直线与圆的位置关系（第1课时）(人教A版2019选择性必修第一册)【教案】.pdf
2.5.1直线与圆的位置关系教学设计教材分本小节内容选自 普通高中数学选择性必修第一册人教A版(2019)第二章 直线和圆的方程的第五节 直线与圆、圆与圆的位置关系。以下是本单元的课时安排：第 二 章 直 线 和 圆 的 方 程课时内容2.4圆的方程2.5直线与圆、圆与圆的位置关系所在位置教材第82页教材第91页新教材内容分析圆是学生熟悉的基本平面图形，在初中阶段学习过圆的一些性质，现在在平面直角坐标系中研究院，根据确立圆的几何要素建立圆的方程，通过圆的方程，运用坐标法解决一些与圆有关的简单问题。圆的方程的知识是平面解析几何的基础知识，圆的方程具有广泛的应用。运用直线和圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系，并解决简单的问题，在教学过程中，应引导学生根据初中学习图形与几何的经验，类比用哪个直线的方程研究两条直线的位置关系，研究运用直线和圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系。核心素养培养通过圆的标准方程、一般方程的求解，培养数学运算的核心素养；通过圆的一般方程的理解，培养数学抽象的核心素养。通过直线与圆、圆与圆的位置关系的判断，培养逻辑推理的核心素养；通过直线与圆的综合问题，提升数学运算的核心素养。教学主线圆的方程的应用学情处上一节学习了圆的方程，本节内容是在上一节内容的基础上，研究直线与圆。圆与圆的位置关系及其应用，在这一过程中，进一步体会数形结合的思想，形成用代数的方法解决几何问题的能力。习目1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系，培养数学抽象的核心素养;2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题，培养数学运算、逻辑推理的核心素养.二 四、教学重又重点：判断直线与圆的位置关系难点：直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题教学埼（一）新知导入“海上生明月，天涯共此时。”，表达了诗人望月怀人的深厚情谊。在海天交于一线的天际，一轮明月慢慢升起，先是探出半个圆圆的小脑袋,然后冉冉上升，和天际线相连,再跃出海面,越来越高,展现着迷人的风采.这个过程中，月亮看作一个圆，海天交线看作一条直线，月出的过程中也体现了直线与圆的三种位置关系:相交、相切和相离.在平面几何中，我们研究过直线与圆这两类图形的位置关系，前面我们学习了直线的方程，圆的方程，已经用方程研究两条直线的位置关系，下面我们未必用方程研究两条直线位置关系的方法，利用直线和圆的方程通过定量计算研究直线与圆的位置关系。（二）直线与圆的位置关系【思 考1】怎样用几何法即用圆心到直线的距离d同圆的半径r的大小关系来判断直线与圆的位置关系？【提示】利用圆心到直线的距离d与圆半径，的大小关系判断它们之间的位置关系如下：若dr,则直线与圆相离；若d=r,则直线与圆相切；若d 0）,如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？A x+B v+C=0,【提示】联立直线/和圆C的方程得方程组，、/、当方程组无解1。一 ）2 +0 3 2 =巴即/0）的位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点两个二个雯个判定几何法：设 圆 心 到 直 线 的 距 离 兽 上;dr方法出+B y+C=0,代数法：由，；,z ，消元得到一元二（xa）-+（ybyr次方程的判别式4 0/三0J0【做一做】（教 材P 9 3练 习1改编）直线y=x+1与圆f+产=1的位置关系是（）A.相切 B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心 D.相离解析：圆心到直线的距离d=/=华 7=0的位置关系是()A.相切 B.相交C.相离 D.不确定解析：.,(tz+l)x+(a 1)y+2 4=0 恒过定点(一1,1),C(-l)2+(-l)2-2 X(-l)4-2 X(-l)-7 1,.点P在圆外.法一：若直线/的斜率存在，设/:厂-3=A(x-2),即辰一y+3-2 A=0.1 5 Tl i o因为直线/与圆(xl)2 +(y+2)2=I 相切，所 以1冷=1 ,所以上=(.所以直线/的方程为y-3=y(x-2),即 1 左一5)9=0.若直线/的斜率不存在，则直线/:x=2也符合要求.所以直线/的方程为1 2%5)，-9=0或*=2.法二：若直线/的斜率存在，设/:y-3=k(x-2),即 y=k(x2)+3,与圆的方程联立消去y 得：(x-)2+k(x-2)+3+22=1,整理得(R+1)l2(4 产 1 0%+2)x+4 F-2 0 k+2 5=0,二 /=(4 公 -1 O k+2/4(公 +1 )(4 公-2 0 火+2 5)=0,1 2 1 2.,.%=5.此时直线/的方程为y3=歹。-2),即 1 2 x5 y9=0.若直线/的斜率不存在，则直线/:x=2 也符合要求.所以直线/的方程为-9=0 或 x=2.【变式探究1】在本例条件下，求此切线长.【解析】点 P(2,3)到圆心(1,一2)的距离为.(2-1)2+(3+2)2=逐,.切线长为日2 6 1=5.【变式探究2】若本例点P的坐标改为P(2,-2),其他条件不变，求直线/的方程.【解析】(2-1)2+(2+2)2=1,.点尸在圆上.过P(2,一2)的切线方程为x=2,即直线/的方程为x=2.【类题通法】如果所求切线过某已知点M,务必弄清该点在圆上还是在圆外.(1)如果M 点在圆上，那么圆心和点M 的连线和切线垂直，从而求得切线的斜率，用直线的点斜式方程可求得切线方程.(2)如果已知点在圆外，过这点的切线将有两条，但在设斜率解题时可能求出的切线只有一条，这是因为有一条过这点的切线的斜率不存在.【巩固练习2】直线Gx-y+根=0 与圆f+y 2 2 x-2 =0相切，则实数”等 于()A.百 或-6 B.-6或 m C.3 月 或 6 D.-3 百 或 3G解析：圆的方程即为(X-1)2+2=3 ,圆心(1,0)到直线的距离等于半径=6=/“=2 6 n 或者n s=-3 6,故选 C.答案：C3.直线与圆相交例3,求直线/：3%+y-6=0 被圆C：炉+产-2 y 4=0 截得的弦长.【分析】法一求出直线与圆的交点坐标，法二利用弦长公式，法三利用几何法作出直角三角形，三种解法都可求得弦长.【解析】法一：由3x+y-6=0,.+2254=0,得交点 4(1,3),8(2,0),.弦 AB 的长为AB=5(2 )2+(03)2=皿法二：圆C:/+炉 一2），-4=0可化为9+-1 =5,其圆心坐标（0,1）,半径r=小,点（0,1）到直线/的距离为4=13X0+1-61 V10W+12 2所以半弦长为粤=尸一（巾=夸 ,所 以 弦 长AB=y0.【类题通法】求直线与圆相交时弦长的两种方法:图1 图2（1）几何法：如 图1,直 线/与 圆c交于4夕两点，设弦心距为a圆的半径为人，弦长为伊向，则有（怨）2+=产.即e向=2 工.一般地出现直线与圆相交的弦长问题常用几何法.（2）代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是/（M,M）用及，放），则|明 川（加一屹）2+（可一闻2川1+*|X L及|=弋1+/|修一改|,其 中 攵为直线/的斜率.此代数法运算较麻烦.【巩固练习3】若过点用（-3,3）的 直 线/被 圆/+产+4厂21=0所截得的弦长为4小,则直线/的方程为.解析：将圆的方程写成标准形式，得/+。，+2）2=25.若直线/斜率不存在，则直线方程为了=一3.圆心到该直线距离为3,又圆半径为5,所以求得弦长为8,不合题意，舍去.若直线/的斜率存在，设直线/的方程为），+3=G（x+3）,即日一y+3k3=0.I34 圆心到直线/的距离为6/=j-j-p,则1 1+尸.p+(2小=25.解得 k=-g或 k=2.所以所求直线的方程为y+3=T(x+3)或y+3=2(x+3),即x+2y+9=0或2xy+3=().答案：x+2y+9=0 或 2xy+3=0（四）操作演练 素养提升1.直线xy4=0与圆f+,z 2x2y2=0的位置关系是（）A.相交 B.相切C.相交且过圆心 D.相离2.过坐标原点且与圆x2+y2-4 x+2 y+|=0相切的直线方程为（）A.尸_31或 尸 亨：B.y=3x或y=一尹C.y=3x y=D.y=3 x y=x3.已知直线/：a x+b y=l,点P（a,匕）在 圆C /+9=1外，则 直 线/与 圆。的位置关系是（）A.相交 B.相切C.相离 D.不能确定4.圆+y24 x+4 y+6=0截直线x一厂5=0所 得 的 弦 长 等 于.答案：LD2.A3.A4.乖【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。(五)课堂小结，反思感悟1.知识总结:2.学生反思：(1)通过这节课，你学到了什么知识？(2)在解决问题时，用到了哪些数学思想？【设计意图】通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力，提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。作 业 完成教材：第93页 练习 第1,2,3题第98页 习 题2.5第1,2,3,4,5题课堂记八、教学反思1 ;/
