，2D.(0,T答 案 C解析时，fx)=ln x21n 1 =0,又/tv）的值域为R,故当水1 时，F（x）的值域包含（一8,0）.故,12a0,12a+3aN0,解得一1 W ag.6.（多选）下列函数中值域为R 的有（）A.f(x)=3x 1C.f(x)=x,0Wx W2,2 x,x 2B.f x)=l g(/2)D.f(x)=f-l答 案A B D解 析A项，/Xx)=3x 1为增函数，函数的值域为R,满足条件；B项，由f一2 0得或 求一镜，此时/(才)=18(*2 2)的值域为电满足条件；x,0Wx W2,C 项，f(x)=当 x 2 时，f(x)=2 x 4,2 x,x 2,当 0Wx W2 时，f(x)=V G 0,4 ,所以/1(x)。，即函数的值域为 0,+8),不满足条件；D项，/(X)=/-1是增函数，函数的值域为R，满足条件.7.(多选)已知函数y=f(x)的定义域是R,值域为 1,2 ,则值域也为 1,2 的函数是()A.y=2 f(/)+l B.y=f(2 x+l)C.y=F(x)+1 D.y=f x)答 案B C解析 y f(x),x G R,f(x)的值域为 1,2 ,对于 A,f(x).2/1(x)+l W 1,5 ,故 A 不满足;对于 B,当 x G R 时，2 x+l dR,.(2 x+l)W -1,2 ,故 B 满足；对于 C,.A x)G -l,2 ,G -2,1,+1 G 1,2 ,故 C 满足；对于 D f x e -1,2 ,A|f(x)|e 0,2 ,故D不满足.8.(多选)若函数y=f 4 x 4的定义域为 0,加，值域为 8,4 ,则实数0的值可能为()A.2 B.3 C.4 D.5答 案A B C解析 函数y=/-4 -4的对称轴方程为x=2,当0 2 时，最小值为一8,而/()=-4,由对称性可知，2 而 W4.实数卬的值可能为2,3,4.9.函数f(x)=l n(l+；|+尸，的定义域为答 案(0,1解 析 要 使 函 数/(x)有意义，(,11+-0,X则一 n 0,一X Ox 0,=，x#0,、一1W 后 1=0 后 1.F(x)的定义域为(0,1.1 0.函数y=l o g o.3(x 2+4 x+5)的值域为.答 案(一8,0解析 令 =f+4 x+5=(x+2)+l,/.1,而 y=l o g o.3力在 1,+8)上单调递减，/.y l o g o.31=0,故原函数的值域为(一8,0.2*5 彳2答 案(一5,3解析 当 x W 2 时，f(x)=2*5单调递增，则一5 /(x)W 1；当 x 2 时,s i n x G 1,1,F(x)=3s i n 3,3.故/t r)的值域是(-5,3.1 2.函数y=4-_.+3的定义域为R，则衣的取值范围是答 案 0,12)解析 依题意k x 恒成立，当k0时 3 W 0 恒成立，满足条件，当“。时 4 0 即发一 12 A 0,.*.0 0,.1+2，1,0，斤 1,22贝 I J 0 77T T 2,1 1+T7V 7 3,即 1/U)3.乙I 1 乙I 1当 l f(x)2 时，f(x)=l,当 2W f(x)3 时.，F(x)=2.综上，函 数 尸 f(x)的值域为 1,2.1 4.已知函数/1(4)=lo g 2X,g(x)=2x+a,若存在汨，%2621一OsJ一一，使 得 f(xi)=g(质)，则a的 取 值 范 围 是.答 案-5,0解析 依题意f(x)的值域与g(x)的值域有交集,X G T，2 时，/(%)e 1,1,2 时，g(x)c a+l,a+4 ,a+l 1,/a+K l,叫 a+4 2-l 叫 a+4 2 L解得一5 W aW 0.立 科 展 冲 刺 练15.(多选)若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函数”，例如函数y=f,x l,2 与函数y=f,x d 2,-1 即 为“同值函数”，给出下面四个函数，其中能够被用来构造“同值函数”的是()A.y=x(x 表示不超过x 的最大整数，例如0.1=0)B.y=x+x+c.y-0 ZiX答 案 AD解 析 根 据 题 意，“同值函数”需满足：对于同一函数值，有不同的自变量与其对应.因此，能够被用来构造“同值函数”的函数必须满足在其定义域内不单调.对于选项A,y=x ,定义域为R,在定义域内不是单调函数，有不同的自变量对应同一函数值，故 A 可以构造“同值函数”；对于选项B,市 为 定 义 在 1,+8)上的单调增函数，故 B 不可以构造“同值函数”；对于选项C,lo g ax为定义在(0,十8)上的单调减函数，故 C 不可以构造“同值函数”；对于选项D,y=x+f y，不是定义域上的单调函数，有不同的自变量对应同一函数值，故 D 可以构造“同值函数”.所以能够被用来构造“同值函数”的是A,D.1 6.已知函数f(x)=2+Io g 3 X,1,9,则函数y=(x)+f(f)的值域为答 案 6,13 解 析 F(x)的定义域为1,9,“一9,即1WXW9故y=F(x)(1)的定义域为1,3 ,y (2+lo g：)A-)+2+lo g 3/-(1 o g sx)+6lo g ax+6,令 t=lo g 3 X,te 0,1,y r+6 i+6=(t+3)23,?6 0,1,t=0 时，y=6,t=l 时，y=13,故 6W j 13.2.2函数的基本性质【考试要求】1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.2.了解函数奇偶性的含义.3 .结合三角函数，了解函数的周期性、对称性及其几何意义.IL知识梳理1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数/(X)的定义域为/,如果对于定义域/内某个区间，上的任意两个自变量的值;拓当矛 1*2时，都 有/,(汨)/、(尼),那么就说函数f(x)在区间上是增函数当小/(M),那么就说函数/X x)在区间上是减函数图象描述v*产)o k i x自左向右看图象是上升的恤 1)：f i x i)自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y=f(x)在区间上是增函数或减函数,那么就说函数y=Ax)在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫 做 尸/(x)的单调区间.2.函数的最值前提一般地，设函数y=f(x)的定义域为/,如果存在实数，满足条件(1)对于任意的X /,都有f(x)W M；(2)存在 使得 f(x 0)=M(1)对于任意的X G/,都 有其力昵(2)存在“。右/,使 得/X x o)=M结论必为最大值，为最小值3.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个X,都有f(一x)=f(x),那么函数/X x)就叫做偶函数关于y 轴对称奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任关于原点对称意一个X,都 有f(-x)=-f(x),那么函数F(X)就叫做奇函数4.周期性(1)周期函数：对于函数尸/0(0(0)o F(x)在上单调递增(单调递减).X X 12 .奇函数、偶函数在关于原点对称的区间上的单调性是怎样的？提示奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.基础自测题组一思考辨析1 .判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“义”)(1)函 数 的 单 调 递 减 区 间 是(-8,0)U(0,+8).(X )(2)若函数f(x)为奇函数，则f(0)=0.(X )(3)若 尸/(X)在区间上单调递增，则函数y k f (K O),在区间。上单调递减.(X )(4)若函数/X x)满足/.(4-x)=F(x),则/X x)的图象关于x=2对 称.(V )题组二教材改编2 .下列函数为奇函数且在定义域内为增函数的是()A.f(x)=x l B.F(x)=x Z+*C.f=2 2 rD.f x)=2+2 x答 案 c解 析 F(*)=X 1为非奇非偶函数，八 入)=/+、为非奇非偶函数，/X x)=2+2r为偶函数.V3.函 数 尸 一 7 在区间 2,3 上的最大值是答 案 2X1解析 函数y=-7=1+7 在 3 上为减函数，X 1 X 1v2当 x=2 时，y=-f取得最大值=2.4 .设奇函数A x)的定义域为-5,5,若 当 xe 0,5 时，/(力的图象如图所示，则不等式A%)0；当 2 x W 5时，f(x)0,又 f(x)是奇函数，当一2 水0 时，A x)0,当一5WA 0.综上，F(*)0 的解集为(-2,0)U (2,5.题组三易错自纠5.函数/1(x)=(x+l)y是_ _ _ _ _ _ 函 数.(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)答 案 非 奇 非 偶解析 A x)的定义域为(8,-l)U l,+8)不关于原点对称.故/(X)为非奇非偶函数.6 .函 数 尸 f(x)是定义在-2,2 上的减函数，且 F(a+1)/X 2 a),则实数a的取值范围是答 案 -1,1)2a+1 2&解得一1 W水1.第 1 课时 单调性与最大(小)值题型一确定函数的单调性)B(2,目,3)D.+8)命题点1 求具体函数的单调区间例 1 (1)函数y =l o g|(/+x+6)的单调递增区间为()A.&3C.(一2答 案 A解析 由一才 2+矛+6 0,得一2 x 0,设 函 数/-a)=0,x=0,g(x)=x 2 f(x 1),则 函 数 g(x)的单调递减区间是 1,K 0,答 案 0,1)X ,x ,解析 由题意知g(x)=o,X=l,y,x 0,为一l0 时，(生)0,即/U)/U),函数F(。在(一 1,1)上单调递减;当水0 时，f(x、一 0 时，f U X0,函数f(x)在(一1,1)上单调递减;当水0时，f(x)0,函数f(x)在(一 1,1)上单调递增.思维升华确定函数单调性的四种方法(1)定义法：利用定义判断.(2)导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数.(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不 能 用“U”连接.(4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性.跟踪训练1 (1)函数/X x)=|x 2|x的单调递减区间是.答 案 口,2 解 析 F（x）=x2x,x 2 2,x+2 x,水2.画出F(x)的大致图象(如图所示),由图知/(x)的单调递减区间是1,2 .(2)已知a 0,函数/1(x)=x+：(x 0),证明：函数/(x)在(0,上单调递减，在、，+8)上单调递增.证明 方 法 一(定义法)设为及0,/、,a 3F(x i)F(生)=小+-x iX X-i/x,a x ix=(汨-X 2)+-X X iX l 一丁 X 一dX X iV l%2 0,，X 一生 0,X X 2 0 y当 X i,及 (0,时，0 小及 a,，小生一水0,f(x i)f(x 2)0,F(x i)a,，汨照a 0,；F(x i)f(x-2)0,/.f(x i)f(X 2),在、，+8)上单调递增.方 法 二(导 数 法)f (x)=l予=宁 5 0),令，(x)0=f a 0=x，,令 f(x)O n x?水0=0 矛/(2 )答 案 C解 析/X x)为偶函数且在(0,+8)上单调递减,=/(lo g34)=/(lo g34),3 _2又 lo g3 4 l,0 2.v 2 1,2 3./(lo g34)/(2 )/(2-b/卜。山(2)若 2+lo g2 a=4+2 1o g6 则()A.a2 bC.alB.a2 bD.水炉答 案 B解析由指数和对数的运算性质可得2+lo g2 a=4+2 1o g6=2+lo g：；6.令 f x)=2+lo g2x,则 f(x)在(0,+8)上单调递增,又-/*+lo g,仅 2?+lo g2Z?+1 =22 i，+lo g22 Z),.,.2a+lo g2a 22 4+lo g2 2 A,即 f(a)F(2 6),：.a4+2 1o g#+l,则()A.a2 b B.a2 bC.at)答 案 A解析 4+2 1o g/+1=22 6+2 10 gg b+1=2 +lo g乃+1=2+lo g22 Z),，2+lo g2 a 2+lo g2 2 6,函数F(x)=2*+lo g2 X 在(0,+8)上为增函数，：.a2 b.命题点2 求函数的最值例 4函 数 的 最 大 值 为 2答 案 5解 析 令 削 1+4=t,则。2,=一 4,t 1P什 7设 A*)=t+：,则 尔 t)在2,+8)上为增函数,5.*./?(f)m i n =A (2)=,I 2时取等号).022即 y的最大值为会命题点3 解函数不等式例 5已知函数/(x)=Q)lo gz(x+2),若 f(a 2)3,则 a的 取 值 范 围 是.答 案(0.1)解析 由/1(8)=)-1 0&5+2)知，f(x)在定义域(2,+8)上是减函数，且/(1)=3,由 f(a 2)3,得 f(a-2)/1(1),即一2 a 2 1,即 0 a 0(a,为一及成立，那么实数a的取值范围是()A.(0,2)B.(1,2)C.(1,+8)D.*2)答 案 D解析因为对任意为W x z,都有/一/X:0,X X 2所以p=A x)在 R上是增函数.2 a 0,所以卜 1，解得产水2.2 a X 1 +1 W a,故实数a的取值范 围 是 2).思维 升 华 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小.(2)求最值.(3)解不等式.利用函数的单调性将“/符号去掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域.(4)利用单调性求参数.依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与己知单调区间比较.需注意若函数在区间 a,目上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也单调.分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.跟踪训练2 已知函数f(x)的图象关于直线x=l 对称，当 不不用且小+8)时，(加-f(%),(质-Z)=f(2),c=f(e),则 a,b,c 的大小 关 系 为()A.c ab B.c baC.ac b D.bac答 案 D解析 依题意f(x)在(1,+8)上单调递减，在(一8,1)上单调递增，且/(X)关于X=1 对称，(?(2)，即 c a r U),则 实 数 x的取值范围是I n%+1,%0,答 案(一2,1)解析 根据函数A x)的图象(图略)可知L F(x)是定义在R上的增函数.2一/.,一 2/。B.A a2+a+2)一1的实数x的取值范围是()A.(3,+8)B.(一8,3)C.2,3)D.0,3)答 案 c解 析/1(*)在定义域 o,+8)上是减函数，且/1(2)=-1,A A2A-4)-1 可化为 A2A-4)A 2),2 x-4 M,2 x4 0,所以0 a W l,故选B C.(I n x+2,x 0,6.(多选)已知函数f(x)=F(2)C.若/(x)在(a,a+1)上单调递增，则 a W l 或 a 20D.当 X 1,1 时，f(力的值域为 1,2答 案 B C解析 易知f(x)在(-8,0,(0,+8)上单调递增，A错误，B正确；若/(x)在(a,a+1)上单调递增，则 a 2 0 或 a+I W O,即 a W l 或 a 0,故 C正确；当 x G 1,0 时，f x)e 1,2,当 x G(0,l 时，/()G (0 0,2,故 x G 1,1 时,f(x)e(8,2,故 D 不正确.7.函 数 尸 一f+2|x|+l 的 单 调 递 增 区 间 为,单 调 递 减 区 间 为.答 案(一 8,-1 和 0,1 (一 1,0)和(1,+)解 析 由 于 了=x +2 x+1,x 20,-x2 x+l,水0,即y=x1 一+2,x 20,x+1 +2,JK O.画出函数图象如图所示,单调递增区间为(一 8,-1 和 0,1,单调递减区间为(一 1,0)和(1,+8).8 .设函数)=昌 在 区 间 3,4 上的最大值和最小值分别为机卬，则 乎.依士 8答 案 39 v 9 V 4-1-4 4解 析f 3=-=-=2+在 3,4 上是减函数，x 2 x 2 x 2/()m i n=A4)=4,f(-)m a x =/(3)=6,G 4.%2 16 8.M=6,m=4,.M o 39.函 数f(x)=ex+xe,若 实 数 a(a 0 且 a W l)满 足f f l o g l,则a的取值范围为答 案(o,+o o)解 析/X x)=e+x e,F(x)在 R上为增函数且f(l)=1,:.f(l o g,)。，可化为 f l o g.,1j Al)，.l o g 曝a,当 0 a l 时，0 a l 时,符合题意.a的取值范围是(0,1 j u(l,+8).f f+4x,x W 4,10 .设函数A x)=若函数H x)在区间(a,a+1)上单调递增，则实数l o g 2%x 4.a的取值范围是.答 案(一8,1 u 4,+)解 析 函 数 H x)的图象如图所示,)=Iog2X(x4)0 1 2 4 X“)=-小+而(xW4)由图象可知f(x)在(a,a+D 上单调递增，需满足a，4 或 a+lW 2,即 aW l或 a24.1 21 1.已知函数/(x)=ax +-(a0),且/(x)在(0,1 上的最大值为g(a),求 g(a)的最小ax a值.1 9解 f(x)=ax +(a0)，ax a F(x)在(0,1 上为增函数,fX)m a x =A l)=3+-,a:.gS)=a+，N 2,当 且 仅 当 即a=l时取等号,a 3；.g(a)的最小值为2.21 2.已知函数/(x)=a77,T-求/X0);(2)探究/1(x)的单调性，并证明你的结论；(3)若 f(x)为奇函数，求满足f(ax)f(2)的 的取值范围.2解(l)f(0)=a-q z y=a L(2)f(x)在 R上单调递增.证明如下：f(x)的定义域为R,.任取小，及GR且为 生,则 a2 2-Cl H-2V,+1 2的+12.(2*-2.)-(1+2&X I+2)y=2在 R上单调递增且水物0 2V|2*，:.2再一2*0,22+1 0.,(小)f(x i)0,即 f(xi)f(x2)./(X)在 R上单调递增.(3)V f(j d 是奇函数，/(一 x)=f(x),2 2即 a一三 百=一,+亍不y，解 得a-1.：.f(ax)/(2)即为 f(x)f(2),又/(x)在R上单调递增，二 矛。.x的取值范围是(一 8,2).4技能提升练13.已知函数f(x)当x G 卬，/+1时，不等式f(2z w x)f(x+血恒成立，则实数0的取值范围是(A.(8,4)C.(-2,2)B.(-8,-2)D.(一8,0)答案解析在x G R上单调递减,又 x+/，即2水 如 在 _m,/+1上恒成立，所以2(加+1)加，解得成一2.14.设函数fC OnF1在区间(2,+8)上是增函数，那么a的取值范围是x十2a答 案 1,+8)解 析Ax)=a x+2a 2a +l 2a 1x+2 a a x+2 a定义域为*1寸 2a ,所以2a 21 0,-2dW 2,所以2a2-l 0,心1,所 以aLy拓展冲刺练15.已知函数y=F(x)的定义域为R,对任意乂，短且小之/2,都有-LX-X2则下列说法正确的是()A.尸F(x)+x是增函数B.y=F(x)+x 是减函数C.y=/(x)是增函数D.尸/(x)是减函数答 案 A解 析 不 妨 令 小 如.X L入2 1 =/(小)-f(X 2)(为必)=/(小)+Xf(X2)+热,X X2令 g(x)=f(x)+X,:.g tn)0 时，F(x)一1.(1)求 f(0)的值，并证明f(x)在 R上是增函数；(2)若 1)=1,解关于 x的不等式 f(f+2x)+/U-x)4.解(1)令 x=y=O,得 F(0)=-1.在 R上任取才】如 则 汨一上20,所以,(小一人2)1.又 (汨)=f X L X+入2)=fx X2)+f(X2)+1 f x i),所以函数f(x)在 R上是增函数.(2)由第 1)=1,得 f(2)=3,A3)=5.由 F(H+2x)+F(1x)4,得 f(f+x+l)f(3),因为函数Ax)在 R上是增函数，所以 x +r+13,解得X2 或 x l,故原不等式的解集为5 1 水-2 或 x l .第 2 课 时 奇 偶 性、对称性与周期性题 型 一 函数奇偶性的判定例 1 判断下列函数的奇偶性：(1)fx=、3-乂2+yx2 3；F3=1g 1-xg _ Q.一(3)f x =x +xf x 0；(4)f(x)=l o g2(x+y j x+1).解(D 由3 x O f 得 x=3,解得 x=m，x 3 0,即函数f(x)的定义域为 十,p,关于原点对称.从而 f(x)=y 3 x+/V3 =0.因此 f(X)=()且 (一x)=f(x),所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数.由.1-?0,|彳 一 2|#2,得定义域为(一l,o)u (0,1),关于原点对称.1 g 1 -乂:x2(X)g(x),A (x)=f(x)g(x)=f(x)g(x)=一(x),；.(x)为奇函数，故A错误；令 (x)=(x)g(x)I,Pl(x)|f(x)g(X)I I f(x)g(x)I=|f(x)g(x)|=K(x),故(x)为偶函数，故B错误；令/?(x)=|f(