高考数学《有理数的乘方》重难点试题-带解析.pdf

专 题L13有理教的票方重难点题型【人 数 版】。片 声 一 丈 三【知识点1 有理数乘方的概念】求 n个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做嘉.即有：a 口 口。=屋.在 罐 中，。叫做底数，n叫做指数.【题 型 1 有理数乘方的概念】2【例 1】（2020秋甘井子区期末）（一 目）3表示的意义是（）2 2 2 2A.（3）X （3）x （3）B.（3）X 32 x 2 x 2 2C.3 D.3 x 3 x 3【解题思路】根据题目中的式子和有理数乘方的意义，可以解答本题.2 2 2 2【解答过程】解：I E*表示的意义是（-）x （-5）x（一司,故选:4【变 式 1】把 3八3八3八3）写成乘方的形式是（）A.4B.-乳（-或._（_1）4第 1页 共 1 4 页【解题思路】根据幕的意义即可得出答案，求 个相同因数积的运算，叫做乘方.2【解答过程】解：-当底数的时候，要加括号，故 4 选项错误；2底数是一 5,故 8 选项错误；在最前面有一个负号,故，选项错误；2原式写成乘方的形式是-（一 ）4,故选项正确；故选:.【变 式 1-2（2020秋安居区期中）关于（-5 尸的说法正确的是（）A.-5是底数,4是基B.-5是底数,4是指数,6 25 是基C.-5 是底数,4是指数，-6 25 是基D.5是底数,4 是指数【解题思路】利用乘方的意义判断即可.【解答过程】解:关于（-5 尸的说法正确的是-5是底数,4是指数,6 25 是幕.故选：6.m 个 22x2x x2【变 式 1-3 （2020秋浑源县期中）将写3+3+3正确的是（）2m 2m 2mA.3n B.3nc.，D.3n【解题思路】根据有理数的乘方解答即可.m 个 2-*-、o m2X2X.X2【解答过程】解：3+3+:+3形式为:石,故选：4 个3【知识点2有理数乘方的运算】（1）正数的任何次嘉都是正数；（2）负数的奇次第是负数,负数的偶次嘉是正数；（3）0 的任何正整数次第都是0;（4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幕的符号,然后再计算幕的绝对值.【题型2 有理数乘方的运算】【例 2】（2020秋含山县期末）下列各式结果相等的是（）23 2A.-22与（-2）28.可与（另32第 2 页 共 1 4 页C.-（-2）与-I -21 D.-1 2021 与（-1）2021【解题思路】各式计算得到结果，即可作出判断.【解答过程】解:/、-22=-4,（-2）2=4,不相等，不符合题意;23 _ 8 2 _ 8=3,（3）3=27,不相等,不符合题意；C.-（-2）=2,-|-2|=-2,不相等，不符合题意;D、-1 2021=-1,（-1）2021=7,相等，符合题意.故选:D.【变式2-1（2020秋镇平县期中）下列各对数中，数值相等的是（）A.-（-3）2与-（-2）3B.-32与（-3）2C.-3X 23-32X 2D.-23 与（-2尸【解题思路】根据乘方的定义分别求解可得.【解答过程】解：4 -（-3）2=-9,-（-2尸=8,不相等；B.-32=-9,（-3尸=9,不相等；C.-3X 23=-24,-32X 2=-1 8,不相等;D.-23=-8,（-2）3=-8,相等；故选:【变式2-2（2020春西湖区校级月考）下列说法中正确的是（）A.和（-a）。一定是互为相反数B.当为奇数时，-a 和（-a）相等C.当为偶数时，-铲 和（-a）相等D.-柔和（-a）”一定不相等【解题思路】根据有理数的乘方的定义,分是奇数和偶数两种情况讨论求解即可.【解答过程】解：当为奇数时，和（-a）相等，当为偶数时，-/和（-a）”一定互为相反数.故选:日（-l）n+（-l）n +2【变式2-3（2020秋深水县期末）设是自然数，则 2 的值为（）A.1 或-IB.0C.-1 D.0 或 1【解题思路】分为奇数和偶数两种情况,根据有理数乘方运算法则计算可得.第 3 页 共 1 4 页(-l)n+(-l)n+2_-1-1 _ 解答过程】解:若为奇数,则加2也是奇数,此时 2=2 1；(-l)n+(-l)n+2_ l +l _若n为偶数,则加2也为偶数，此时 2 1一 1 ；故选:4【知识点3偶次乘方的非负性】任何一个数的偶次第都是非负数,即a?0.【题型3偶次乘方的非负性】【例3】(2021春沙坪坝区期中)己知(2x-4)2+|户2-81=0,则(*-，)2。21=.【解题思路】由非负数的意义求出入、y的值，再代入计算即可.【解答过程】解：；(2 x-4)2+|户28|=0,.2A-4=0,户2尸8=0,解得，x2,y=3,a-y)2021=(2-3)2021=(7)2*-1,故答案为：-1.【变式3-1(2020秋崇川区校级期中)若a、8为整数，且|a-21+3 3产20=1,则=.【解题思路】先利用绝对值和乘方的意义得到a=l或3,3=-3或a=2,6=-4或-2,然后利用的意义进行计算.【解答过程】解:以_2 3)2 0 2 00,而a、6为整数，/.I a-2 1 =1,(/H-3)2020=0 或 I a-2 I =0,(加3)2020=1,a l 或 3,8=-3 或 a=2,b=-4 或-2,当 a=l,6=-3 时,tf=-3;当 a=3,6=-3 时,=(-3 =-27;当 a=2,b=-4,kP=(-4)2=16;当 a=2,6=-2 时，bP=(-2*=4;综上所述,=(-3尸=-2 7;的值为-3或-2 7或4或16.故答案为-3或-2 7或4或16.【变式3-2(2020秋衡水期中)对于|a-11-3及-(田3/+2,佳佳和音音提出了两个观点佳佳的观点：|a-1 -3有最小值,最小值为3第4页 共1 4页音音的观点：-（卅3）2+2 有最大值,最大值为2对于以上观点，则（）A.佳佳和音音均正确B.佳佳正确,音音不正确C.佳佳不正确，音音正确D.佳佳和音音均不正确【解题思路】根据有理数的平方、绝对值的定义解答即可.【解答过程】解:因为l a -1|与0,所以|a-1|-3 有最小值，最小值为-3;因为（6 3）2 2。，所 以-（加3）2 W 0,所 以-（出3）2+2 有最大值,最大值为2,所以佳佳不正确，音音正确，故选:C.【变式3-3 （2 0 2 0 秋蓬溪县期中）若 a、。有理数，下列判断：次+（91）2 总是正数;/+1 总是正数；9+（a -的最小值为9；1 -Q 加1）2 的最大值是0其中错误的个数是（）A.I B.2 C.3 D.4 解题思路】直接利用偶次方的性质分别分析得出答案.（解答过程解:，+（加1）2 总是非负数,故此选错误；/+/+1 总是正数,正确；9+（a -6）2 的最小值为9,正确；1 -（a 从1的最大值是1,故此选项错误.故选:8.【知识点4 含乘方的混合运算】有理数混合运算的顺序:（1）先乘方,再乘除,最后加减；（2）同级运算,从左到右进行；（3）如有括号,先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.【题型4 含乘方的混合运算】2 13?+4 （1）2 +（）2 x 2 4【例 4】（2 0 2 1 春金山区期末）计算：3 J.【解题思路】利用有理数混合运算的法则运算:先做乘方，再做乘除,最后做加减,有括号的先做括号里第5页 共1 4页面的.2 1【解 答 过 程】解:原 式=-9 (4-1)+(3 -4)X 2 42 1一 x x=-9 4-3+(3 2 4 4 2 4)=-3+(1 6-6)=-3+1 0=7.1x 【变 式4-1 (2 0 2 0秋郑城县期末)计算：2+(-5)2 +3 3|-4|+23.【解题思路】先算乘方,再算乘除,最后算加减.同级运算,从左往右计算.1X-【解答过程】解:原式=2+2 5 +3 3 4+81X-=2 7 4-3 3 4+81x 一 一=9 3 4+8=3 -4+8=7.-I2012-2-(-3)2-(1-+2-3.75)X 24【变 式4-2 (2 0 2 1春奉贤区期中)计算：8 3 .【解题思路】先算乘方,再算乘法,最后算加减;同级运算,应按从左到右的顺序进行计算;如果有括号,要先做括号内的运算.注意乘法分配律的灵活运用.3 1-12012 _ 2-(-3)2-(1-+2_ _ 3.75)x 24【解答过程】解：8 31 1 7 1 5-X -X d-X=-1 -(2 -9)8 2 4 3 2 4 4 2 4=-1+7 -3 3 -5 6+9 0/_ )2 0 2 1【变 式4-3 (2 0 2 1春 浦东新区月考)计算:1一+1 2 +|-工|x (-4)一(一 2?)x (-q【解题思路】根据有理数的乘方、有理数的乘除法和加减法可以解答本题.【解答过程】(-1)2021+12|-|X(-4)-(-22)X(-4X -X=(-1)+1 2 3 (-4)-(-4)x(5=(-1)-64 -56第6页 共1 4页=-7 0.【题型5 乘方的应用规律】2 2 例 5 （2 0 2 0 秋卢龙县期末）一 根 1 加长的绳子,第一次剪去绳子的司第二次剪去剩下绳子的弓如此剪下去,第1 0 0 次剪完后剩下绳子的长度是（）Ae熊 守m 2【解题思路】根据有理数的乘方的定义解答即可.2 1【解答过程】解：第一次剪去绳子的用还剩加；2 1 2 1 2第二次剪去剩下绳子的还剩51 =卬 儡2 1.第1 0 0 次剪去剩下绳子的 后,剩下绳子的长度为G）1 加；故选:C.【变式5-1（2 0 2 1 春松北区期末）某种细菌在培养过程中,每半小时分裂1 次,每次一分为二，若这种细菌由一个分裂到1 6 个,那么这个过程要经过分钟.【解题思路】根据细菌在培养过程中,每半小时分裂1 次,则n小时后,分裂到2 2 个,从而列方程求解.【解答过程】解:设经过小时，根据题意，得 2 2=1 6,2/3=4,7 7-2.2小时=1 2 0 分钟，故答案为：1 2 0.【变式5-2 看过西游记的同学都知道:孙悟空会分身术,他摇身一变就变成2 个悟空;这两个悟空摇身一变,共变成4个悟空;这4个悟空再变,又变成8个悟空假设悟空一连变了 3 0 次,那么会有多少个孙悟空？【解题思路】根据有理数乘方的定义,可推断出变化3 0 次,孙悟空的个数2 X 2 X.X 2（3 0 个 2相乘）=2 3 （个）.第 7页 共 1 4 页【解答过程】解:变化一次,孙悟空的个数为2 =2 1（个）；变化两次,孙悟空的个数为2 X 2=2 2=4（个）;变化三次,孙悟空的个数为2 X2 X2=2 3=8 （个）；变化四次，孙悟空的个数为2 X 2 X 2 X 2=2 4 =1 6（个）；以此类推,变化3 0 次,孙悟空的个数2 X 2 X.X 2（3 0 个 2 相乘）=2 3。（个）.,悟空一连变了 3 0 次,会有2 3。个孙悟空.【变式5-3 （2 0 2 0 秋农安县期中）有一种纸的厚度为0.1 毫米,若拿两张重叠在一起，将它对折一次后,厚度为2 2 X 0.1 毫米.（1）对折2次后,厚度为多少毫米？（2）对折6次后，厚度为多少毫米？【解题思路】（1）根据对折规律确定出所求厚度即可；（2）根据对折规律确定出所求厚度即可.【解答过程】解：（1）根据题意得:2 X 2 2 X 0.1=0.8（毫米）；（2）根据题意得:2 5*2 2 乂0.1 =1 2.8（毫米）.【题型6 乘方应用中的新定义问题】例 6 （2 0 2 1 永州）定义:若1 0 则 x=l o g i o N x 称为以1 0 为底的4的对数,简记为IgN,其满足运算法则：/名於（护心（M 0,心 0）.例如:因为1 0 2=1 0 0,所以2 =/g l 0 0,亦即7 5-1 0 0-2;7 4+7 3=7 1 2.根据上述定义和运算法则，计算（心2）2+心5+/成的结果为（）A.5 B.2 C.1 D.0【解题思路】根据题意，按照题目的运算法则计算即可.【解答过程】解：（/的）2+/或，苗+5=/衣（/必+/+/统=1 酬 1幽=l g i o=1.故选:【变式6-1 （2 0 2 0 秋驿城区校级期中）请认真阅读下面材料，并解答下列问题.如果a（a0,a/l）的 6次嘉等于A；即指数式ab=N,那么数b叫做以a为底川的对数,对数式记作：8第 8 页 共 1 4 页l o g a/V=6.例 如：因为指数式2 2=4,所以以2为底4的对数是2,对数式记作：I o g 2 4 =2;因为指数式4 2 =1 6,所以以4为 底 1 6 的对数是2,对数式记作：l o g 4 1 6=2.(1)请根据上面阅读材料将下列指数式改为对数式：6 2=3 6;4 3=6 4;(2)将下列对数式改为指数式：l o g 5 2 5=2;l o g32 7 =3;计 算：l o g 2 3 2.【解题思路】(1)根据对数的定义求解；(2)利用对数的定义写成基的形式；(3)先利用乘方的意义得到2 5=3 2,然后根据对数的定义求解.【解答过程】解:6 2=3 6;对数式记作：l o g 63 6=2;4 3 =6 4;对数式记作：I o g/1 6 4=3;I o g 5 2 5=2;指数式为5 2=2 5,l o g32 7 =3;指数式为3 3=2 7;(3)=2 5=3 2,l o g23 2 =5.【变式6-2 (2 0 2 0 秋宁化县月考)(1)计算下面两组算式：(3 X 5)2 与 3 2 X 5 2;(-2)X 3 2 与(-2)2 X 3 2;(2)根据以上计算结果猜想：(瑟)3 等于什么？(直接写出结果)(3)猜想与验证：当为正整数时，等于什么？请你利用乘方的意义说明理由.利用上述结论，求(-4)2 0 2 0 x 0 .2 5 2 0 2】的值.第 9页 共 1 4 页【解题思路】(1)根据题意计算出结果即可(2)根据(1)的计算结果写出猜想即可.(3)当 为正整数时,写出猜想的结果,然后根据乘方的意义说明理由即可.(4)利用(3)的结论计算出值即可.【解答过程】解：(1)计算下面两组算式：(3X5)2=225;32X52=9X25=225.(-2)X 32=36;(-2)2X32=4X9=36.(2)根据(1)计算结果猜想：力尸二厘.(3)当为正整数时，(a6)=/伏.理由：当为正整数时.=ab-abab-ab=a-QQ a b-bb b=团 0 0(ab)”n个 威 的乘积 n个a的 积 n个b的积 anbn.即：当 为正整数时，(4。)=小伙.(4)(-4)2020 X 0.252021=(-4)2020 X 0.252020 X 0.25=(-4 X 0.25)2020XO.25=0.25.【变式6-3(2020秋聊城期中)概念学习：规定:求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫做除方,如2+2+2,(-3)+(-3)+(-3)+(-3)等,类比有理数的乘方,我们把22+2记作2,读 作“2的圈3次方“，(-3)+(-3)+(-3)+(-3)记 作(-3),读 作“-3的圈4次方”，一般地,把个a(aWO)Q+Q+Q+.+C Ln个a,记作a叟 读 作“a的圈 次方”.初步探究:直接写出计算结果：2=,(-5)=;深入思考：1 1 1 1 7 1 7例如(-3)=(-3)+(-3)+(-3)+(-3)=(一 刃(-)*(-)x(-)=(-)=()(1)试一试:仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成嘉的形式.5 =;(-2)O=；2z+()x(-2)-(二)，-。算 一算：I 3，3,+33.【解题思路】(1)利用新定义求解；(2)先把除方运算转化为乘方运算进行计算,然后进行乘除运算.【解答过程】解：2=5(-3=一2;(1)5=(式(一/=2、10第1 0页 共1 4页2 2 +()X (_2)_()，、(2)V 3J 4-33=2 2 +(-x (-2)1 -(-3 7 +2 721 1=4 x x (-)+2 7+2 79 2_ 7-9.1 8 Z故答案为：2;-2;(1)5 ;2%9.【知识点5 科学记数法的表示】(1)科学记数法:把一个大于1 0 的数记成aX 1 0 n 的形式,其中a 是整数数位只有一位的数,n是正整数,这种记数法叫做科学记数法.【科学记数法形式:aX I On,其 中 i Wa 1 0,n 为正整 数.】(2)规律方法总结：科学记数法中a 的要求和1 0 的指数n的表示规律为关键，由于1 0 的指数比原来的整数位数少1;按此规律,先数一下原数的整数位数,即可求出1 0 的指数n.记数法要求是大于1 0 的数可用科学记数法表示,实质上绝对值大于1 0 的负数同样可用此法表示,只是前面多一个负号.【题型7 科学记数法的表示】例 7 (2 0 2 1 春浦东新区期末)如图，是津巴布韦于2 0 0 9 年发行的一张面值为1 0 0 万亿的津元，但这一张1 0 0 万亿津元还抵不上1 美元的价值,在当地，一张这样的钞票也就顶多能买一个面包.“1 0 0 万亿”可以用科学记数法表示()MnmonA.1 X1 O1 OB.1 X1 O1 2C.1 X1 O1 3D.1 X1 01 4【解题思路】科学记数法的表示形式为a X 1 0 的形式，其 中 l W|a|V1 0,为整数.确定的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值2 1 0 时,n是正整数;当原数的绝对值1时,是负整数.【解答过程】解：1 0 0 万亿=1 0 0 X 1 04X 1 08=1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 =1 X 1 0 1 4.第 1 1 页 共 1 4 页故选:.【变式7-1（2 0 2 1 深圳模拟）2 0 2 0 年 1 2 月 1 7 日，嫦娥5号经历了往返7 6万千米的长途跋涉，顺利回家并在我国内蒙古着陆，同时将在月球采集的土壤样本带回了地球,这标志着我国探月工程嫦娥5号的任务获得了圆满的成功.其中7 6万千米用科学记数法可表示为（）A.7 60 0 0 0 米 B.7.6X1 0 8 米 c.7.6X1 0 7 米 D.7.6义1。9 米【解题思路】科学记数法的表示形式为a X 1 0 的形式，其 中 1 WG I V1 0,为整数.确定的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值2 1 0 时,n是正数；当原数的绝对值1 时，是负数.【解答过程】解：7 6万千米=7 60 0 0 0 0 0 0=7.6X 1。8 米.故选【变式7-2 （2 0 2 1 包头）据交通运输部报道,截至2 0 2 0 年底,全国共有城市新能源公交车4 6.61 万辆，位居全球第一,将4 6.61 万用科学记数法表示为4.661 X 1 0,则 等于（）A.6B.5 C.4 D.3【解题思路】科学记数法的表示形式为a X 1 0 的形式，其 中 l W|a|V1 0,为整数.确定的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值2 1 0 时,n是正整数.【解答过程】解:因为4 6.61 万=4 661 0 0 =4.661 X1 0 5,所以将4 6.61 万用科学记数法表示为4.661 X 1 0,则等于5.故选:反【变式7-3（2 0 2 1 雨花区模拟）据中国政府网报道，截至2 0 2 1 年 4月 5日，3 1 个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗1 4 2 8 0.2万剂次.下列说法不正确的是（）A.1 4 2 8 0.2万大约是1.4亿B.1 4 2 8 0.2 万大约是 1.4 X1 0 8C.1 4 2 8 0.2万用科学记数法表示为1.4 2 8 0 2 X1 04D.1 4 2 8 0.2万用科学记数法表示为1.4 2 8 0 2 X1 08【解题思路】科学记数法的表示形式为a X 1 0 的形式，其 中 为 整 数.确 定 的 值 时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值1 0 时,n是正整数;当原数的绝对值1 时,是负整数.【解答过程】解:4 1 4 2 8 0.2万大约是1.4 亿,故本选项不合题意；12第 1 2 页 共 1 4 页6、1 4 2 8 0.2万大约是1.4 X1 08,故本选项不合题意;G 1 4 2 8 0.2万用科学记数法表示为1.4 2 8 0 2 X1 0 8,故本选项符合题意；D、1 4 2 8 0.2 万=1 4 2 8 0 2 0 0 0=1.4 2 8 0 2 X1 0 8 故本选项不合题意;故选:C.【知识点7 近似数的表示】“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小,而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些.【题型8 近似数的表示】例 8 （2 0 2 1 春浦东新区期末）据报道，国新办于2 0 2 1 年 5月 1 1 日上午就第七次全国人口普查主要数据结果举行发布会,发布会上透露全国人口已达1 4.1 1 7 8 亿人,这里的近似数“1 4.1 1 7 8 亿”精确到（）A.亿位B.千万位C.万分位D.万位【解题思路】根据近似数“1 4.1 1 7 8 亿”，可知最后的数字8在万位上,从而可以解答本题.【解答过程】解:近似数“1 4.1 1 7 8 亿”精确到万位，故选:【变式8-1（2 0 2 1 江岸区校级自主招生）把 4 38 38 0 0 精确到万位并用科学记数法表示为（）A.4.38 X1 06B.4.3X 1 06C.4.38 4 X 1 06D.4 3.8 X1 05【解题思路】首先把4 38 38 0 0 精确到方位,然后根据:用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a X 10”,其中 1 W|a|1 0,为整数,判断出用科学记数法表示是多少即可.【解答过程】解:4 38 38 0 0 2 4 38 0 0 0 0,4 38 0 0 0 0=4.38 X 1 06.故选:4【变式8-2（2 0 2 0 秋高邮市期末）我市某部门2 0 2 1 年年初收入预算为8.2 4 义1。6 元，关于近似数8.2 4 X1 0 6,是精确到（）A,百分位B.百位C.千位D.万位【解题思路】近似数精确到哪一位,应当看末位数字实际在哪一位.【解答过程】解：因为8.2 4 X1 0 6=8 2 4 0 0 0 0,所以近似数8.2 4 X 1 0 6 是精确到万位.故选:【变式8-3（2 0 2 0 秋宽城区期末）数精确到0.0 1 时，近似数是2.9 0,那么数 的范围是（）A.2.8 W M V 3B.2.8 0 归 3.0 0第 1 3 页 共 1 4 页C.2.8 5 W J/2.9 5 D.2.8 9 5 W J/2.9 0 5【解题思路】考虑两方面:千分位舍去得到2.90;千分位入得到2.90,据此可得答案【解答过程】解:数材精确到0.0 1 时,近似数是2.90,那么数材的范围是2.895材2.90 5,故选：14第 1 4 页 共 1 4 页