高考数学平面解析几何大题专题训练70题含解答.pdf

高考数学平面解析几何大题专题训练70题含答案学校:姓名:班级：考号：一、解答题2 221 .已知椭圆后:二+二二叫”方点灌过点4。,/）,右焦点到直线x =幺的距离为3.a b c（1）求椭圆E的标准方程：（2）过点工作两条互相垂直的直线4，（分 别 交 椭 圆 于 N两点，求证：直线M N恒过定点尸0,-5-./2 .过尸（0,1）的直线/与抛物线C:/=外 交 于 A,B两点，以A,8两点为切点分别作抛物线C的 切 线 后12,设4 与4交于点0（工。,%）.（1）求治;（2）过。，下的直线交抛物线C于M,N两点，证明：Q F L A B ,并求四边形月M 8 N面积的最小值.3.已知椭圆C 0 +=l的一个顶点为抛物线犬=匕的焦点，点尸（“。）在椭圆C上且 X。%/0,P关于原点。的对称点为。，过P作 OP的垂线交椭圆于另一点7,连QT交x 轴于用.（1）求椭圆C的方程；（2）求证:轴；（3）记APOM 的面积为几A P Q T 的面积为S2,求苓的取值范围.4 .已知椭圆+=1（。60）的离心率为正，连接椭圆四个顶点得到的菱形的a2 b-2面积为4.（1）求椭圆的方程；（2）设A是椭圆的右顶点，过点A作 两 条 互 相 垂 直 的 直 线,ZN分别与椭圆交于M,N两点，求证：直线A/N 过定点；（3）（只理科做）过点。（0,-1）作两条互相垂直的直线4，4，4 与圆。：x 2+/=4交于8,C两点，4 交椭圆于另一点。，求 A 5 C D 面积的最大值.r25 .已知点P是曲线：土+/=上的动点，延长尸O （。是坐标原点）到。，使得4 O Q =2 O P ,点。的轨迹为曲线C 2.试卷第1 页，共 2 0页（i）求曲线G 的方程；（2）若 点 耳,巴分别是曲线a的左、右焦点，求耶殛的取值范围;（3）过点尸且不垂直x 轴的直线/与曲线G 交于，N两点，求 面 积 的 最 大 值.6 .在平面直角坐标系x Qy中，椭圆C：、+%*=l（a 6 0）过点椭圆C的左、右焦点，离 心 率 为 更，圆。的直径为耳2（1）求椭圆。及圆。的方程；不名为（2）设直线/与圆。相切于第一象限内的点P.若直线/与椭圆C有且只有一个公共点，求点尸的坐标；若直线/与椭圆C交于A ,8两点，且2 U O B 的 面 积 为 逑，求直线/的方程.1 37.已知椭圆C:+=l（a b 0）的短轴长为2,离心率e =*，（1）求椭圆C方程；2（2）若直线/：，=h+加与椭圆交于不同的两点48,与圆/+?=相切于点加，证明：O A L O B（其中。为坐标原点）；设儿=留，求实数九的取值范围“8 .平面直角坐标系中，以原点。为圆心，&0）为半径的定圆G，与过原点且斜率为 人/H O）的动直线交于P、。两点，在X 轴正半轴上有一个定点R（加,0）,P、Q、R三点构成三角形，求:（1）A POR的面积w的表达式，并求出的取值范围;（2）A P 0 灭的外接圆G 的面积名的表达式，并求出邑的取值范围.2 29 .椭圆C：-+4=1（a b 0 ）的左、右焦点分别是耳、F2,离心率为;，过耳且垂直于轴的直线被椭圆C截得的线段长为3.（1）求椭圆C的方程；（2）点 P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接尸后、P F2,设/与PK 的角平分线PM 交 C的长轴于点（切,0）,求加的取值范围；（3）在（2）的条件下，过点P作斜率为左的直线/,使得/与椭圆C有且只有一个公共点设直线尸片、尸鸟的斜率分别为匕、k2,若心 0,试证明J+J为定值，并求出KK、KK、这个定值.试卷第2 页，共 2 0页1 0.已知。为坐标原点，尸是抛物线C：f=4y 的焦点，是 抛 物 线 C上位于第一象限内的任意一点，过 A1,产，。三点的圆的圆心为。.(1)是否存在过点尸，斜率为左的直线/，使得抛物线C上存在两点关于直线/对称？若存在，求出的范围；若不存在，说明理由;(2)是否存在点M,使得直线M 0 与抛物线C 相 切 于 点？若存在，求出点阳的坐标：若不存在，说明理由.11.已知椭圆C：-+-=1(a b 0)的短轴长和焦距相等，左、右焦点分别为耳、F2,点。1,满足：|。耳|+|。鸟|=2 人已知直线,与椭圆C 相交于4 8两点.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若直线/过点月，且 正=2 所，求直线/的方程；(3)若直线/与曲线y =l n x 相切于点7(f,l n f)(0),且 8中点的横坐标等于:,证明：符合题意的点7 有两个，并任求出其中一个的坐标.1 2.已知直线4：x =4,点尸(1,0),点M(x j)是平面直角坐标系内的动点，且点M 到直线4 的距离是点加到点F的距离的2倍.记动点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C 的方程；(2)过点尸的直线4与曲线C 交于A、B 两 点,若 AO 4B(。是坐标系原点)的面积为:有，求直线4的方程；O(3)若(2)中过点尸的直线4是倾斜角不为0 的任意直线，仍记右与曲线C 的交点为A、B,设点G 为线段N8的中点，直线OG 与直线4 交于点。，求 Z D F B 的大小.13 .已知椭圆C:g+4=i m/0),直线/不过原点O且不平行于坐标轴，/与C 有b a两个交点A,B,线段48的中点为A/.证明：2(1)直线的斜率与/的斜率的乘积为定值-a.(2)若/过点S,。)，延 长 线 段 与 C 交于点P,当四边形。4 P 8为平行四边形时，则直线/的斜率勺3 b14 .已知椭圆C ：三+1=l(a 6 0)的左、右焦点分别是耳(T O),玛(1,0)，点小0,6),若玛的内切圆的半径与外接圆的半径的比是1:2.试卷第3 页，共 2 0页(1)求椭圆。的方程;(2)设 8为椭圆C 的右顶点，设圆E：x2+y2 9,不与x 轴垂直的直线/与交于p、。两点，原点。到 直 线/的 距 离 为 逑，线段。?、。分别与椭圆C 交于旭、N ,20 T1 M N ,垂足为7 .设 加=2 两，0 Q =p O N ,AOM V 的 面 积 为 08 T的面积为邑.试确定义与的关系式；、求$2 的最大值.15 .已知曲线C m N-2 X+/=0,(=1,2,.).从点P(-l,0)向曲线C 引斜率为 h(k n0)的切线/，切点为y n).求数列 切 与 四 的通项公式；(2)证明：玉,工 3 毛 工 2/一 b 0)的离心率为;，过右焦点尸(1,0)作两条互相垂直a b z的直线4,乙，分别交椭圆E于48和C、。四点.设/8、C。的中点为M、N.(1)求椭圆E的方程;(2)直线仞V 是否经过定点？若是，求出定点坐标；若否，请说明理由.17 .已知椭圆C:+，=l(a b 0),尸为椭圆C 的右焦点，。卜，?)为 椭 圆上一点,C 的离心率6 =也2(1)求椭圆C 的标准方程;(2)斜率为的直线/过点尸交椭圆。于两点，线 段 的 中 垂 线 交 x 轴于点尸,试探究黑 是 否 为 定 值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由 MN|18 .已知两定点 一；,。)，8 s 0),点尸是平面内的动点，且 国+期+|丙+词=4,记动点P的轨迹W.试卷第4 页，共 2 0页(1)求动点P的轨迹W的方程；(2)过点C(-1,O)作两条相垂直的直线分别交轨迹于G,H,M,N 四点.设四边形面积为乱 求的取值范围.S19 .已知中心为原点0,焦点在x轴上的椭圆。的离心率为且，且椭圆。的长轴是圆2M :x2+/-4的一条直径.(1)求椭圆C 的方程；(2)若不过原点的直线/与椭圆C 交于Z,B两点，与圆交于尸、。两点，且直线O A,AB,的斜率成等比数列，求|P Q|的取值范围.2 0.抛物线C 的方程为y =#(6 o)的左右焦点分别为耳7+FF”上顶点为A.(I)若工耳1 4 名.求椭圆的离心率；(历设直线”6 与椭圆E的另一个交点为。，若A/J Q E 的面积为：，求桶圆E的标准方程;(H)由椭圆E上不同三点构成的三角形称为椭圆的内接三角形，当6=1时，若以A 为直角顶点的椭圆E的内接等腰直角三角形恰有3个，求实数。的取值范围.2 2.如图，圆O与直线x +扬+2 =0相切于点P,与x 正半轴交于点A,与直线、=瓜在第一象限的交点为8.点。为圆。上任一点，且 满 足 反=次+y 丽，以X J为坐标的动点。(x/)的轨迹记为曲线试卷第5 页，共 2 0页(1)求圆。的方程及曲线的方程；(2)若 两 条 直 线=H 和=分别交曲线于点反 厂和、N,求四边形面积的最大值，并求此时的人的值.(3)已知曲线的轨迹为椭圆，研究曲线的对称性，并求椭圆的焦点坐标.2 3 .如图，圆O与直线x +J?y +2 =0相切于点P,与x 正半轴交于点A,与直线y =在第一象限的交点为8 .点C为圆O上任一点，且 满 足 双=X力+)丽，以羽y为坐标的动点z)(x/)的轨迹记为曲线r.(1)求圆o 的方程及曲线r的方程；(2)若两条直线4：y =履和/2：y =-1 x 分别交曲线于点反 尸和M、N,求四边形KE M F N 面积的最大值，并求此时的上的值.(3)根据曲线的方程，研究曲线的对称性，并证明曲线为椭圆.?v22 4.已知椭圆C：3 +4=1(心6 0)的两焦点之间的距离为2,两条准线间的距离为8,直线/：(机C R)与椭圆交于P,。两点.(1)求椭圆C的方程；试卷第6页，共 2 0页(2)设椭圆的左顶点为4 记直线N P,力。的斜率分别为无/,b若机=0,求配b的值；若如心=工，求实数，的值.42 5.椭圆C的中心在坐标原点，焦点耳，月在x 轴上，过坐标原点的直线/交C于尸，。两点，|P用+|P闾=4,APQ 与面积的最大值为2.(1)求椭圆C的方程；(2)M 是椭圆上与尸,。不重合的一点，证明：直线M P,A/0的斜率之积为定值；(3)当点P 在第一象限时，PE _ L x 轴，垂足为E,连接。E并延长交。于点G,求MQG的面积的最大值.2 6.设双曲线方程为/一匕=1,过其右焦点且斜率不为零的直线4 与双曲线交于4,B3两点，直线4 的方程为=乙A,8在直线乙上的射影分别为C,D.(1)当4垂直于x轴，/=-2 时，求四边形4 88的面积；(2)f =0,，的斜率为正实数，/在第一象限，8在第四象限，试比较。?管|与 1|BD-FA的大小；(3)是 否 存 在 实 数 使 得 对 满 足 题 意 的 任 意 4,直 线 和 直 线 BC的交点总在x 轴上，若存在，求出所有的,值和此时直线4。和8c交点的位置；若不存在，请说明理由.2 7.已 知 椭 圆 二+与=1(“6 0),42,0)是长轴的一个端点，弦 BC过椭圆的中心。，a b点 C在第一象限，且 衣.元=0，|反-丽|=2 河+元(1)求椭圆的标准方程；(2)设 P、0 为椭圆上不重合的两点且异于4、B,若 N PC Q 的平分线总是垂直于x轴，问是否存在实数,使 得 =2 而？若不存在，请说明理由；若存在，求义的最大值.2 8.已知椭圆C:+=l(a b 0)的短轴长为2,离心率为也a b2(1)求椭圆C的方程(2)若过点M(2,0)的引斜率为k的直线与椭圆C相交于两点G、4,设 P 为椭圆C上一点，且 满 足 丽+丽 士 丽(。为坐标原点)，当 匹-丽 卜 手 时，求实数，的取值范围？2 22r22 9.设椭圆C:+=l(a 6 0),定义椭圆C的“相关圆 E为:f+/=半1 .若抛物线V=4 x 的焦点与椭圆C的右焦点重合，且椭圆C的短轴长与焦距相等.试卷第7页，共 2 0页(1)求椭圆C及其“相关圆”E的方程；(2)过“相关圆”E上任意一点尸作其切线/,若/与 椭 圆C交于4 8两点，求证:乙4。5为 定 值(。为坐标原点)；(3)在(2)的条件下，求AO Z B面积的取值范围.30.已知抛物线ix u,为抛物线上的点，若直线/经过点尸且斜率为，则称直线/为点尸的“特征直线”.设不、为方程工2-依+6=0(a,b e R)的两个实根,、/6)=J x J|x P|x 2 l小尸|,区|0)准线上一点，点4，4均在该抛物线上，并且直线4 4经过该抛物线的焦点，证明s=3p；(2)若点4(x,，匕要么落在y =x所表示的曲线上，要么落在y =Y所表示的曲线上，并且4(；，；),试写出,!唾5“(不需证明)；(3)若点4(%，先)要么落在y =2标 T所表示的曲线上，要么落在y =2标“所表示的曲试卷第8页，共2 0页线上，并且4(0,4),求$2 0”的值.3 2.已知椭圆 +/=1 (a 6 0)的两个焦点分别为耳(-c,0),工(c,0),(c 0),过2点演幺,0)的直线与椭圆相交于点4 8 两点，且片/居8,怩川=2 区理C(1)若b=A ,求椭圆的方程；(2)直线4 8 的斜率；(3)设点C与点A关于坐标原点对称，直线鸟8 上有一点，(叱 )(?才0)在 AFXC的外接圆上，求2 的值.m3 3.已知抛物线6：/=2力(0)上的点到焦点的距离最小值为1.(2)若点尸(%,%)在曲线C?：y =*2+1上，且在曲线G上存在三点A,8,C,使得四边形P A B C为平行四边形.求平行四边形P A B C的面积S 的最小值.34.已知点尸是抛物线C ：/=4 x 的焦点，直线/与抛物线C相切于点P(x。,%乂%0),连接P F交抛物线于另一点A,过点P 作/的垂线交抛物线C于另一点8.试卷第9 页，共 2 0 页(I)若%=1,求直线/的方程；(2)求三角形尸4 8 面积S 的最小值.35.设点A,8的坐标分别为(T 4),(-8,1 6),直线和8M相交于点”,且和8N 的斜率之差是1.(1)求点M 的轨迹C的方程；(2)过轨迹C上的点。(%,为)，y0 4,作圆。：/+&_ 2)2 =4 的两条切线，分别交x 轴于点F,G.当A Q F G 的面积最小时，求为的值.36.在以/(-2,0)为圆心，6为半径的圆A 内有一点8(2,0),点p 为圆A 上的任意一点,线段8 尸的垂直平分线/和半径/P 交于点(1)判断点M 的轨迹是什么曲线，并求其方程；(2)记点M 的轨迹为曲线，过点8的直线与曲线交于C,。两点，求 反 历 的最大值；(3)在圆=1 4 上的任取一点0,作曲线的两条切线，切点分别为E、F,试判断。E与。尸是否垂直，并给出证明过程.37.在 平 面 直 角 坐 标 系 中，已知椭圆氏 士+4=1(q 6 0)的离心率为;，且椭a b z圆E的短轴的端点到焦点的距离等于2.(1)求椭圆E的标准方程；(2)已知/,8分别为椭圆E的左、右顶点，过 x轴上一点P(异于原点)作斜率为刈际0)的直线/与椭圆E相交于C,。两点，且直线ZC与 8。相交于点0.若k=l,求线段8中点横坐标的取值范围；判 断 丽 丽是否为定值，并说明理由.238 .(1)求证：椭圆三+/=1 中斜率为1 的平行弦的中点轨迹必过椭圆中心;4(2)用作图方法找出下面给定椭圆的中心；(3)我们把由半椭圆=l(x*0)与半椭圆 +=1(x 4 0)合成的曲线称作“果/+正b c圆”，其 中/=+。2,。0,b c o.如图，设点与，鸟是相应椭圆的焦点，4,4和 4，坊是“果圆”与X,y轴的交点.连结“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦.试研究：是否存在实数左，使斜率为人的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的左值，若不存在，说明理由.试卷第1 0 页，共 2 0 页39 .在圆2+/=4上任取一点P,过点尸作x轴的垂线段p。，。为垂足，当点P在圆上运动时，点 初 在 线 段 上，且 两=；而，点 的轨迹为曲线G.(1)求曲线G的方程;(2)过抛物线C?：/=8 x的焦点尸作直线/交抛物线于A,B两点，过尸且与直线/垂直的直线交曲线G于另一点C,求M8C面积的最小值，以及取得最小值时直线/的方程.4 0 .如图，设 抛 物 线(?=与G:/=2川(0 0)的公共点收的横坐标为中0),过“且与G相切的直线交于另一点A,过加 且与G相切的直线交 于另一点B,记S为AW 8/的面积.(I )求。的 值(用/表示)；(I I)若s求/的取值范围._4 _注：若直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行也不重合，则称该直线与抛物线相切.4 1.已知椭圆 C：+W=1 (a b 0)a b的短轴长为2,且椭圆C的顶点在圆M：/(1)求椭圆C的方程;(2)过椭圆的上焦点作相互垂直的弦Z 8,C D,求|4?|+|C D|的最小值.试卷第1 1页，共2 0页4 2.已知椭圆r的左、右焦点分别为耳(-1,0)、F2(1,0).经过点耳且倾斜角为6(0 6 b 0)的离心率为I,右准线方程为x=4,过a b 2点 P(0,4)作关于y轴对称的两条直线/,h，且/与椭圆交于不同两点4 8,/2 与椭圆交于不同两点。，C.试卷第1 2 页，共 2 0页(2)证明：直线ZC与直线8。交于点。(0,1)；(3)求线段ZC长的取值范围.4 5 .已 知 椭 圆 氏 1+口 =1 3 0,6 0)的离心率为也，Fi,用分别为左.右焦点，A,O L b 28分别为左.右顶点，Z)为上顶点，原点。到直线2。的距离为好.设点尸在第一象限,3且尸轴，连 接 交 椭 圆 于 点 C,记点P的纵坐标为f.(1)求椭圆的方程；(2)若 N B C 的面积等于四边形O B P C的面积，求直线P A的方程；(3)求过点B,C,P的圆的方程(结果用f 表示).4 6 .已知椭圆。+=1(“方 0)过点&，*)，离心率为1(I )求椭圆C的方程；(H)若M,N分别是椭圆C与x 轴的两个交点，过 点 且 斜 率 不 为。的直线/与椭圆C交于P,。两点，直 线 过 点 R(8,外)，求证：直线N。过点R.4 7 .已知抛物线。：夕 2=4，点产(4,4)(1)求点P与抛物线C的焦点尸的距离；(2)设斜率为1 的直线/与抛物线C交于48两点，若 P 4 8 的面积为2 夜，求直线/的方程；试卷第1 3 页，共 2 0页(3)是否存在定圆A/:(X-W)2+/=4,使得过曲线C上任意一点。作圆”的两条切线，与曲线C交于另外两点48时，总 有 直 线 也 与 圆 M 相切？若存在，求出机的值,若不存在，请说明理由.24 8 .已知椭圆C：点+/=1(。1)的左顶点为人，右焦点为尸，斜率为1 的直线与楠圆C交于A,8两点，且其中。为坐标原点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设过点尸且与直线N 8平行的直线与椭圆。交于也，N两点，若点P满足丽=3 而，且NP与椭圆。的另一个交点为。，求 扃 的 值.4 9 .已知点耳、苣是双曲线：鸟-=1 的左右焦点，其渐近线为夕=四，且右a h顶点到左焦点的距离为3.(1)求双曲线M 的方程；(2)过用的直线/与M 相交于A、B两点，直线/的法向量为力=(%,-1 总 0),且O A O B=0,求A的值；(3)在(2)的条件下，若双曲线M 在第四象限的部分存在一点。满 足 次+丽=加 而，求m的值及M B C的面积心时.5 0.某沿海特区为了缓解建设用地不足的矛盾，决定进行围海造陆以增加陆地面积.如图，两 海 岸 线 0 8所成角为年，现欲在海岸线。4,05上分别取点P,。修建海堤，以便围成三角形陆地OP0,已知海堤尸。长为6 千米.(1)如何选择P,。的位置，使得。尸。的面积最大；(2)若需要进一步扩大围海造陆工程，在海堤尸。的另一侧选取点M,修建海堤围成四边形陆地.当海堤九牛与MQ的长度之和为1 0 千米时，求四边形 P。面积的最大值.5 1 .设点耳，鸟分别是椭圆。:支+=1。0)的左、右焦点，且椭圆C上的点到点巴2r r试卷第1 4 页，共 2 0 页的距离的最小值为2 忘-2 .点M、N 是椭圆C上位于x 轴上方的两点，且 向 量 砸 与 向量 印 平行.(1)求椭圆C的方程；(2)当 耶.即 =0 时,求的面积：(3)当|月 阳-|硒 1=6 时，求直线6N 的方程.5 2 .已知椭圆江+己=1 的两焦点分别为4，F,p是椭圆在第一象限内的一点，并满4 2足 两 电=1,过户作倾斜角互补的两直线4、分别交椭圆于A、B两点.(1)求。点坐标；(2)当直线Q 4 经过点(1,血)时，求 直 线 的 方 程；(3)求证直线Z3的斜率为定值.5 3 .如图，已知椭圆C:5 +/=i 的左顶点为A,过右焦点产的直线交椭圆于B,。两点，直线4 8,力。分别交直线/：x =2 于点M,N.(1)试判断以线段N 为直径的圆是否过点尸，并说明理由;(2)记/8,M F,M Z)的斜率分别为占，k2,%,证明：k、,k2,匕成等差数列.5 4.已知椭圆2 2X V 7+F=1(fl6 0)的右焦点为产A为短轴的一个端点且 O A =O F =y 2(其中O为坐标原点).(1)求椭圆的方程；(2)若C、D分别是椭圆长轴的左右端点，动点A/满足连接C,交椭圆于点P,试问x 轴上是否存在异于点。的定点。，使得以用尸为直径的圆恒过直线。尸、M0的交点，若存在，求出点。的坐标；若不存在，说明理由.5 5.已知圆C：X2+/=4,过坐标原点O的直线/交C于P,。两点，点P 在第一象限,轴，垂足为，.连结。”并延长交C于点火.试卷第1 5 页，共 2 0 页(1)设0到直线。，的距离为d,求d的取值范围；(2)求A P Q R 面积的最大值及此时直线/的方程.5 6 .如图，已知过点。6，-专的椭圆，+=l(a b 0)的 离 心 率 为 冬 左 顶 点(2)若尸为线段。延长线上一点，直线为交椭圆于另一点,直线尸8交椭圆于另一点。.求直线P A 与 PB的斜率之积；判 断 直 线 与 。是否平行？并说明理由.5 7 .已知抛物线E：/=2 p x(p 0),点。为直线x =-2 p 上任一点，过点。作抛物线的两条切线，切点分别为A ,B,(1)证明A,Q,8三点的纵坐标成等差数列；(2)已知当点。坐标为(-2 p,2)时，AB =1 2,求此时抛物线的方程；(3)是否存在点。，使得点C关 于 直 线 的 对 称 点。在抛物线E上，其中点C满足O C =O A+O B.若存在，求点。的坐标；若不存在，说明理由.5 8 .在平面直角坐标系x O y 中，0为坐标原点，已知点0(1,2),P是动点，且三角形1 1 1P O。的三边所在直线的斜率满足厂+厂=1.R 小。(1)求点P的轨迹C的方程；(2)过尸作倾斜角为6 0。的直线L,交曲线C于/1,8两点，求 Z 0 8 的面积；过点0(1,0)任作两条互相垂直的直线44,分别交轨迹C 于点4 8和 M,N,设线段 4 8,的中点分别为E,F.,求证：直线E/恒过一定点.2 25 9.已知椭圆的方程为卷+亍=1,圆C与x 轴相切于点7(2,0),与轴正半轴相交于A、B两点，且|/同=3,如 图 1.试卷第1 6 页，共 2 0 页（1）求圆C的方程；（2）如 图 1,过点8的直线/与椭圆相交于P、。两点，求证：射线4 8平分NP/。；（3）如图2所示，点M、N 是椭圆的两个顶点，且第三象限的动点R 在椭圆上，若 直 线 与 夕 轴 交 于 点 M i，直线R N 与x 轴交于点乂，试问：四边形的面积是否为定值？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由.6 0.在平面直角坐标系x Q y 中，已知椭圆5+4=1 （a b 0）的右顶点为（2,0）,b离 心 率 为 啦，尸是直线x=4 上任一点，过点M（l,0）且与尸M 垂直的直线交椭圆于2A,8两点.（1）求椭圆的方程；（2）若尸点的坐标为（4,3）,求 弦 的 长 度；（3）设直线以,PM,P 8的斜率分别为Q，左 2,心，问：是否存在常数2,使得左/+依=2 后？若存在，求出入的值；若不存在，说明理由.61.已知等轴双曲线C的两个焦点耳、鸟在直线V =x 上，线段百鸟的中点是坐标原点,且双曲线经过点（3,|）.77（1）若已知下列所给的三个方程中有一个是等轴双曲线。的方程：-49 9 =9；中=；.请推理判断哪个是等轴双曲线C的方程，并求出此双曲线的实轴长；试卷第17页，共 2 0页现要在等轴双曲线。上选一处P 建一座码头，向/(3,3)、3(9,6)两地转运货物.经测算，从尸到A、从 P 到B修建公路的费用都是每单位长度。万元，则码头应建在何处,才能使修建两条公路的总费用最低？6 2.已知动圆C 过定点入(2,0),并且内切于定圆4：(X+2)2+/=3 6.(1)求动圆圆心C 的轨迹方程；(2)若必=8x上存在两个点M,N,(1)中曲线上有两个点P,。，并且N ,F2三点共线，P,Q,鸟三点共线，PQLM N,求四边形尸MQN的面积的最小值.6 3.如果从北大打车到北京车站去接人，聪明的专家一定会选择走四环.虽然从城中间直穿过去看上去很诱人，但考虑到北京的道路几乎总是正南正北的方向，事实上不会真有人认为这样走能抄近路.在城市中，专家估算两点之间的距离时，不会直接去测量两点之间的直线距离，而会去考虑它们相距多少个街区.在理想模型中，假设每条道路都是水平或者竖直的，那么只要你朝着目标走(不故意绕远路)，不管你这样走，花费的路程都是一样的.出租车几何学(taxicab geom etry),所谓的“出租车几何学”是由十九世纪的另一位真专家赫尔曼-闵可夫斯基所创立的.在出租车几何学中，点还是形如(x j)的有序实数对，直线还是满足+如+c=0 的所有(x,y)组成的图形，角度大小的定义也和原来一样.只是直角坐标系内任意两点”(占,必)，8(,必)定义它们之间的一种“距离：|=|阳 7 2|+|%-%|，请解决以下问题：(1)定义：圆”是所有到定点“距离”为定值的点组成的图形，求“圆周”上的所有点到点力)的“距离”均为 的“圆”方程，并作出大致图像；(2)在出租车几何学中，到两点A、8“距离”相等的点的轨迹称为线段N 8的“垂直平分线”，已知点 4(1,3),8(6,9),C(l,9)；写出在线段Z 8 的“垂直平分线”的轨迹方程，并写出大致图像；求证：A4BC三边的“垂直平分线”交于一点(该点称为A/15C的“外心”)，并求出A48C的“外心”.6 4.已知抛物线G:/=2px(P 0),点M(2,0)在G 的焦点厂的右侧，且 M 到G 的准线的距离是到尸距离的3 倍，经过点的直线与抛物线G 交于不同的A、B两点，直线0/与直线x=-2 交于点P,经过点B且与直线O A垂直的直线/交x 轴于点0.(1)求抛物线G 的方程和尸的坐标；(2)判断直线尸。与 直 线 的 位 置 关 系，并说明理由；试卷第18页，共 20页(3)椭圆工+己=1 的两焦点为耳、F2,在椭圆+亡=1 外的抛物线G 上取一点,4 3 4 3若 E F、用的斜率分别为、k2,求-的取值范围.6 5.给定椭圆C：*+1=1(“6 0),称圆心在原点O,半径为JY+6 2 的圆是椭圆。的“伴椭圆”，若椭圆。的一个焦点为尸(0,0),其短轴上一个端点到厂的距离为出.(1)求椭圆。的方程；(2)过点。作椭圆C的“伴随圆 C 的动弦朋7 V,过点屈(士,乂)、N(Z，为)分别作“伴随圆“。的切线，设两切线交于点。，证明：点。的轨迹是直线，并写出该直线的方程;(3)设点P 是椭圆C的“伴随圆”U 上的一个动点，过点尸作椭圆C的切线乙、12,试判断直线4、4 是否垂直？并说明理由.6 6.已知动圆加过定点4(2,0)且在V轴上截得的弦长为4.(1)求动圆M 的圆心 的轨迹的方程；(2)过点A的动直线与曲线r交于8,c 两点，点。在曲线r上，使得A 5 C D 的重心G 在x 轴上，直线8。交x 轴于点。，且点。在点A的右侧，记A 4 8 G 的面积为,A Z)G0 的面积为邑，求富的最小值.6 7.已知椭圆C：6 0)过点尸HJ左、右焦点分别是耳，F工,过名的直线与椭圆交于M,N两点，且 坐 N的周长为8 b.(1)求椭圆C的方程；(2)若点。满 足 丽=丽+平，求四边形耳血N面积的最大值.6 8.过点尸(2,-1)的直线/分别交y =g x(x 2 0)与y =-2 x(x N 0)于A、8两点.(1)设A点的坐标为(2 a,a),用实数“表示B点的坐标，并求实数的取值范围；(2)设。0 8 的 面 积 为 求 直 线/的 方 程；(3)当|己4|忖即最小时，求直线/的方程.6 9.已知抛物线C:/=4x的焦点为尸，4为 C上异于原点的任意一点，以点尸为圆心且 过 点/的 圆 M 与x轴正半轴交于点8,的延长线交C于点。，/斤的延长线交C于点E.试卷第19页，共 2 0页(2)求圆M的方程;若 线 段 的 中 点 为G,求证：E G x轴;(3)&4 D E的面积是否存在最小值？若存在，请求出此最小值；若不存在，请说明理由.2 270.已知双曲线C：._ _=i(a 0,/0),设尸是双曲线C上任意一点，。为坐标原点，下为双曲线右焦点，4，4为双曲线的左右顶点.(1)已知：无论点P在右支的何处，总有归。|归尸|a(2)设过右焦点厂的直线/交双曲线于M,N两点，若存在直线/,使得A O M V为等边三角形，求与的值;(3)若a=2,b=B 动点。在双曲线上，且与双曲线的顶点不重合，直线。4和直线。4与直线/:X=1分别相交于点s和7,试问：是否存在定点E,使得E S L E T恒成立？若存在，请求出定点E的坐标；若不存在，试说明理由.试卷第2 0页，共2 0页参考答案:1.(1)土+匕=1(2)见解析4 3【解析】(1)由题可知b 值，由右焦点到直线工=的距离为3表示-c =3,和构建c C方程组，求得“，即可求得椭圆E的标准方程；(2)设直线4 的方程为=履+1,联立直线方程与椭圆方程，即可表示点的坐标，由4,/,垂直，则将M坐 标 中 的 人 换 成 即可表示N 点坐标，再利用两点坐标分别表示h与KkN P,观察即可证明.【详解】(1)由题意知，c =3,6=a2=b2+c2 rc解得 4 =2,b=y/3 J c =l.所以椭圆的标准方程为二+广=1 .4 3(2)显然直线4，4的斜率存在.设直线4 的方程为歹=履+1,y =k x+y/3联立方程组Y 2-F =14 3,得（4 r+3 卜2+8限3 0,所以8瓜 二-4辰+3加4r+3，工”4 公+3-由4，4 垂直，可得直线4的方程为N=-：X+LK用 替 换 前 式 中 的 k,可 得/=鲤 勺，3折：-4行k 3/+4 八 3 左 2+4答案第1页，共 12 2 页3辰-尤 V 3k_ 3 +4 _ 万 _ 3-3N P 丽 一 丁3 8+4所以kM P=k、,p,故 直 线MN恒 过 定 点 尸0-【点 睛】本题考查在椭圆中的过定点问题，常联立方程表示椭圆弦的点坐标，从而证明，还考查了求椭圆的标准方程，属于难题.2.(1)%=-1 (2)见解析，最 小 值 为3 2.【解 析】(1)设 直线/：y =A x+l,联 立 直 线/与 抛 物 线 方 程，由韦达定理可得根与系数的关系，利用导数的几何意义表示4，4的斜率，进而表示乙，4的方程，联立两直线的方程表示交点坐 标，即可求得答案；(2)由 两 点 坐 标 分 别 表 示/，万，由 苏.方=0可 知 由 抛 物 线 的 焦 点 弦 弦 长公式表示|/5|和|M N|,因为A/N 1 Z 5,所 以 由54“加=；|48|班|表 示 四 边 形/“8 的面 积，最后由均值不等式求得最小值.【详 解】(1)设/(再，必),8(孙 力)，直 线/：了 =履+1，所以X二，得-4履-4=0,所以y=kx+Xi+W=4kx1x2=-4由J=4y=y =；x,所 以4：一 必=；玉(工一再)，即4：y=；X|X手，同理/2?=；_今，联 立 得.%=七%十 工=2 =07v_ 中2 _ 九一 4 一即%=7.(2)因 为。尸=(,-2),/8=(-再,必-必),)2 2 2 7所 以 存 方=工|二-2(兀-8)=五 于 一”晨0，答 案 第2页，共1 2 2页Q F V A B,即 MN 1 ,zv 4|AB|=yx+8 +2 =左(玉+工2)+4=4左 +4,同理|A/N|=+4,kSA M B N=AB MN=?,k2+)(卜 8 3+5 +2 4 3 2当且仅当 =1 时，四边形NM8 N面积的最小值为32.【点睛】本题考查椭圆的焦点弦问题，还考查了借助导数的几何意义表示切线方程以及平面图形面积的最值问题，属于难题.2 23.(1)+-=1；(2)证明见解析；(3)8 4【解析】【分析】(1)由抛物线/=8 y 的焦点为：(2,0),故6 =2,可得椭圆C的方程；(2)由。尸_ L P 7,可得：kQP-kP T=-,直线尸7的方程y-Z =-2(x-x 0),联立直线与y o椭圆可得T 点坐标，写出。7 的方程，令y=0,可得X =X 0,进而的出结论.(3)分别用坐标表示E与5,再分析取值范围即可.【详解】(1)抛物线 2=8 y 的焦点为：(2,0),故6 =2,2 2椭圆c的方程为：+=1；8 4(2)由 O P _ L P T,可得：kop-kP T=-1 ,即 耳，左=一1,k pT=一鼠,y o可得直线P T 的方程：y-线=-&(x-x“)，即：y =-x+-+y0,Hy 匕联立直线尸7与椭圆的方程可得：2 r 2 4r3 4(1 +f)x 2 _(T+4x.)x+-2打2 +4X；-8=0,y0 yo yo可得+X r =4x+4x j J，可得:_2V+3A-JV答案第3页，共 1 2 2 页可得：“一 言 笠磐+二宜 五7可得:2XJ+3X J”3 yo2+2 xo2 o2+2v 2 -2+yo故直线Q T的方程为：y+匕=丁；+；,-8+X。)，2匕+3x j J ,一令y=o,可得x =x 0,故M(x 0,O),p _ L x轴;S M=O M P M=xuy ,邑”=S刖+S/+S“s=上 卜*M 眄卜加/f|=3氏归+今兀然|+5 归一”=|x j/+g卜!?2 故:扣M ,S?S Q T|同|线|兄2I L+24 2L2y oyj+2 521 +故髀09.【点睛】本题主要考查椭圆的性质及椭圆的标准方程、直线与椭圆的综合问题，综合性大，属于难题.4.(1)?+/=1；(2)见解析；(3)SA3LZ百【解析】【分析】(1)由条件可得 =且，-2 a-2/)=4,联立2=6 2+。2解出即可“2 2(2)设直线AW：y =k x +b,%(%,乂)，N(X”,)，联立直线与椭圆的方程消元可得X 1 +%=:，弊;和g =:1,由可得从 而 得 出 无 或-4A2+1 1 2 4M+1 *-2 X2-2 6k =-；b即可(3)分4斜率为0和4斜率不为0两种情况讨论，当4斜率不为0时，设4：y =k x-,则公答案第4页，共1 2 2页y=-1 x-i,然 后 用 力 分 别 表 示 出 忸C|和|QZ)|即 可【详 解】(1)由 题 意 得6=,2a-26=4,a 2 2a1=b2+C11*-a2=4 b2=1椭 圆 的 方 程 为E +/=l4(2)由 题 意 得4 2,0),设直线A/N：y =k x +b ,加(%,乂)，N(x2,y2,)y =k x +bX2 27+r(4 k2+l)x2+S k b x +4 b2-4 =0.A0Xi+X2-8 k b-43+14b2-44公+1再=A M _L A N n k,.,k,1,-:14*N xt-2 X2-2.12公 +16a +5廿=o,.上=-或4=-62当 左 二-人 时，TV过定 点(,0),当 左=-；方 时，M N过定点(2,0)(舍).直线M N过定点即)(3)当4斜率为0时，忸Cj|0|=；x2百x2=2百当4斜率不为。时，设4：y =k x-(k 0)则人：y =Tx fk：二；:4 n 俨+1卜2-2依-3=0,忸.缥 泮 x=0,令4+公=加，/we(4,+00),S48co=8答案第5页，共122页上 _ 1 3 H。1 6.1 3当加一彳 时，A