全国初中数学联赛试题详解.pdf

全国初中数学联赛试题详解前言1981年，中国数学会开始举办“高中数学联赛”，经 过1981、1982、1983三年的实践，这-群众性的数学竞赛活动得到了全国广大中学师生欢迎，也得到了教育行政部门、各级科学技术协会、以及社会各阶层人士的肯定和支持。试题所涉及的知识范围不超出现行教学大纲”这一命题原则，也得到了更多的理解和拥护，由此“高中数学联赛”已形成制度。同时，全国各地都提出了举行“初中数学联赛”的要求。1984年，中国数学学会普及工作委员会商定，委托天津市数学会举办一次初中数学邀请赛，有14个省、市、自治区参加，当时条件较简陋，准备时间也较仓促，但天津数学会的同志，在南开大学数学系和天津师范大学数学系的大力支持下，极其认真负责地把这次活动搞得很成功，为后来举办“初中数学联赛”摸索了很多经验。当 年11月，在宁波召开的中国数学会第三次普及工作会议时，致通过了举办“初中数学联赛”的决定，并详细商定了一些具体办法，规定每年四月的第一个星期天举行“初中数学联赛”。会上湖北省数学会、山西省数学会、黑龙江省数学会分别主动承担了 1985年、1986年、1987年 的“初中数学联赛”主办工作，从此，“初中数学联赛”也形成了制度。初中数学联赛原来 不 分 试、二试。为了更好地贯彻“在普及的基础上不断提高”的方针，1989年7月，在济南召开的“数学竞赛命题研讨会”上，各地的代表商定，初中联赛也分两试进行，并对一落千丈、二试各种题型的数目，以及评分标准作出明确的规定，使初中联赛的试卷走向规范化。中国数学会所举办的全国高中数学联赛、全国初中数学联赛，以及小学数学奥林匹克，都是群众性的数学课外活动，是大众化、普及型的数学竞赛。高中联赛与全国中学生数学冬令营业员衔接，有“选拔”的作用，但初中联赛没有类似的作用，因此，更具有“面向大多数”的特点。目前，每年有12万名学生参加。为了让更多学生都能发挥他们的聪明才智，培养兴趣，充分发掘他们学习上的潜力，调动学习数学的积极性，我们力求让试题能够适合全国多数参赛学生。从1991年起，我们力求降低试题的难度。题目不难，又要有点意思，还要有竞赛气氛，要做到是不容易的。1993年，由内蒙古数学会主办初中联赛，内蒙古数学会主要负责人都参加了命题工作，对试题反复进行修改，在试题的通俗化上下了很大功夫，因此，试题很受称赞。所 谓“联赛”，就是各省、市、自治区联合举办，轮流做庄，大家提供试题，“联赛”充满着协作精神。从1984年 至1993年这十年的试题，凝聚着全国许许多多数学工作者的心血，特别是主办单位更是认真负责，不辞辛劳，借此机会，我代表中国数学会普及工作委员会向所有 为“初中数学联赛”作出努力和给予支持的同志表示崇高敬礼。在每届主办省、市、自治区数学会精心作出的试题解答的基础上，由中国数学会普及工作委员会两位副主任；刘玉翘先生、魏有先生执笔完成了这本试题集。这是中国数学会首次公开初中联赛的试题和解答。缺点和错误恐怕难免，请广大读者不吝指教！裘宗沪1993年12月修订说明由中国数学会普及工作委员会组织一批中国数学奥林匹克高级教练员编写的 全国初中数学联赛试题详解，自1994年问世至今，经全国各地许多奥校以及各级各类学校的广大数学爱好者使用以后，无论在内容形式上和装帧设计上均给予好评。不少读者指名要购买此书。为了提高本书的质量，不辜负广大读者的厚爱，应广大读者要求，我 们 对 全国初中数学联赛试题详解中存在的不足进行了技术上的修订。第一次修订我们除对书中存在的问题进行了纠正和调整，更主要的是对1994年以后的试题进行了增补，还对开本和版式做了更改和变动，并把书名更改为 历届全国初中数学联赛试题详解。这次修订，则是在第一次修订的基础上增补了近两年的竞赛试题，书 名 更 改 为 最新全国初中数学联赛试题详解，以满足广大数学爱好者的需要。真诚地希望广大读者继续关心和使用本书，并对书中的不足批评指正，使之不断完善。目录试题部分一九八四年一九八五年一九八六年一九八七年一九八八年一九八九年一九九O年一九九一年一九九二年一九九三年一九九四年一九九五年一九九六年一九九七年一九九八年一九九九年二 0 0 0 年解答部分一九八四年一九八五年一九八六年一九八七年一九八八年一九八九年一九九0年一九九一年一九九二年一九九三年一九九四年一九九五年一九九六年一九九七年一九九八年一九九九年二 0 0 0 年附 录 1中国数学会普及工作委员会简介附录2初中数学竞赛大纲(修订稿)试题部分一九八四年一、选择题1.若则(A)a 0；(B)a 0；(C)a -l；(D)-l a S4S6(B)S6S4 S3(C)S6 S3S4(D)S3 S6S4(E)S4 S6S3答()4.如图，直线h 和 k 上点的坐标(x,y)满足关系式(A)lxl+lyl=0；(B)1 x 1+7/=1；(C)x2-lyl=l；(D)lxl+lyl=0：(E)x-lyl=05.方程 x?+l984513x+3154891=0(A)没有实数根；(B)有整数根；(C)有正数根；(D)两根的倒数和小于-1；(E)以上结论都不对。答（）6 .Z S A B C 的三条外角平分线相交成一个 L M N,则ALMN（A）一定是直角三角形；（B）一定是钝角三角形；（C）一定是锐角三角形；（D）不一定是锐角三角形；（E）一定不是锐角三角形。答（）7 .已知方程2 x 2+k x-2 k+l=0 的两实根的平方和为2 9/4,则 k的值为（A）3；（B）-1 1；（C）3 或-1 1；（D）1 1；（E）以上结论都不对。答（）8.一个两位数，交换它的十位数字与个位数字所得的两位数是原来数的7/4 倍，则这样的两位数有（A）1 4-（B）2 个；（C）4 个；（D）无数多个；（E）0 个。答（）9 .半径为1 3 和半径为5的两个圆相交，圆心距为1 2,则这两圆公共弦长为（A）3A/T T ；（B）6 5/6；（C）4 后；（D）10；（E）以上结论都不对。答（）10.下列哪一个数一定不是某个自然数的平方（其中n为自然数）（A）3n2-3n+3；（B）4 n2+4 n+4；（C）5 n2-5 n-5；（D）7 n2-7 n+7；（E）l l n2+l l n-l l.,答（）二、试推导出一元二次方程ax 2+bx+c=0（a#0）的求根公式。三、已知：A=6 l g p+l g q,其中p、q 为质数，且满足q-p=29。求证：3 V A 4。四、已知：如图，AB=BC=C A=AD,AH _LC D 于 H,C P J _BC 交 A H 于 P。求证：ZABC的面积S=-AP B D。4A五、在锐角A A B C中，AC=1,AB=c,4A B C的外接圆半径长R W 1。求证:c o sA q）的球五个，涂红、白、黑三种颜色，其中，两个红球重量不同：两个白球重量也不同：一个黑球不知它的重量是p还是q。由于从外形上不能确定球的轻重，请你用一台无祛码的天平（只能比较轻重，不能称出具体重量）称两次,将 5个球的轻重都区分出来。试叙述你的称球办法，并说明理由。提示：用天平称球比较重量的结果，可用等号或不等号表示。一九八五年一、选择题1.设A B C D为圆内接四边形，现在给出四个关系式（1）si n A=si n C;（2）si n A+si n C=O;（3）c o sB+c o sD=0;（4）c o sB=c o sD 其中总能成立的关系式的个数是（A）个；（B）两个；（C）三个；（D）四个。答（）2.若n是大于1的整数，则p=n+（2-1）2 的值（A）一定是偶数；（B）一定是奇数；（C）是偶数但不是2；（D）可以是偶数也可以是奇数。答（）3.在平行四边形A B C D中，P为B C的中点，过P作B D的平行线交CD于Q,连P A、P D、Q A、Q B,则图中与4 A B P面积相等的三角形，除4 A B P外还有A DB P C（A）三个；（B）四个；（C）五个；（D）六个。答（）4 .函数y=l-l x-x 2|的图像大致形状是（A）图1中的实线部分；（B）图2中的实线部分;(C)图 3 中的实线部分；(D)图 4中的实线部分。5.x 表示取数x的整数部分，例如15/4 =3等，若X=1,x=2,x=3,x=4,8,5,6,7,11,14 时,y=l；12,15 时，y=2；9,16 时、y=3；10,13 时,y=0o则表达式中的u 等于6.如图，在等腰a A B C中，CD是底边A B 上的高，E是腰B C的中点，A E交 CD于 F,现在给出三条路线:(a)A f F-Cf E f B f Df A；(b)A-C-E-B-D-F-A；(c)A f Df B f Ef Ff Cf A。设它们的长度分别为L(a),L(b),L(c),那么下列三种关系 式:L(a)L (b)L (c)中，一定能够成立的个数是(A)0 令(B)1 个；(C)2 个；(D)3 个。1.设 a-b=2+百,b-c=2-7 3,则 aZ+bZQ ab-bc-c a 的 值 为()。2.设方程x 2-4 02x+k=0的一根加3,即为另一根的8 0倍。那么k=()。3.有甲、乙、丙三种货物，若购甲3 件，乙 7件，丙 1 件，共需3.1 5 元；若购甲4件，乙1 0 件，丙 1 件，共需4.2 0 元。现在购甲、乙、丙 各 1 件 共 需()元。4 .不等式4 2 x?+a x a 2 的 解 为()。5 .已知x(x#0,1)和 1 两个数，如果只许用加法、减法，1 作被除数的除法三种运算(可以使用括号)，经过六步算出x?,那么计算的表达式是()。6 .在正实数集上定义一个运算*,其规则为：当 a 2 b 时，a*b=ba；当 a b时，a*b=b 2。根据这个原则，方程3*x=2 7 的 解 是()。三、如图，O 为凸五边形 A B C D E 内一点，且N l =/2,Z 3=Z 4,Z 5=Z 6,Z 7=Z 8O求证：N9与/1 0 相等或互补。8/1O B四、如图。0卜。2 外切于A,半径分别为n 和 摩 P B、P C 分别为两圆的切线，B、C为切点；PB：PC=r,：r2；又 PA 交。O 2 于 E 点。求证：PA BSZP EC。五、有一长、宽、高分别为正整数m、n、r(m W n W r)的长方体，表面涂上红色后切成棱长 为 1 的正方体，已知不带红色的正方体个数与两面带红色的正方体个数之和，减去一面带红的正方体个数得1 9 8 5。求 m、n、r的值。一九八六年一、选择题1 .已知l og xa=a (a 为大于1 的正整数)，则 x 的值为:(Ig。)(Iga)a。,(A)1 0a，s：,：(B)1 0 J:(C)1 0 u；(D)I。“12 .如果 a 0 (B)KO(C)1=0 (D)当 n 取不同的值时，以上三种情况都可能出现。答()5 .四边形ABCD的边A B,B C,C D,DA之长分别是1,9,8,6(如图)，对于以下命题:a.四边形A BCD外切于圆；八 Db.四边形A B C D不内接于圆；c.对角线不互相垂直：d.N A D C 2 9 0 ；e.AB C D是等腰三角形。正确的认识是（A）a真、b假、d真（B）c真、d假、e真;（C）c真、d假、e假；（D）b假、c假、d真。答（）6.如图，等腰梯形A B C D的对角线相交于点O,O B C、O C D、Z O D A及梯形A B C D的面积分别为S i、S 2、S 3、S,对于以下三个结论：a.已知S i：S,就可以求出A D：B C；b.已 知（S 1+S 2）：S,就可以求出A D：B C；c.已知S 2：S,就可以求出A D：B C o正确的认识是（A）只有a是正确的；（B）只有b是正确的；（C）只有a、b是正确的；（D）a、b、c都是正确的。二、填空题1 .如果方程x2+px+q=0的一根为另一根的2倍，那么p、q所满足的关系式是（）。2 .如图，在直角AABC中，A C=B C,5示 的 圆心为A,如果图中两个阴影部分的面积相等，那么 A D：D B=（）。ADBCEF3 .将自然数N接写在每 个自然数的右面（例如，将2接写在3 5的右面得3 52）,如果得到的新数都能被N整除，那 么N称为魔术数，在 小 于13 0的自然数中，魔术数的个数为（）o4 .设a,b,c,d都是整数，且m=a 2+b 2,n=c2+d2,则m n也可表示成两个整数的平方和，其形式是：m n=（）5.若x=719-873 ,则分式X4-6X3-2X2+18X+23x2-8x+156.已知抛物线y=-x，2x+8与x轴交于B、C两点，点D平分B C,若在x轴上侧的A点,为抛物线上的动点，且NBAC为锐角，则 A D 的取值范围是（）。三、设 P、Q 为线段BC上两定点，且 BP=CQ,A 为 BC外一动点（如图），当点A 运动到使NBAP=/CA Q时，ABC是什么三角形？试证明你的结论。四、设 a,b,c 是三个互不相等的正整数，求证：在 a3b-ab3,bc-tx?,c3a-ca3三个数中，至少有一个数能被10整除。一九八七年第一试一、选择题1.已知实数a,b,c 满足a+b+c=0,abc=8,那么！+，+的值a b c（A）是正数；（B）是零；（C）是负数；（D）正、负不能确定。2.在一条直线上已知四个不同的点依次是A,B,C,D,那么到A,B,C,D 的距离之和最小的点（A）可以是直线AD上的某一点；（B）只是B 点或C 点（C）只是线段AD的中点；（D）有无穷多个。3.如图，A B是半圆的直径，。是圆心，CD1AB,DEOC 如果 AD,BD 和 CD的长都是有理数，那么命题甲：O E的长是有理数。乙：D E的长是有理数。丙：图中所有字母表示的线段的长都是有理数。（A）只有甲正确；（B）只有乙正确；（C）只有甲、乙正确；（D）甲、乙、丙都正确。IA D O4.已知方程lxl=ax+l有一个负根而且没有正根，那么a 的取值范围是（A）a -l；（B）a=l；（C）a 2 l；（D）非上述答案。5.己知四边形ABCD内有一点E,连 接 AE,BE,CE,D E,将四边形ABCD分成四个面积相等的三角形，那么命题甲：ABCD是凸四边形；乙：E 是对角线A C的中点或对角线BD 的中点；丙：A BC D 是平行四边形。在以上三条中（A）只有甲正确；（B）只有乙正确；（C）甲、乙、丙都正确；（D）甲、乙、丙都不正确。答（）6.把 由 1 开始自然数依次写下去，直写到第19 8位为止：-V-1 2 3 4 5 6 7 89 10 11 12-19 8位那么这个数用9除的余数是（A）4；（B）6；（C）7；（D）非上述答案。答（）二、填空题1.在三边长是连续自然数，周长不超过100的三角形中，锐角三角形的个数是（）。2.设 a、b、c 分别是AABC的三个角N A,/B。NC所对边的长，而且N A=60,那么-c +bL的 值 是（）oa+b a+c3 .a 表示不大于数a的最大整数，例如 后 =1,-后 =-2。那么方程 3 x+l =2x 的所2有根的和是（）。4 .设 自 然 数 n有下面性质：从 1,2,，n中任取50个不同的数，这 50个数中必有两个数之差等于7,这样的n 最大的一个是（）。5.有一个五位正奇数X,将 x中的所有2 都换成5,所有5 都换成2,其他数字不变，得到一个新的五位数，记作y,若 x和 y 满足等于y=2（x+1）,那 么 x是（）。弟一试一、当 a,b 为何值时，方程 x 2+2（l+a）x+（3 a?+4 a b+4 b?+2）=0 有实根？二、已知：D 是A A B C 的边 A C 上的一点，A D：C D=2：1,Z C=4 5,N A D B=60。求证：AB是4BCD的外接圆的切线。三、已知存在正整数n,能使数1111被 19 87整除。求证：数yn个p=l l-l l 9 9-9 9 88-88 77-77yy y-n个 n个 n个 n个和 q=l l -11 9 9 9 9 8888 77-77y n+l 个 n+1个 n+1个 n+1个都能被19 87整除。一九八八年第一试一、选择题1 .下 面四个数中最大的是(A)t g 4 8 +ct g 4 8 0(B)s i n 4 8 +cos 4 8 (C)t g 4 8 +cos 4 8 (D)ct g 4 8 0+s i n 4 8 答()2.在实数范围内，设 1988J伍一2)(0-1)+版”2)(2 +汩。则x的个位数字是1 +J_-1-a )（A）1 （B）2（C）4 （D）63.如图，在直角梯形AB CD中，A B=7,A D=2,B C=3,如果边 A 耻的点 P使得以P、A、D为顶点的三角形和以 P、B、C为顶点的三角形相似，那么这样的点P有（A）1 个（B）2 个（C）3 个（D）4 个4 .下面有四个命题：（1）一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边行；（2）一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形;（3）一组对角相等且这一组对角的顶点所连接的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；（4）一组对角相等且这一组对角的顶点所连接的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形。其中，正确的命题的个数是(A)(1)；(B)(2)；(C)(3)；(D)(4)o二、填空题答（）1 .如 果 质 数 p、q满足关系式3P+5 q=31,那么，l og 2一的 值 是（）。3q +12.如图，AAB C的边A B=2,A C=3,I、I I、I I I 分别表示以A B、B C、CA为边的正方形,则图中三个阴影部分面积的和的最大值是（）。IIB2IC 3 AIII3.如果自然数 X ,X 2，X 3，X 4，X 5 满足 X|+X2+X3+X4+X5=X|X 2X 3X 4 X 5。刃 口 X5 的最大值是（）。A4 .如图，A、B、C、D四点在同一圆周上,且 BC=C D=4,A E=6,线段B E和 DE的长都是正整数，则 B D的长等于（）o第二试一、一串数1,4,7,1 0,6 9 7,7 00的规律是：第一个数是1,以后的每一个数等于它前面的一个数加3,直 到 7 00为止，将所有这些数相乘，试求所得数的尾部零的个数，（例如 1 2003000尾部零的个数是3）。二、如果p,q,女 二 1,竺二1都是整数，并且p l,q l,试求p+q 的值。q p三、如图，ap aR和a p Q R是两个全等的等边三角形，六边形ABCDEF的边长分别记为 A B=a BC=b ,C D=a 2，D E=b 2,E F=33,F A=6 30求证：af+a；+a；=b；+b；+。；。一九八九年第一试-、选择题1 .已知最简根式a而 万 与“斫 是 同 类 根 式，则满足条件的a,b的值(A)不存在；(B)有一组；(C)有两组；(D)多于两组。答()2.如 果 关 于x的 方 程m x2-2(m+2)x+m+5=0,没 有 实 数 根，那 么 关 于x的方程(m-5)x2-2(m+2)x+m=0 的实根个数为(A)2；(B)1；(C)0；(D)不确定。3.已知二次函数y=a x 2+b x+c的图像如图所示，则下列6个代数式a b,a c,a+b+c,a-b+c.2a+b,2a-b 中，其值为正的式子个数为(A)2 金(B)3 个；(C)4 个；(D)4 个以上。答()答()4 .在三角形内(不在边上)有3个点，连同原三角形的3个顶点，共有6个点，以这六个点为顶点作出所有不重叠的三角形，如果这6个点中无三点共线，所有三角形的个数为m，那么(A)n0=r i|=n 2；(B)n o n,n 2；(C)n o n i 2n 2：(D)n()N n i n 2。答()5.水池装有编号为a,b,c,d,e的5条水管，其中有些是进水管，有些是出水管，如果同时开放两条水管，注满水池的时间如下表：那么单开一条水管，最快注满水池的水管编号为(A)a：(B)b；(C)d：(D)c 或 e。开放水管号a bb cc、dd、ee a注满水池的时间(小时)21 5631 0答()二、填空题1.如图，四边形A B C D中，点E,F分别在BC,C D k,DFFC面枳为CE1,=2,若4 A D F 的EBm,四边形A E C F的面积为n (n m),则四边形A B C D面 积 为(2.在十进位中，各位数码是。或1,并且能被225整除的最小自然数是(3.已知x、y都是大于1 0的实数，I g x的首数是a,尾数是b；I g y的首数是c,尾数是d,且1 1 -a l+J c-4 =1,b+d=1，则 x y=()o4 .已知三角形的外接圆半径为4 cm,一个内角为6 0 ,夹这个角的两边之差为4c m,那么,这个三角形的面积为()c m。5.如图，正方形A B C D的中心为0,面积为19 8 9 c m 2,P为正方形内一点，且N O P B=45,P A：P B=5：14,贝ij P B=()c m。第二试一、如图，Z AB C中，D,E分别是边B C,A B上的点，且N 1=N 2=N 3,如果AAB C,E B D,Z AD C的周长依次为m,m”m2,证明：山上ffl 4二、首项系数不相等的两个二次方程(a-1)x2-(a2+2)x+(a2+2 a)=0 及(b-1)x2-(b2+2)x+(b2+2 a)=0(其中a,b为正整数)有 个公共根。a+b求1-的值。a-b+b-a三、设A”A2,A3,A4,AS，A6是平面上的六点，其中任三点不共线。(1)如果这些点之间任意连接13条线段，证明：必存在4点，它们每两点之间都有线段连接。(2)如果这些点之间只连有12条线段，请你画出一个图形，证 明(1)的结论不成立必用文字说明)。(不一九九O年第一试一、选择题1.31 +31 +三2的 值 是1 +V3 1-V3 1 +V3(A)1；(B)-1；(C)2；(D)-2 o答()2 .在A A B C中，A D是高，J.AD2=B D -C D,那么N B A C的度数是(A)小于9 0；(B)等于9 0 ；(C)大于9 0 ；(D)不确定。答()3 .方程 7 x 2-(k+13)x+k 2-k-2=0(k 是实数)有两个实根 a、0,g.0 a 1,1 p 2,那么k的取值范围是(A)3 k 4；(B)-2 k-l；(C)3 k V4 或-2 Vk-l；(D)无解。答()4.恰 有 35个连续自然数的算术平方根的整数部分相同，那么这个相同整数是(A)17；(B)18；(C)35；(D)36。答()5.AABC中，AB=2&,AC=收,B C=2,设 P 为 BC边上任一点，则(A)PA2PB PC；(D)PA?与 PB PC 的大小关系并不确定。答()6.若六边形的周长等于2 0,各边长都是整数，且以它的任意三条边为边都不能构成三角形,那么，这样的六边形(A)不存在；(B)只有一个；(C)有有限个，但不只一个；(D)有无穷多个。答()7.若 logab的尾数是零，且 loga4 loga、/份 10gba2,那么下列四个结论：h(I)yb a2；(2)logab+logba=0；h中，正确的结论的个数是(A)1；(B)2；(C)3；(D)4o8.如图，点 P,Q,R 分别在AABC的边AB、BC、CA 上，且 BP=PQ=QR=RC=1,那么，AABC面积的最大值是(A)飞；(B)2；(C)底(D)3。二、填空题1-1 r2+l1.已知/+X 2=8,则-=()。(3)0 a b l；(4)ab-l=0。()答()x2.I2,22,3 2,，1234567892的和的个位数的数字是()3.方 程(x-a)(x-8)-1=0,有两个整数根，则 2=(4.AABC中，AB=AC=2,BC边 有 100个不同的点P”P2，Pioo,记明=人口2+8但 召C2,，100),则 mi+m2+mi()o=()。(1=1,第二试一、已知在凸五边形 ABCDE 中，NBAE=3a,BC=CD=DE,K Z BCD=ZCDE=180-2 a,求证：ZBAC=ZCAD=ZDAEoABEC D二、x 表示不超过实数X的最大整数，令 x =x-x (1)找出一个实数X,满足 x +L =l；X(2)证明：满足上述等式的x,都不是有理数。三、设有2 n x 2 n 的正方形方格棋盘，在其中任意的3 n 个方格中各有一枚棋子。求证：可以选出n行和n列，使得3 n 枚棋子都在这n行和n列中。一九九一年第一试一、选择题1.设等式J a(x-a)+J a(y-a)=J x a -a-y在实数范围内成立,其中a,x,y是两两不同的实数，则 以 +*)：的值是x 一盯+y(A)3；(B)1/3；(C)2；(D)5/3 o2 .如图，AB E F C D,已知 AB=2 0,C D=8 0,B C=1O O,那么E F 的值是(A)10；(B)12；(C)16；(D)18。3 .方程x 2-l x l-l=0的解是3 上好*i2 2 2答()4.已知：x=-(19 9 1；-1 9 9 f；)(n 是自然数)，那么，)n 的值是2(A)19 9 11；(B)-19 9 1；(C)(-1)n19 9 1；(D)(-1)n19 9 r.,答()5.若 1 X 2 X 3 X 义9 9 义100=12 1,斛 M 为自然数，n为使得等式成立的最大的自然数,则 M(A)能被2整除，但不能被3瞬；(B)能被3整除，但不能被2整除；(C)能被4 整除，但不能被3瞬；(D)不能被3 整除，也不能被2 整除。答()6 .若 a,c,d是整数，b是正整数，且满足a+b=c,b+c=d,c+d=a,那 么 a+b+c+d的最大值是(A)-1；(B)-5；(C)0；(D)l o7 .如图，正方形O P Q R 内接于A B C,已知 A O R、Z X B O P 和AC PQ 的面积分别是S=L$2=3 和 S3=1,那么,正方形O P Q R 的边长是(A)V2 (B)(C)2 (D)3答()8.在锐角 A A B C 中，A C=1,A B=c,N A=6 0 ,A B C 的外接圆半径 R 1,贝 i j(A)-c 2 (B)02 (D)c=2。2 2答()二、填空题1 .E 是平行四边形ABC D中 BC 边的中点，AE 交对角线BD于 G,如果4 BE G的面积是1,则平行四边形ABC D的面积是()。2 .已知关于x的一元二次方程a x 2+b x+c=0 没有实数解。甲由于看错了二次项系数，误求得两根为2和 4；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为-1 和 4,那么，2 b +3 c ,、3 .设 m,n,p,q为非负整数，且对一切x 0,十0“一 1 =。+恒成立,xn xq则(n?+2 n+p)2 q=()o4.四边形 A B C D 中，Z A B C=1 3 5,Z B CD=1 2 0 ，A B=V 6 ,B C=5-飞，C D=6,则AD=()o第二试一、实数X与 y,使得x+y,x-y,x y,x/y 四个数中的三个有相同的数值，求出所有具有这样性质的数对(x,y)二、Z X A B C 中，A B V A C V B C,D点在BC 上，E 点在BA的延长线上，且 B D=B E=A C,B D E 的外接圆与Z A B C 的外接圆交于F点(如图)。求证：B F=A F+CFBD三、将正方形A BC D分割为M个相等的小方格(n 是自然数)，把相对的顶点A,C 染成红色，把 B,D染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色，证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数。一九九二年第一试一、选择题1 .满足l a-b l+a b=l 的非负整数对(a,b)的个数是(A)1；(B)2；(C)3；(D)4。答()2 .若 x o 是一元二次方程a x,b x+c H H a#。)的根，贝 I J 判别式=b?-4a c 与平方式M=(2 a x0+b)2 的关系是(A)A M(B)A=M(C)A 0)的图像与反比例函数y=与x(k 0)的图像分别相交于A点和C点。若 R t A A O B 和 R t z CO D 的面积分别为S)和 S2,则 Si与 S2的关系是(A)S|S2 (B)S1=S2(C)S,S2(D)不确定。6 .在一个由8X8个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4 的圆，若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为S,把圆周经过的所有小方格的圆外部分的面积之和记为S2,则二二的整数部分是(A)0；(B)1；(C)2；(D)3。7 .如图，在等腰梯形ABC D中，A B CD,A B=2 CD,Z A=6 0 ,又 E 是底边AB上一点，且 F E=F B=A C,F A=A B,贝 lj A E：EB 等于(A)1：2；(B)1：3；(C)2：5：(D)3：1 0。8.设 X,x2,x3,答()，X9 均为正整数，且 XiX 2V a 2 a 3 a 4 a 5，则x”x2,x3,X4,X5的大小顺序是(A)X|X 2 X 3 X4 X5(B)X4 X 2 X|X 3 X5(C)X 3 X|X4 X 2 X 5 (D)X 5 X 3 X|X4X2答()5 .不等式x-l (x-1)2 3 x+7的整数解的个数(A)等于4；(B)小于4；(C)大于5；(D)等于5。)6 .如图，在AA B C中，N A是钝角，0 是垂心，A O=B C o 贝ij c os (Z OB C+Z O C B)的值是V 2 V 2 V 3(A)-(B)(C)(D)2 2 22答()7 .如图，锐角三角形A B C的三边是a,b,c,它的外心到三边的距离分别为m,n,p,那么m：n：p等于(A):(B)a：b：ca h c(C)c os A：c os B：c os C (D)s in A；s in B：s in C o(A)V 3(V 2 +1)(B)V 3(V 2-1)(C)(V 2-1)(D)(V 2+1)答()二、填空题3尤2 +6 x +51.当x变化时，分式4上 一 的 最 小 值 是()。-x2+X+122 .放有小球的1 9 9 3个盒子从左到右排成一行，如果最左面的盒里有7个小球，且福四个相邻的盒里共有3 0个小球，那么最右面的盒里有()个小球。3 .若 方 程(x2-l)(X2-4)=k有四个非零实根，且它们在数轴上对应的四个点等距排列，则k=()0,X|X2 0 o(1)求证：x,0,x2 0,X|0,X2 0；(2)求证：b-l c W b+l；(3)求 b,c 所有可能的值。一九九四年第一试一、选择题1 .若 0 a V l,则 J/+(l+3x 可化简为V a2-2 a l+a(A)(B)(C)1-a2(D)a2-l1 +a a+1答()2 .设 a,b,c 是不全相等的任意实数。若 x=a L b c,y=b2-c a,z=c2-a b,贝 U x,y,z(A)都不小于0；(B)都不大于0；(C)至少有一个小于0；(D)至少有一个大于0。答()3 .如图，半圆O 的直径在梯形 一 了ABCD的底边AB上，且与 其余三边B C,C D,DA相切。/、/若 B C=2,D A=3,则 A B 的长 A-1-B-(A)等于4；(B)等于5；(C)等于6；(D)不能确定。答()4.当 x=,1991 时,多 项 式(4*3一 997x-1994)20i 的值为2(A)1；(B)-1；(C)2200；(D)-2200IO答(5.若平行直线EF,M N与相交直线AB,CD相交成如图所示的图形，则共得同旁内角多少对。(A)4；(B)8；(C)12；(D)16oD B)6.若 方 程 万 7=*有两个不相等的实根，则实数p 的取值范围是(A)pWO；(B)p l/4；(C)0 p=1994z(其中a,b 是自然数)，且 有 工+工=则 2a+b的一切可能的取值是x y z(A)1001；(B)1001,3989；(C)1001,1996；(D)1001,1996,3989答()二、填空题1.若在关于X的 恒 等 式h/f Y+N 2 c Mx+N:十八=一-=中，为最简分式,且有ab,x+x-2 x+a x+b x-+x-2a+b=c,则 N=(),2.当lx+llW6时，函数y=xlxl-2x+l的最大值是()。3.在AABC中，设 AD是高，BE是角平分线，若 BC=6,CA=7,A B=8,贝 D E=()。4.把两个半径为5 和一个半径为8 的圆形纸片放在桌面上，使它们两两相切，若要用一个大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住，则这个大圆形纸片的最小半径等于()。第二试一、如图所示，在aA B C 中，AB=AC,任意延长CA 到 P,再延长A B到 Q,使 AP=BQ。二、周长为6,面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；若存在，请证明共有几个？三、某次数学竞赛共有15个题，下表是对于做对n(n=0,1,2,15)个题人数的一个统计，如果又知其中做对4个题和4个题以上的学生每人平均做对6个题，做 对10个题和10个题以下的学生每人平均做对4个题，问这个表至少统计了多少人？n0123 12131415做对n个题的人数781021.15631一九九五年第一试一、选择题1.已知 a=35,b=4*,C=53 则有(A)abc(B)cba(C)cab(D)ac3/4(C)3/4N(B)M=N(C)M0 且 b0(B)a0(C)a0 且 b0(D)a0 且 bN（B）M=N（C）M(D)7 T百4 8答()4.设X 1，X 2是二次方程x 2+x-3=0的两个根，那么，x；-4 x；+1 9的值等于(A)-4 (B)8 (C)6 (D)0答()5 .如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的(A)内心(B)外心(C)重心(D)垂心答()6 .如果2 0个点将某圆周2 0等分，那么顶点只能在这2 0个点中选取的正多边形有多少个。(A)4 (B)8 (C)1 2 (D)2 4答()二、填空题1V =1 .已知实数x o,y o是方程组 X 的解，贝I jx o+y o=()。l y =1 x 1+12 .如图，在a A B C 中，A B=A C,Z A B N=Z M B C,B M=N M,B N=a,则点N到边B C的距离等于(3 .设 1 9 9 5 x 3=1 9 9 6 y 3=1 9 9 7z x y z 0,且#1 9 9 5 1+1 9 9 62 +1 9 9 7%2 =+则2+!+=()。x y z4 .如图，将边长为1的正方形A B C D绕A点按逆时针方向旋转6 0 至A B C D的位置。则这两个正方形重叠部分的面积 是()。第二试一、某校在向“希望工程”损款活动中，甲班的m个男生和1 1个女生的损款总数与乙班的9个男生和n个女生的损款总数相等，都是(m n+9 m+l l n+1 4 5)元。已知每人的损款数相同,且都是整数元。求每人的损款数。二、设凸四边形A B C D的对角线A C,B D的交点为M,过点M 作 AD的平行线分别交A B,CD于点E,F,交 B C的延长线于点O,P是以O为圆心,0M为半径的圆上 一 点（如图）。求证：Z 0 P E=Z 0 E P 三、已知a,b,c 是正整数，且抛物线y=a x?+bx+c 与 x 轴有两个不同的交点A,B。若 A,B到原点的距离都小于1,求 a+b+c 的最小值。一九九七年第一试一、选择题1 .下 述四个命题：（1）一个数的倒数等于自身，那么这个数是1；（2）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形;（3）a 2 的平方根是 l a l；（4）大于直角的角定是钝角。其中错误的命题（A）1 个（B）2 个（C）3 个（D）4 个2.已知那么满足上述不等式的整数x的个数是7rr72x b,方程3x?+3(a+b