湖北省孝感市新高考联考协作体2022-2023学年高二上学期9月联考数学试卷.pdf

2022年湖北省孝感新高考联考协作体9 月高二月考考试高二数学试卷考试时间：2022年 9 月 8 日一、单选题(本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.每小题只有一个选项是符合题目要求的.)1.已知集合*=乂0 3 ,8 =伸1=111(%-2),“。8=()A.(0,+e)B.(2,+o o)C.(2,3)D.(0,3)22 .已知i为虚数单位，z=，则复数z的虚部为()1 +iA.-i B.i C.1 D.-13 .设a,e R,则“(a b)/o 是 0 ，()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知。=1。8 3 2,：=6 3,。=1 08 4 5乂5 8 5 2,则()A.c b a B.b c aC.c a b D.ac 0)的图像向左平移个单位长度后得到曲线C,若C关于y轴对称,则。的最小值是()A.B._4D.617.如图，某系统由A,B,C,。四个零件组成，若每个零件是否正常工作互不影响，且零件A,B,C,D正常工作的概率都为“(0 1),则该系统正常工作的概率为()A l-(l-p)p2 p B.i-p(l-p2)pC.l-(l-p)(l-p2)p D.l-(l-pp p,1 1 1 7(-兀)7(5TI)、8.若 一兀 a 6,则下列不等式一定成立的是（）1 1 ,A.B.In a nba bC.2 02 2t fl-6）1 D.a（c2+l）/?（c2+1）1 0.在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1,2,3,4.连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“两次记录的数字之和为偶数”，事件8为“第一次记录的数字为偶数”；事件C为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（）A.事件B与事件C是互斥事件 B.事件A与事件B是相互独立事件C.P（A）P（6）尸（C）=（D.P（M C）=:o o1 1.2 02 1年4月至2 02 1年1 2月我国规模以上工业天然气产量保持平稳，日均产量（亿立方米）与当月增速（）如图所示，则（）2021年4月至2021年12月我国规模以上工业天然气产后月度走势o 1 1均产量（亿立方米）当月增速（）备注：日均产量是以当月公布的我国规模以上工业企业总产量除以该月日历天数计算得到.当月增速当月产量-去年同期产量去年同期产量xlOO%.A.20 21 年 1 0 月份我国规模以上工业天然气产量当月增速比上月放缓6.6 个百分点B.20 21 年 8月份我国规模以上工业天然气产量为1 5 3亿立方米C.20 21 年 4 月至20 21 年 1 2月我国规模以上工业天然气产量当月增速的极差为1 2.6%D.20 21 年 4 月至20 21 年 1 2月我国规模以上工业天然气日均产量的40%分位数为5.3亿立方米1 2.如图，正方体A 88-A 4 C Q的棱长为1,线段4 A 上有两个动点E,F,且 防=1，则下列结论中错误 的 是（）A.EF 平面 A BCDC.三棱锥A -BE E 的体积为定值B.A C1 A FD.AAE/7的面积与 8 EE的面积相等三、填空题（本大题共4小题,每小题5分，共2 0分.）1 3.甲、乙两套设备生产的同类型产品共48 0 0 件，采用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为6 0 的样本进行质量检测，若样本中有20 件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为 件.1 4.圆台的两个底面半径分别为2、4,截得这个圆台的圆锥的高为6,则这个圆台的体积是.41 5 .已知13,则函数y =的最小值为.x-31 6 .已知球。的球面上的四点4 尺。、。,4，平面4 3。,4 8工8。,。4 =4 8 =2 3。=6,则球。的表面积等于.四、解答题(本题共6小题，共7 0分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)1 7 .设复数4=l-a i(a e R),Z 2=3-4i.(1)若 Z 1+Z?是 实 数,求 W；Z,(2)若 是纯虚数，求 劣的共扼复数.Z21 8 .已知向量a=(2,4),B=(-6,8).(1)求 a +B与 夹角；(2)若向量2 满足c _l _(a +B),(c +a)石，求 的坐标.1 9 .已知函数次x)=空 把，r)为 R 上 奇函数且1)=；.X+1 2(1)求 a,b；(2)判断凡r)在1,+o o)上的单调性并证明；(3)当x e 4,1 时，求应r)的最大值和最小值.20.20 21 年开始，湖北省推行全新的高考制度.新高考不再分文理科，采用“3 +1 +2”模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各1 5 0 分，另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在物理、历史2门科目中选一科，然后在思想政治、地理、化学、生物4门科目中自选2门参加考试.为了 了解高一学生的选科意向，某学校对学生所选科目进行检测，下面是1 0 0 名学生的物理、化学、生物三科总分成绩，以 2 0 为组距分成7 组：16(),180),180,200),2(X),220),220,240),240,260),260,280),280,3(X),画出频率分布直方图如图所示.（I）求频率分布直方图中。的值以及物理、化学、生物三科总分成绩的中位数；（2）估计这1 0 0名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）为了进一步了解选科情况，在物理、化学、生物三科总分成绩在 2 2 0,2 4 0）和 2 6 0,2 8 0）的两组中用按比例分配的分层随机抽样方法抽取了 7名学生，再从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生来自不同组的概率.2 1 .在AABC中，角A、B、。所对的边分别为a、b、c.2b SAW C co s A+7 s i n A =2 c s i n B；（1）证明：AABC为等腰三角形；（2）若。为BC边上的点，B D =2 D C,且N A Z）3 =2 N A C。，“=3,求匕的值.2 2 .如图AB是圆。的直径，点尸在圆。所在平面上的射影恰是圆0上的点。，且A C =2 3 C,点。是B 4的中点，PO与 交 于 点E,点尸是PC上的一个动点.（1）求证：B C 1 P A；(2)求二面角3 P C一0平面角的余弦值;2022年湖北省孝感新高考联考协作体9 月高二月考考试高二数学试卷考 试 时 间：2022年 9 月 8 日一、单 选 题(本 题 共 8 小 题，每 小 题 5 分，共 4 0 分.每小题只有一个选项是符合题目要求的.)1.已知集合*=乂0”3 ,8 =伸1=111(%-2),“。8=()A.(0,+e)B.(2,+o o)C.(2,3)D.(0,3)【答案】A【解析】【分析】求出集合8,再根据并集的定义即可得解.【详解】解：因为 A =x|0 x 2 ,所以 AU 3=(O,+x).故选：A.22.已知i为虚数单位，z =，则复数z的虚部为()1 +1A.-i B.i C.1 D.-1【答案】D【解析】【分析】利用复数除法运算化简z,从而求得z的虚部.【详解】z =；=：V =i 1,故虚部为_i.l +i (l+i)(l-i)2故选：D3.设 a,b e R,则“(。一勿()，是匕的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解 析】【详 解】由（。一 切 片 0一 定 可 得 出。；但反过来，由。不一 定 得 出（a-。）/0 ,如。=0,故选A.【考 点 定 位】本小题主要考查充分必要条件、不等式的性质等基础知识，熟练掌握这两部分的基础知识是解答好本类题目的关键.4.已知a =l o g 3 2,b =6 3,c =l o g 4 5 x 5 g 5 2,则（）A.c b a B.b c aC.c a h D.ac 1,由对数的运算可得c =,，-a l,即 可 比 较 上c大小.2 2【详 解】解：因为人=6 36 =1,l g 5 _xl g 2=X2 1 g 2 l g 5 5 l o g3V 3 l o g32 l o g3 3 =1,即:a O）的图像向左平移g个单位长度后得到曲线C,若C关 于y轴对称,则0的最小值是()【答案】C【解析】【分析】先由平移求出曲线。的解析式，再结合对称性得等+即可求出0的最小值.【详解】由题意知：曲线。为y =s i n。(工+?C D 7 T 7 1 7 1-1=+kjt,攵 Z ,2-3 2解得。=g +2 Z,Z e Z ,又。0,故当左=0时,故选：C.7.如图，某系统由A,B,C,。四个零件组成，+?=s i n(o x+F +(),又。关于N轴对称，则。的最小值为g.若每个零件是否正常工作互不影响，且零件A，B,C,D正常工作的概率都为(0 0 1),则该系统正常工作的概率为()|A-B 1-LCJA.1 -(l-p)pp B.1-p(l-p 2)C.乂1 p 2)“D.l-(l-p)-p【答案】c【解析】【分析】要使系统正常工作，则A、8要都正常或者C正常，。必须正常,率公式计算.【详解】记零件或系统X能正常工作的概率为P(X),该系统正常工作的概率为：P (A B)u C c。=P (A B)u C P(。)=I-P(X)P P(D)=(I P(ZDB)P)P(D)9D然后利用独立事件，对立事件概=I-(I-P(AB)(I-P(C)P(D)=I-(I-/.2)(I-P)P,故选：c.8 .若一n a一7 1,且c o s 1 +?|=，则c o s|一a =()1 2 1 2 6 J 8 v 1 2 )AV 15 R ,715。而 n _14 4 4 4【答案】C【解析】【分析】由c o s(2 a +m =一1，利用二倍角公式及U兀&1 Z兀，可得s i n(a+M=一 叵，再由I 6；8 12 12 I 12 J 4即可得答案.【详解】解:由co s j 2a+刍 =1 -2 sin2(a+=一1,得s i n，(a+N=EI 6)127 8 12/1617na it12所以兀&+立 b,则下列不等式一定成立的是()A.B.l n a l n ha bC.2022(a-fe)1 D.(c2+l)Z?(c2+1)【答案】C D【解析】【分析】取。/?0,可判断A选项；利用对数函数的基本性质可判断B选项；利用指数函数的单调性可判断C选项；利用不等式的基本性质可判断D选项.【详解】对于A,若a b 0,则工 0,所以2022（询 1，所以C正确；对于D,因?+1 0 所以所以D正确.故选：C D10.在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1,2,3,4.连续抛掷这个正四面体木块两次,并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“两次记录的数字之和为偶数”，事件B为“第一次记录的数字为偶数”；事件C为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（）A.事件8与事件C是互斥事件B.事件A与事件B是相互独立事件C.尸（A）P（B）尸（C）=!OD.Pg J【答案】B C【解析】【分析】利用定义判断选项A的真假，利用公式计算判断选项B C D的真假，即得解.【详解】对于A,事件8与事件。不是互斥事件，因为它们有可能同时发生，如，第一次和第二次都是数字4 ,故选项A错误;Q i 7 5 乃x4?+万X42）=28万.故答案为：28兀415.已知x 3,则函数y=-+x 的最小值为.x 3【答案】7【解析】4 4【分析】因为x-3 0,则丁=+x=+（x 3）+3,再由均值不等式代入即可得出答案.x-3 x-3 【详解】因为x3,所以x 30,所以4 4 4 r-y=+x =+(x-3)+3 2 J-(x-3)+3 =2+3 =7,4当且仅当=%-3,即x =5时等号成立.x 34所以y=-+元的最小值为7.x-3故答案为：7.1 6.已知球。的球面上的四点AB、C、D,D 4 _ L平面A B C,A 8，B C,n 4 =A B =2 3 C =百，则球。的表面积等于.c12 7 22 7万【合杀】一 乃#-4 4【解析】【分析】由于D 4 _ L平面A 8 C,A B _ L 8 C,构造长方体，利用长方体模型很快便可找到球的直径，即可得出答案.【详解】因为D 4 _ L平面A B C,A B _ L B C,构造如图所示的长方体，又因为D A =A B =BC=2 所以 8长即为外接球的直径,2C D =V D A2+A B2+B C2=W 3.故球。的表面积等于三7 1.2 42 7故答案为：1.4四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）1 7.设复数马二1 一ai（。wR）/2 =3-4 i.（1）若Z1+Z?是实数，求Z1立2 ;（2）若五是纯虚数，求4的共辄复数.Z2【答案】1 9 +8 i（2）1 i4【解析】【分析】（1）根据4+Z?是实数，求得。=-4,再由复数的乘法运算即可求得zZ2；z.3 3（2）由是纯虚数，可得。=-一，即有Z1=l +-i,即可得为的共辗复数.z2 4 4【小 问1详解】解：Z+Z2=4 （4 +a）i 是实数，,.4+a=0,a=-4,z 1=1 +4 i,z,-z2=（l +4 i）（3-4 i）=1 9+8 i【小问2详解】1-ai3-4 i解：（l-ai）（3 +4 i）_（3 +4 a）+（4-3 a）i（3-4 i）（3 +4 i）-2 S-是纯虚数,所以3 +4 a=0 3,_ 八，解得“=一7,4 一 3。w 0 43所以 4 =l +5 i,3故4的共挽复数为1-；i.41 8.已知向量a=（2,4）,B =（-6,8）.（1）求a+B与a-方的夹角；（2）若向量 满足仅+B）,伍+）B，求的坐标.3兀【答案】（1）?4（,4）（2）-4,-I 3 J【解析】【分析】根据题意求出+B,“-5的坐标及模，再利用夹角公式求解即可;设2 =（x,y）,根据（工+）B，列出关于x，y的二元一次方程组求解即可.【小 问1详解】a=（2,4）,b =（6,8）,a+1 =（-4,1 2）,ab=（8,-4）,+=|a+S|=/（-4）2+1 22=4A/10,.一囚=荷+（-钎=4非设与的夹角为氏八(a+b)-(ah)-8 0 V 2,a+h-a-b 4410 x445 2又.。0,兀,二6 =专；【小问2详解】设c =(x,y),则c +a=(x+2,y+4),因为c _ l _(a+B),(c +a)行,-4 x+1 2 y=0所以I _ 6(y+4)8(x+2)=0 x=-4解得,4,v =1 9.已知函数人x）=3，式x）为R上的奇函数且1 1）=厂+1 2（1）求 a,b（2）判断凡r）在 1,+o o）上的单调性并证明；（3）当x C 4,1 时，求人 ）的最大值和最小值.【答案】a=,b=0；（2）式 ）在口，+8）上为减函数，证明见解析;、4 1 x）m ax=一 万0加【解析】【分析】（1）利用/（O）=O,/（l）=g求出答案即可；心）在 1,+o o）上为减函数，利用定义证明即可；（3）结合单调性和奇偶性可得yu）在（-8,1 上为减函数，然后可得答案.【小 问1详解】犬箝为R上的奇函数,7（0）=0,得。=0,又了a+b 12 2.孙尸.X二T【小问2详解】段）在 1,+8）上为减函数,证明如下:设1 2 又 及1,加2）一%1）=尢 1（%；+1）%2 （E+1）Fx；+l-（x：+l）（x；+l）+%2一%（玉一工2）（”1 2 D （x；+l）（x；+l）_（+1）3 +1）JX2 x ,.X|X21 0 XX2.於2）%1）0,即於2）勺3）,.M X）在 1,+8）上为减函数.【小问3详解】本）为奇函数且/（X）在 1,+8）上是减函数，段）在（一8,1 上为减函数，又 4,1 ,4 1；.於）3乂 =为-4）=一 石,段）m in=/（-1）=-5.2 0.2 0 2 1年开始，湖北省推行全新的高考制度.新高考不再分文理科，采用“3 +1 +2”模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各1 5 0分，另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在物理、历史2门科目中选一科，然后在思想政治、地理、化学、生物4门科目中自选2门参加考试.为了了解高一学生的选科意向，某学校对学生所选科目进行检测，下面是1 0 0名学生的物理、化学、生物三科总分成绩，以2 0为组距分成7组：1 6 0,1 8 0),1 8 0,2 0 0),(2 0 0,2 2 0),2 2 0,2 4 0),2 4 0,2 6 0),2 6 0,2 8 0),2 8 0,3 0 0,画出频率分布直方图如图所示.(1)求频率分布直方图中。的值以及物理、化学、生物三科总分成绩的中位数；(2)估计这1 0 0名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)为了进一步了解选科情况，在物理、化学、生物三科总分成绩在 2 2 0,2 4 0)和 2 6 0,2 8 0)的两组中用按比例分配的分层随机抽样方法抽取了7名学生，再从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生来自不同组的概率.【答案】(1)a =0.0 0 5,中位数为2 2 4分(2)2 2 5.6分W2 1【解析】【分析】(1)根据频率之和为1求得。，根据频率之和为().5求得中位数.(2)根据平均数的求法求得平均数.(3)利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【小 问 1 详解】由题图得，(0.0 0 2 +0.0 0 9 5 +0.0 1 1+0.0 1 2 5 +().(X)7 5+0.0 0 2 5)x 2 0 =1解得 a =0 0 0 5.(0.0 0 2 +0.0 0 9 5 +0.0 1 1)x 2 0 =0.4 5 0.5,三科总分成绩的中位数在 2 2 0,2 4 0)内，设中位数为 X,则(0.0 0 2 +0.0 0 9 5 +0.0 1 1)X 2 0 +0.0 1 2 5 X(X-2 2 0)=0.5,解得x =2 2 4,即中位数为2 2 4 分.【小问2详解】三科总分成绩的平均数为：1 7 0 x 0.0 4 +1 9 0 x 0.1 9 +2 1 0 x 0.2 2 +2 3 0 x 0.2 5 +2 5 0 x 0.1 5 +2 7 0 x 0.1 +2 9 0 x 0.0 5 =2 2 5.6.【小问3详解】三科总分成绩在 2 2 0,2 4 0),2 6 0,2 8 0)两组内的学生分别有2 5 人，1 0 人，所以从三科总分成绩为 2 2 0,2 4 0）和 2 6 0,2 8 0）的两组中抽取的学生人数分别为25X!=5,10X：=2.记事件A =抽取的这2名学生来自不同组”.三科总分成绩在 2 2 0,2 4 0）内的5 人分别记为“，/，%，能 在 2 6 0,2 8 0）内的2人分别记为仿也.现在这7人中抽取2 人，则试验的样本空间：。一（4,4 2 ），（4，0 3 ），（4，4 ）（l 5 优）,（。2 3 ）（“2，0 4 ）,（2 0 5 ），（2 ，（火 也）,（q,a 4）,（6，a5M4，。），（生 也）,（。4，。5），（4，4），（4也），（火，伪）（生,包）,（白,优），共 2 1 个样本点.其中 A =（4,伪）,（4，8）,（。2,伪）,（。2，匕 2），（名，伪），（。3，3），（4,4），（4，匕 2），（。5，仇），（。5 力2），共 1 0 个样本点.所以P(A)=,即抽取的这2名学生来自不同组的概率为g.2 1.在AABC中，角A、B、。所对的边分别为a、b、c，2 Z?s i n C c o s A+a s i n A =2 c s i n 3 ；(1)证明：AABC为等腰三角形；(2)若。为18 c边上的点，BD=2DC,且N A D B =2 ZA C )，。=3,求人的值.【答案】(1)证明见解析；(2)b=6【解析】【分 析】根 据 已 有 等 式2 bsinC cosA+asinA=2 c s i n B ,利 用 正 弦 定 理 作 角 化 边，可得2 bccosA+a2=2 cb 最后再由余弦定理把所有角都化为边的等式得2儿 生上 匚 +/=2 8c ；最后,2 hc根据等式可化简出/?=c，故可证A B C为等腰三角形.由%)=2,D C=b 4 4。3=2 4 4。=/4。+/9 4。，可得4 4。=/0 4。，然后，就可以根据角的相等关系，根据余弦定理或相似关系列出等式进行求解即可.【详解】(1),-2 Z?s i n C c o s A +6Z s i n A =2 c s i n B,由正弦定理得：2 bccosA+a2=2 cb人2 2 2由余弦定理得：2幺 二 +a2=2 b c；2 hc化简得：1)2 +/=2 hc,所以。一c)2=0即匕=c，故 A B C为等腰三角形.(2)如图，由已知得8 0 =2，C =1，Z A DB=2 Z A C D =Z A CD+A D A C,：.Z A C D =Z DA C，：.AD=CD=，又,/cosZADB-cosZADC，AD2+BD2-AB2 AD2+CD2-A C22ADBD _ 2ADCDNN12+22-C2 12+12-22x2x1 2x1x1得2+?=9，由（1）可知力=c,得b=解法二：取中点E，连接A E.由（1）知A5=AC,;.AE_L8C,3 1由已知得EC=2,DC=1,ED=-,2 2ZADB=2ZACD=ZACD+ZDAC,ZACDZDAC，A E=NAD?一 DE?=卜（g）=乎；.b=AC=jAE2+EC2=J 岑 +（|、=y/3-解法三：由已知可得CO=a=l,由（1）知，AB=AC,3又ZDAC=ZADB-ZC=2ZC-ZC=NC，.ACABCDA,即即3,CA CD b 1b=6【点睛】本题考查解三角形的问题，（1）题的关键就是利用正弦定理和余弦定理作角化边的转化，（2）题的难点在于根据已有关系化简出相应的等式关系求解，难度属于一般题.22.如图AB是圆。的直径，点尸在圆。所在平面上的射影恰是圆。上的点C,且4C=2BC,点。是Q4的中点，P O 与 B D 交于点、E,点尸是PC上的一个动点.(1)求证：B C 1 P A；(2)求二面角B QC。平面角的余弦值；(3)若点b为PC的中点，且尸C=AB=2,求三棱锥。一8砂的体积.【答案】(1)证明见解析好5A45/I-【分析】(1)通过证明8CJ_平面PAC来证得3C_LQ4.(2)判断出二面角3 P C-。平面角，解直角三角形求得其余弦值.(3)首先判断出_8印=；/-8%，然后结合锥体体积公式求得三棱锥产一私下的体积.【小问1详解】点P在圆。所在平面上的射影恰是圆。上的点CP C 1平面ABC.BCu 平面 ABC,;.B C A.P C.又3 C L A C,且PCcAC=C,PC,ACu平 面 融C,所以5C_L平面P A C,又B 4u平面P4C，所以3c_LQ4.【小问2详解】PC J_ 平面 ABC,BC,OC u 平面 A B C,所以 PC，5C,PC_LOC.NBCO为二面角8 PC O 平面角.设AC=2BC=2,则AB=6,0 A =0B=0C=.由 NBCO=NQBC,N3CO 为锐角,在直角 AABC 中可得c o s/ABC=-=,故 c o s Z B C O =A B y5 5 5故二面角3 PC O平面角的余弦值为也.5【小问3详解】P E 2在PA3中，点。是Q4的中点，点。是AB的中点，所以E 为 4 P A B的重心,则在POC中有=一,P 0 3P F 1 S P F F 2 1 1又点尸为PC的中点，所以=一，于是匹=工*不=P C 2 S.POC 3 2 3在直角 AASC 中，A B =2,A C =2 B C,SAABC=,SB 0 C=SABC=.VP-BOC=TSQBOC.P C=-x-x2=从而 3 3 5 15.