湖南省永州市2023届高三上学期入学考试数学试卷及答案.pdf

永州一中2022年高三年级暑假入学考试数学试卷考试时间：120分钟 满分：15 0分一、单选题(本大题共8小题，共40.0分)1.已知集合4=%|-1%1,则A U B=()A.%|-1%1 B.x|l x 1 D.xx 12.设函数AX)=则/(/(2)的值为()12 1A.-B.-C.-D.2eel3.定义在R 上的偶函数/(x)在 0,+8)上单调递增，且/(一2)=1,则使/。一2)3 1 成立的x 的取值范围是()A.0,4C.(-8,0 U 4,+8)4.已知命题 p：3 A-e (0,1),ea2 0,A.a l B.ae C.a lB.(-8,一 2 u 2,+8)D.-2,2若是假命题，则实数a的取值范围是()D.a e5 .若函数/(%)=/一 +3)/+2 ax+3在 =2处取得极小值，则实数a 的取值范围是()A.(一8,-6)B.(-8,6)C.(6,+河 D.(-6,+叼6 若l og 2(a -2)+l og 2(b-1)=1,则2Q+b取到最小值时,a +2b的值为()A.3+2V 2 B.9 C.8 D.y7.天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(H i ppa r c 包s)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗.到了185 0年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森(M.R.Pog son)又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明喑程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足啊-牝=2.5(l g E2-1g%)淇中星等为四 的星的亮度为用(i =1,2).已知“心宿二”的星等是1.00,“天津四”的星等是1.25,“心宿二”的亮度是“天津四”的r 倍，则与r 最接近的是(当阳较小时，108a 1+2.3%+2.7/)A.1.22 B.1.24 C.1.26 D.1.28xfx 0,若函数y =-a x -b恰有3个零点，则()A.a -1,b 0B.a 0C.a 1,b -1,b 0二、多选题(本大题共4小题，共2 0.0分)9.下列函数中，既是偶函数又在(0,+上单调递增的函数是()A.y=x2 B.y=j x-11 C.y =|x|-l D.y=2X10.已 知 则 下 列 不 等 式 中 成 立 的 是()A.(1)()B.I n6?I n/?C.a，D.一 1 酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过0.0 2 毫克/毫升.此驾驶员至少要过 小时后才能开车.(精确到1 小时)1 5 .已知f(x)是定义在R 上的偶函数,且f(x +1)=/(I -%),当x 0,1 时,/(无)=五,若函数y=/(x)-l o ga(x +l)(a 0且a 彳1)有且仅有6 个零点，则a的 取 值 范 围 是.1 6 .已知函数/(X)=ax?-2 尤+mx 有 两 个 不 同 的 极 值 点 如 且不等式f(%i)+f(X2)邓=1%=4 8.6,xi=3 5 6.【附】在线性回归方程亨=+a 中，务=黑 沙；歹 普，=y-bx.2 1 .已知椭圆盘+=l(a b 0)的右焦点F 与抛物线y 2 =8%的焦点重合，且椭圆的离心率为净过%轴正半轴一点(犯0)且斜率为-手的直线，交椭圆于4 B 两点(1)求椭圆的标准方程；(2)是否存在实数小使得以为直径的圆过原点，若存在求出实数小的值;若不存在需说明理由2 2 .已知函数/(x)=a l n x x (e是自然对数的底数).讨论函数f(x)的单调性；当。=2时，若对于V k 0,曲线C：y =，-履?与曲线y =/(x)都有唯一的公共点，求实数m的取值范围.永州一中2022年高三年级暑假入学考试数学参考答案1 3.x-y +1=0 1 4.4 1 5.(6,8)1 6.-5,+o o)部分题答案：8 解：当xv 0 时，y-/(x)-a x-b=x-a x-b=(l-a)x -b,最多一个零点;题号1234567891 01 11 2答案CCABBBCCACBCACDAB当%0 时，y=/(x)ax b=|x3|(a 4-l)x2+ax ax b=|x3|(a 4-l)x2 b,y =x2-(a +l)x,当a +1 0,即a 0,y=/(%)ax-/?在0,+8)上递增，y=/(%)ax b最多一个零点，不合题意;当Q +1 0,即Q 1 时，令y 0 得 e a 4-l,+o o),函数递增，令y 0.F V。且&一 +l)(a +b 0，解得 b 0,b ，(Q+1)3,(a +1)3 h 0,1 l,sm x 0 恒成立，即f(x)在。+8)上单增；当 工 0,勺，令g(%)=f (%)=-sinx,N7 Tf2则 g (%)=-cosx,因为X G 0,co sx G 0,1 且单减，j G (0,1).所以e(0 5),使得g Q o)=0,当x e 0,x0g(x)0,g(x)单调递减,当x e。0，自，9 (x)0,g(x)单调递增，又 g(o)=g )=o，所以对V x eO,勺，恒有g(x)&o,即V x e O,g,r(x)4 0,故函数/(x)在0 5单调递减，因为函数f(x)为偶函数，所以函数/(X)在(一8,-9 0,自单调递减，在一9 0 ，+8)上单调递增，在X =处取得极值.选项A：直线y=0为曲线y=/(%)的一条切线，因为f()=0,照)=0，所以函数f(x)在 处切线方程为y=o,故A对；选项B：由上面分析可知f(x)在 =处取得极值，共三个极值点，故B对:选 项C：因为居)=0,当0时，/在0苧单调递减，在(3+8)单调递增，所以x0时，/(x)仅有一个零点 =全又因为f(x)为偶函数，所以f(x)在R上有两个零点，故C错；选项。：因为/(x)在0,勺单调递减，在G，+8)单调递增，所以三 勺 e 0,X2 6 C，+8),使得/(%)=/(%2)(1 牛2)，此时乂1+乂2。，故。错；故答案选AB.1 6.解:/(x)=ax2 2 x+Inx,(x 0).f(x)=;(x 0)，若函数/(x)=ax2-2 x+I n x有两个不同的极值点 i，x2,则方程2 a/-2 x +1 =0有2个不相等的实数根，故r=4 8 a 01+%2 =。1Q ,X/2 =*解得：0 a /而f(%i)+f(%2)=a xi2-2/4-Z n%i 4-ax22-2 x2+lnx2=矶(%1 +x2y -2X1X2-2(%i +X2)+加(%1%2)=-1 ln2 a,若不等式/(/)+/(%2)%1+%2+t恒成立，即-a-1 ITIZC L V a F t,即-a-1 ZH2Q tj令h(a)=-1 /n2a(0 a ，故似a)在(0g)递增，故/i(a)5,因此实数t的取值范围是-5,+oo).17 解由题%+i+%_=2%+4,即 +4,是公差为4的等差数列.(2)%a=氏+4(-2)=4-7(几.2)-11,累加可得an-6=(4 -7)+(4/?-11)4-F1 =2 2 -5 +3(九.2)an=2 2-5 +4(儿.2),当 =1时q也满足上式an=2H2-5 +4.18.解；因为AABC的面积为G,所以gA8CsinNB=6 又因为ZB=120。,AB=2,所以 BC=2.由余弦定理得，AC2=AB2+B C-2AB-BCcosZB,AC2=22+22-2X2X2COS120=12,所以 4 c =2百.(2)因为四切为圆内接四边形，且4=120。，所以4)=60。.又40=2收，由正弦定理可得,AD ACsinZACD sin ZD故M3小=5等 因 为A C A D,所以0。/4 8,又底面力比为菱形，所以CF/AZ),CF=gA。，所以EGCF,EG=CF,所以四边形式以为平行四边形，所以跳V/CG.又C G u平 面 尸切.E尸a平 面 尸切，所 以 被7平面尸6 解:连 接RD,因为外，平面 加 微 O D 4 u平面 四 微 所以PZUOF,PZ D 4,因为四边形力腼为菱形，ZADC=120所以ABCD为等边三角形，因 为 b 为 a 1 的 中 点，所 以。尸，BC,因 为 BC D 4,所 以。尸_L Z M,所 以 OD4,P两两垂直,所 以 以 为 坐 标 原 点 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 D-x y z.因为 AD=PD=2,所 以 (0,0,0),尸(右，0,0),A(0,2,0),(0,1,2),则 DE=(0,1,2),。尸=(6,0,0),AF=(73,-2,0).设 平 面 庞 的 法 向 量 m=(x,y,z),则m-DE=y+2z=0 A玩而 3=o 得正=(0,-2,1).设直线力尸与平面庞F 所 成 的 角 为 0,贝 IJ sin。=卜阮/)卜=-=旭,/I mAF 亚义币 35所 以 直 线 4尸 与 平 面 两 所 成 角 的 正 弦 值 为 返3520.【答案】解：/、-2+3+4+5+6+8+9+11，1 48.6/c r i-(l)x=-8-=6,y=-Zt=iyi=6.075,r _ Yxiyi-nx y _ 334.1-8x6x6.075 _ n 1二=E%阳 2 f A =-356-8x36-=U，0 Zb，又因为日=歹一8 元,所以a =6.075-0.625 x 6=2.325,所以年收入的附加额y 与投入额x的线性回归方程为y=0.625%+2.325.(2)由(1)知，b=0.625 0.所以随着研发资金投入额的增加，年收入的附加额也增加.研发资金投入额每增加1百万元，年收入的附加额增加0.625百万元.所以夕=0.625x+2.3 2 5,所以当x=15时,y=11.7,所以当投入额为15百万元时，估计年收入的附加额为11.7百万元.(3)8个投入额中，“优秀投资额”的个数为5个,故X的所有可能取值为0,1,2,3,或 1。捌P(X=0)=拓;P(X=1)=安L8 DO C81556：Ci Cl 30P(X=2)=U =;P(X =3)Cg 3。01056则X的分布列为X 01 23p1 15 15 556 56 28 28则 E(X)=1 x56 5621.【答案】解：(1)根据题意，抛物线y2=8 x 的焦点是(2,0),则F(2,0),即c=2,又椭圆的离心率为底，即e=更，解可得a=乃，则a?=6,3 a 3则川=a2 c2=2,故椭圆的方程为上+=1；6 2(2)由题意得直线 的方程为y=y (%m)(m 0),，消去y 得 2-2mx+m2-6=0.I y=-(x m)一“3由4=4m2-8(m2-6)0,解得一 2 b m 0,0 m 2A/3.设4(%i，yi),8(%2，%)，则%1+%2=巾，1%2=”了则y，2=-Y0 1 -m)-Y(x2-n t)=1%1%2-7 (X i+x2)+Y-又由以力B为直径的圆过原点，则万？丽=0，即+%丫2=3X1X2-7(X 1+X2)+|m2=0,得m2=6,又0 0)当 aw 0时，r(x)0 时，令/(x)=0,解得 x=a,当x e(0,a)时，/,(x)0,当x e(a,+8)时，/(x)0,团函数 x)在(0,a)上单调递增，在(a,+8)上单调递减，综上，当 a0时，函数/(%)在(0,a)上单调递增，在(a,+8)上单调递减.因为曲线C:y=m-fcf2与曲线y=/(x)有唯一的公共点，所以方程，-丘 2 =21nx-x有唯一解，即方程fcc2+21nx-x=m 有唯一解，-g(x)=Ax2+21nr-x,x0,所以/(x)=2后+2-1 =二,X X当1-16k SO,k N 2 时，g(x)2 0,函数y=g(x)单调递增，易知g(x)与 y 有且只有一个交点，满足题意；当l-1 6 Z 0,0 k 8,两根之积为1 62 k-1 6 ,k若两根一个大于4,一个小于4,此时函数g（x）先增后减再增，存在一个极大值和一个极小值，要使依2+2 h u x=加有唯一实数根，则m大于极大值或小于极小值.记当为极大值点，则不 4,则8（W）=鹏+2 1啖一上,恒成立，又2 kx；-+2 =0 ,即=x3-2 ,则极大值 g（）=kx；+2 1 n xj X j=5（x3 2）毛 +2 1 n x,=2 1 n x3 1,2 1因为g （xj=1-5（马 o,g（w）在（0,4）上单调递增,g（F）4,则g（xj=此+2 h u4T 4 m，又2吠-匕+2 =0,1/、1 X 2 1所以2 1 n A：4-彳/-1 相恒成立，令人（%）=2 1吟-彳-1，又（/）=-一5，2 2 x4 z2 1 1所以%4时，-机恒成立.若两根都大于4,设天为极大值点，%4,则同理可得人（不）=2 1叫单调递减，所以（不）41 n 2-3；设4为极小值点，x6 4,可得不存在?，使得2 1叫,-3/-1，恒成立.综上，要使对班 0,曲线C：y=，-履z与曲线y=/（x）都有唯一的公共点，的 取值范围为 41 n 2-3,+8）.